Pour repérer un point dans le plan, on utilise un repère : deux droites graduées perpendiculaires qui se coupent en un point \(O\), l'origine.
Un point \(A\) est repéré par deux nombres, ses coordonnées, notées \(A(2 ; 3)\) :
On part de l'origine \(O\), on se déplace horizontalement jusqu'à l'abscisse \(-3\) (vers la gauche, car \(-3\) est négatif), puis verticalement jusqu'à l'ordonnée \(1\) (vers le haut).
\((2 ; 3)\) et \((3 ; 2)\) ne sont pas le même point ! On donne toujours l'abscisse en premier.
Le prix payé dépend du nombre de places achetées ; l'aire d'un carré dépend de la longueur de son côté ; la température dépend de l'heure… On dit que la première grandeur est une fonction de la seconde.
On peut décrire cette dépendance de trois façons :
| Côté \(c\) (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Aire \(A\) (cm²) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
Sur un graphique, on lit en abscisse la grandeur dont dépend l'autre (ici le côté), et en ordonnée la grandeur qui en dépend (ici l'aire).
Le point le plus haut de la courbe donne la température maximale (\(20\) °C, atteinte à \(14\) h).
Contenu facultatif, non exigible.
En 4e et en 3e, tu étudieras les fonctions avec une notation spéciale, \(f(x)\), et tu verras que certaines sont représentées par des droites.
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Repère | Deux axes gradués perpendiculaires, d'origine \(O\) |
| Coordonnées \(A(x ; y)\) | Abscisse \(x\) (horizontal) puis ordonnée \(y\) (vertical) |
| Sur l'axe des abscisses | Ordonnée nulle : \((x ; 0)\) |
| Sur l'axe des ordonnées | Abscisse nulle : \((0 ; y)\) |
| Une grandeur en fonction d'une autre | Formule, tableau de valeurs ou graphique |
| Lecture graphique | Abscisse → on monte jusqu'à la courbe → on lit l'ordonnée |
Lis les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) et \(F\).
on lit d'abord sur l'axe horizontal (abscisse), puis sur l'axe vertical (ordonnée).
\(\mathbf{A(2 ; 3)}\) ; \(\mathbf{B(-3 ; 1)}\) ; \(\mathbf{C(-2 ; -2)}\) ; \(\mathbf{D(4 ; -1)}\) ; \(\mathbf{E(0 ; 2)}\) ; \(\mathbf{F(-4 ; 0)}\).
Trace un repère (unités : \(1\) cm) et place les points \(G(3 ; 2)\), \(H(-2 ; 4)\), \(I(-1 ; -3)\), \(J(2 ; -2)\), \(K(0 ; -4)\) et \(L(5 ; 0)\). Quels points sont sur un axe ? Lequel ?
On place chaque point en partant de l'origine : horizontalement d'abord, verticalement ensuite.
Les autres points ne sont sur aucun axe.
Dans un repère, place les points \(A(2 ; 3)\), \(B(5 ; 1)\) et \(C(0 ; 4)\). Construis leurs symétriques \(A'\), \(B'\), \(C'\) par rapport à l'axe des ordonnées, et donne leurs coordonnées.
le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est à la même hauteur, de l'autre côté de l'axe, à la même distance. Son ordonnée ne change pas ; son abscisse devient l'opposée.
Le périmètre d'un carré de côté \(c\) est \(P = 4c\). Recopie et complète :
| \(c\) (cm) | 1 | 2 | 3 | 4,5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) (cm) |
\(P = 4 \times c\) :
| \(c\) (cm) | 1 | 2 | 3 | 4,5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) (cm) | 4 | 8 | 12 | 18 | 40 |
Le tableau donne le prix payé à la piscine en fonction du nombre d'entrées.
| Nombre d'entrées | 1 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 4 | 8 | 18 | 32 |
a) Combien coûtent \(5\) entrées ?
b) Combien d'entrées peut-on avoir pour \(32\) € ?
c) Le prix est-il proportionnel au nombre d'entrées ? Justifie.
a) On lit dans le tableau : \(18\) €.
b) Pour \(32\) €, on a \(10\) entrées.
c) \(4 \div 1 = 4\), mais \(18 \div 5 = 3{,}6\) : les quotients ne sont pas égaux. Le prix n'est pas proportionnel au nombre d'entrées (il y a un tarif dégressif).
a) Le point \((0 ; 5)\) est sur l'axe des abscisses.
b) Les points \((3 ; -2)\) et \((-2 ; 3)\) sont confondus.
c) L'origine a pour coordonnées \((0 ; 0)\).
d) Tous les points d'abscisse \(2\) sont sur une même droite verticale.
a) Faux : son abscisse est nulle, il est sur l'axe des ordonnées.
b) Faux : l'ordre compte, ce sont deux points différents.
c) Vrai.
d) Vrai : ils forment la droite verticale qui passe par le point \((2 ; 0)\).
