Proportionnalité, graphiques et pourcentages

a) \(3{,}6 \div 2 = 1{,}8\) ; \(7{,}2 \div 4 = 1{,}8\) ; \(9 \div 5 = 1{,}8\). Les quotients sont égaux : oui, c'est un tableau de proportionnalité, de coefficient \(\mathbf{1{,}8}\) (le prix d'un cahier est \(1{,}80\) €).

b) \(4 \div 1 = 4\) mais \(7 \div 2 = 3{,}5\). Les quotients sont différents : non.

Détail : \(0{,}5 \times 15 = 7{,}5\) ; \(1{,}2 \times 15 = 18\) ; \(2 \times 15 = 30\) ; \(45 \div 15 = 3\) ; \(6 \div 15 = 0{,}4\).

a) \(\dfrac{20}{100} \times 45 = 0{,}2 \times 45 = \mathbf{9