On donne \(A(2 ; 3)\), \(B(-1 ; 4)\), \(C(-3 ; -2)\) et \(D(4 ; -1)\).
a) Quelle est l'abscisse de \(B\) ? l'ordonnée de \(D\) ?
b) Quels points sont au-dessous de l'axe des abscisses ?
a) Abscisse de \(B\) : \(\mathbf{-1}\) ; ordonnée de \(D\) : \(\mathbf{-1}\).
b) Les points d'ordonnée négative : \(\mathbf{C}\) et \(\mathbf{D}\).
On place \(A(1 ; 1)\), \(B(5 ; 1)\), \(C(5 ; 4)\) et \(D(1 ; 4)\).
a) Quelle est la nature de \(ABCD\) ?
b) Calcule son aire (une unité par carreau).
a) Les côtés sont horizontaux et verticaux, de longueurs \(4\) et \(3\) : c'est un rectangle.
b) \(4 \times 3 = \mathbf{12}\) unités d'aire.
L'aire d'un carré dépend de son côté \(c\). Complète :
| \(c\) (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Aire (cm²) | … | … | … | … |
Aire \(= c \times c\) : \(\mathbf{1}\), \(\mathbf{4}\), \(\mathbf{9}\), \(\mathbf{16}\).
Donne les coordonnées du symétrique de \(P(3 ; -2)\) :
a) par rapport à l'axe des abscisses ;
b) par rapport à l'axe des ordonnées.
a) On change le signe de l'ordonnée : \(\mathbf{(3 ; 2)}\). b) On change le signe de l'abscisse : \(\mathbf{(-3 ; -2)}\).
Le périmètre \(P\) d'un carré dépend de son côté \(c\).
a) Complète un tableau pour \(c = 1\), \(2\), \(3\), \(4\).
b) Le périmètre est-il proportionnel au côté ?
a) \(P = 4 \times c\) : \(4\), \(8\), \(12\), \(16\).
b) Oui : on multiplie toujours par \(4\).
On donne \(A(3 ; -2)\) et \(B(-1 ; 4)\).
a) Donne les coordonnées du symétrique de \(A\) par rapport à l'axe des abscisses.
b) Donne les coordonnées du symétrique de \(B\) par rapport à l'axe des ordonnées.
c) Donne les coordonnées du symétrique de \(A\) par rapport à l'origine \(O\) (symétrie centrale de centre \(O\)).
on raisonne sur le quadrillage ou on utilise les règles :
a) \(A(3 ; -2) \to \mathbf{(3 ; 2)}\)
b) \(B(-1 ; 4) \to \mathbf{(1 ; 4)}\)
c) \(A(3 ; -2) \to \mathbf{(-3 ; 2)}\) (\(O\) est le milieu du segment qui joint \(A\) à son symétrique).
L'aire d'un carré de côté \(c\) est \(A = c^2\).
a) Complète un tableau de valeurs pour \(c = 0\) ; \(1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(4\) ; \(5\).
b) Place les points correspondants dans un repère.
c) L'aire est-elle proportionnelle au côté ? Justifie à l'aide du graphique.
a)
| \(c\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A = c^2\) | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
b) On place les points \((0 ; 0)\), \((1 ; 1)\), \((2 ; 4)\), \((3 ; 9)\), \((4 ; 16)\), \((5 ; 25)\).
c) Les points ne sont pas alignés (la courbe se « redresse ») : l'aire n'est pas proportionnelle au côté. D'ailleurs, quand le côté double (\(2 \to 4\)), l'aire est multipliée par \(4\) (\(4 \to 16\)).
Le graphique donne la température relevée au cours d'une journée.
a) Quelle température fait-il à \(8\) h ? À \(16\) h ?
b) Quelle est la température maximale ? À quelle heure est-elle atteinte ?
c) À quels moments la température est-elle de \(15\) °C ?
d) Pendant combien de temps la température est-elle supérieure ou égale à \(18\) °C ?
a) À \(8\) h : \(10\) °C. À \(16\) h : \(19\) °C.
b) Le point le plus haut : \(20\) °C, atteint à \(14\) h.
c) On trace la ligne horizontale d'ordonnée \(15\) : elle coupe la courbe en deux points, vers \(10\) h \(30\) et à \(18\) h.
d) La courbe est au-dessus de \(18\) °C de \(12\) h à environ \(17\) h (entre \(16\) h et \(18\) h, la température passe de \(19\) à \(15\) °C, elle vaut \(18\) °C vers \(16\) h \(30\)). Lecture : environ \(4\) h \(30\).
Les réponses lues sur un graphique sont approchées : on écrit « environ ».
Au nombre \(x\), on associe \(2x + 1\).
a) Complète un tableau pour \(x = 0\) ; \(1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(4\).
b) Place les points dans un repère. Que remarques-tu ?
c) Est-ce une situation de proportionnalité ? Justifie.
a)
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(2x + 1\) | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
b) Les points sont alignés : on monte de \(2\) chaque fois qu'on avance de \(1\).
c) Non : la droite ne passe pas par l'origine (pour \(x = 0\), on obtient \(1\), pas \(0\)).
Un cycliste roule à vitesse constante : il parcourt \(15\) km en \(1\) heure.
a) Quelle distance parcourt-il en \(2\) h ? En \(0{,}5\) h ? En \(3\) h ?
b) Représente la distance en fonction de la durée.
c) Lis sur ton graphique la durée nécessaire pour parcourir \(37{,}5\) km.
a) La distance est proportionnelle à la durée, de coefficient \(15\) : \(2\) h → \(\mathbf{30 \text{ km}}\) ; \(0{,}5\) h → \(\mathbf{7{,}5 \text{ km}}\) ; \(3\) h → \(\mathbf{45 \text{ km}}\).
b) On place \((0 ; 0)\), \((0{,}5 ; 7{,}5)\), \((1 ; 15)\), \((2 ; 30)\), \((3 ; 45)\) : ils sont alignés sur une droite qui passe par l'origine.
c) On part de \(37{,}5\) sur l'axe vertical : on lit \(2{,}5\) h, soit \(2\) h \(30\) min. (Vérification : \(15 \times 2{,}5 = 37{,}5\) ✓.)
Place les points \(A(1 ; 4)\), \(B(3 ; 1)\) et \(C(5 ; 4)\), puis trace la droite verticale passant par les points d'abscisse \(3\).
a) Où se trouve le symétrique de \(A\) par rapport à cette droite ?
b) Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ? Justifie.
a) \(A\) est à \(2\) carreaux à gauche de la droite (abscisse \(1\), la droite est en \(3\)). Son symétrique est à \(2\) carreaux à droite, à la même hauteur : c'est le point \((5 ; 4)\), c'est-à-dire le point \(C\).
b) \(B(3 ; 1)\) est sur l'axe, donc son propre symétrique. La symétrie échange \(A\) et \(C\) et garde \(B\) : elle transforme \([BA]\) en \([BC]\), donc \(BA = BC\). Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(B\).
On donne \(A(1 ; 1)\), \(B(5 ; 1)\) et \(C(6 ; 4)\). On veut placer \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
a) Pour aller de \(B\) à \(C\), de combien de carreaux se déplace-t-on vers la droite ? Vers le haut ?
b) En faisant le même déplacement à partir de \(A\), trouve les coordonnées de \(D\).
a) De \(B(5 ; 1)\) à \(C(6 ; 4)\) : \(1\) carreau vers la droite et \(3\) carreaux vers le haut.
b) Dans un parallélogramme, \([AD]\) et \([BC]\) sont parallèles et de même longueur : on fait le même déplacement à partir de \(A(1 ; 1)\) : \(D(1 + 1 ; 1 + 3) = \mathbf{D(2 ; 4)}\).
Un forfait coûte \(10\) € par mois, plus \(0{,}50\) € par Go de données consommé.
a) Combien coûte le mois si on consomme \(0\) Go ? \(4\) Go ? \(10\) Go ?
b) Représente le prix en fonction du nombre de Go (de \(0\) à \(10\)).
c) Le prix est-il proportionnel à la consommation ? Justifie avec le graphique.
a) \(0\) Go : \(10 + 0 = \mathbf{10 \text{ €}}\) ; \(4\) Go : \(10 + 4 \times 0{,}5 = \mathbf{12 \text{ €}}\) ; \(10\) Go : \(10 + 5 = \mathbf{15 \text{ €}}\).
b) On place \((0 ; 10)\), \((4 ; 12)\), \((10 ; 15)\) : les points sont alignés.
c) Non : la droite ne passe pas par l'origine (même sans consommer, on paie \(10\) €).
Louer un vélo coûte \(5\) € de frais, plus \(2\) € par heure.
a) Complète un tableau donnant le prix pour \(1\), \(2\), \(3\) et \(4\) heures.
b) Combien d'heures peut-on louer avec \(25\) € ?
a) \(7\) € ; \(9\) € ; \(11\) € ; \(13\) €.
b) \(25 - 5 = 20\) € pour les heures, soit \(20 \div 2 = \mathbf{10}\) heures.
On donne \(A(-2 ; 3)\) et \(B(4 ; 3)\).
a) Pourquoi le segment \([AB]\) est-il horizontal ?
b) Calcule sa longueur et les coordonnées de son milieu.
a) Les deux points ont la même ordonnée \(3\).
b) Longueur : \(4 - (-2) = \mathbf{6}\). Milieu : abscisse \(-2 + 3 = 1\), soit \(\mathbf{(1 ; 3)}\).
Une voiture roule à vitesse constante. On a relevé la distance parcourue :
| Temps (h) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Distance (km) | 0 | 80 | 160 | 240 |
a) Si on place ces points dans un repère, comment sont-ils disposés ?
b) Quelle distance la voiture parcourt-elle en \(1\) h \(30\) ?
a) Ils sont alignés avec l'origine : la distance est proportionnelle au temps.
b) \(80 + 40 = \mathbf{120}\) km.
Températures d'une journée :
| Heure | 8 h | 10 h | 12 h | 14 h | 16 h |
|---|---|---|---|---|---|
| T (°C) | 6 | 10 | 14 | 15 | 12 |
a) À quelle heure la température est-elle maximale ?
b) De combien de degrés la température a-t-elle augmenté entre \(8\) h et \(14\) h ?
a) À \(14\) h (\(15\) °C).
b) \(15 - 6 = \mathbf{9}\) °C.
Programme : « Multiplier par \(2\), puis enlever \(1\) ».
a) Complète le tableau pour \(x = -1\), \(0\), \(1\), \(2\).
b) Que remarques-tu quand on place les points \((x ; \text{résultat})\) ?
a)
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|
| résultat | \(-3\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) |
b) Les points sont alignés (sur une droite qui ne passe pas par l'origine).
Place les points \(A(-2 ; -1)\), \(B(4 ; -1)\), \(C(4 ; 3)\) et \(D(-2 ; 3)\).
a) Quelle est la nature du quadrilatère \(ABCD\) ?
b) Calcule les longueurs \(AB\) et \(BC\) (l'unité est le carreau).
c) Calcule son périmètre et son aire.
a) \([AB]\) et \([DC]\) sont horizontaux, \([BC]\) et \([AD]\) sont verticaux : les côtés sont perpendiculaires, les quatre angles sont droits. \(ABCD\) est un rectangle.
b) \(AB = 4 - (-2) = \mathbf{6}\) carreaux ; \(BC = 3 - (-1) = \mathbf{4}\) carreaux.
c) Périmètre : \(2 \times (6 + 4) = \mathbf{20}\) carreaux. Aire : \(6 \times 4 = \mathbf{24}\) carreaux².
On lance une balle vers le haut. Le tableau donne sa hauteur (en m) en fonction du temps (en s) :
| Temps (s) | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Hauteur (m) | 0 | 8,75 | 15 | 18,75 | 20 | 18,75 | 15 | 0 |
a) Représente la hauteur en fonction du temps, puis relie les points par une courbe régulière.
b) Quelle est la hauteur maximale ? À quel instant est-elle atteinte ?
c) À quels instants la balle est-elle à \(15\) m de hauteur ?
d) Au bout de combien de temps retombe-t-elle au sol ?
a) On place les points et on les relie par une courbe « en cloche », sans faire de segments anguleux.
b) Hauteur maximale : \(20\) m, à l'instant \(2\) s.
c) La balle est à \(15\) m à \(1\) s (en montant) et à \(3\) s (en redescendant).
d) Elle revient à une hauteur de \(0\) m au bout de \(4\) s.
Aux États-Unis, on mesure la température en degrés Fahrenheit (°F). Pour convertir, on utilise la formule \(F = 1{,}8 \times C + 32\), où \(C\) est la température en °C.
a) Complète un tableau pour \(C = 0\) ; \(10\) ; \(20\) ; \(37\) ; \(100\).
b) La température en °F est-elle proportionnelle à la température en °C ? Justifie.
c) Il fait \(68\) °F à New York. Combien cela fait-il en °C ?
a)
| \(C\) (°C) | 0 | 10 | 20 | 37 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(F\) (°F) | 32 | 50 | 68 | 98,6 | 212 |
Détail pour \(37\) : \(1{,}8 \times 37 + 32 = 66{,}6 + 32 = 98{,}6\).
b) Non : pour \(C = 0\), on obtient \(F = 32\) et non \(0\). (Autre justification : \(50 \div 10 = 5\) mais \(68 \div 20 = 3{,}4\).)
c) D'après le tableau, \(68\) °F correspond à \(20\) °C.
a) Place les points \(A(3 ; 1)\) et \(B(1 ; 3)\), puis les points \((0 ; 0)\), \((1 ; 1)\), \((2 ; 2)\), \((3 ; 3)\).
b) Les points dont l'abscisse est égale à l'ordonnée sont alignés : trace cette droite \((d)\).
c) Que semble être la droite \((d)\) pour le segment \([AB]\) ? Vérifie avec l'équerre et la règle.
d) Quel est le symétrique du point \((4 ; 2)\) par rapport à \((d)\) ?
a) et b) Les points \((0 ; 0)\), \((1 ; 1)\), \((2 ; 2)\), \((3 ; 3)\) sont alignés : \((d)\) est la droite « diagonale » qui passe par l'origine.
c) \((d)\) semble être la médiatrice de \([AB]\) : elle est perpendiculaire à \([AB]\) et passe par son milieu \((2 ; 2)\). \(A\) et \(B\) sont donc symétriques par rapport à \((d)\).
d) En échangeant l'abscisse et l'ordonnée, comme pour \(A(3 ; 1)\) et \(B(1 ; 3)\) : le symétrique de \((4 ; 2)\) est \(\mathbf{(2 ; 4)}\).
On considère des rectangles de périmètre \(20\) cm. On note \(x\) leur largeur (en cm).
a) Explique pourquoi la longueur vaut \(10 - x\), puis pourquoi l'aire vaut \(x \times (10 - x)\).
b) Complète un tableau donnant l'aire pour \(x = 1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(4\) ; \(5\) ; \(6\) ; \(7\) ; \(8\) ; \(9\).
c) Représente l'aire en fonction de \(x\).
d) Pour quelle largeur l'aire est-elle la plus grande ? Quel est alors le rectangle ?
a) Le périmètre vaut \(2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) = 20\), donc longueur \(+\) largeur \(= 10\) : longueur \(= 10 - x\). L'aire est longueur \(\times\) largeur \(= x \times (10 - x)\).
b)
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Aire | 9 | 16 | 21 | 24 | 25 | 24 | 21 | 16 | 9 |
c) La courbe monte puis redescend ; elle est symétrique par rapport à la verticale \(x = 5\).
d) L'aire est maximale pour \(\mathbf{x = 5}\) : le rectangle est alors un carré de \(5\) cm de côté (\(25\) cm²).
Pour louer un vélo, le tarif A coûte \(3\) € par heure. Le tarif B coûte \(8\) € puis \(1\) € par heure.
a) Complète un tableau donnant le prix de chaque tarif pour \(1\), \(3\), \(4\), \(6\) et \(8\) heures.
b) Représente les deux tarifs dans le même repère.
c) Pour quelle durée les deux tarifs sont-ils égaux ?
d) Quel tarif conseiller pour une location de \(2\) h ? de \(6\) h ?
a)
| Durée (h) | 1 | 3 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Tarif A : \(3 \times h\) (€) | 3 | 9 | 12 | 18 | 24 |
| Tarif B : \(8 + h\) (€) | 9 | 11 | 12 | 14 | 16 |
b) Le tarif A est représenté par une droite qui passe par l'origine ; le tarif B par une droite qui coupe l'axe des ordonnées en \(8\).
c) Les deux droites se coupent pour \(4\) h (prix : \(12\) €).
d) Pour \(2\) h : A \(= 6\) €, B \(= 10\) € → tarif A. Pour \(6\) h : A \(= 18\) €, B \(= 14\) € → tarif B.
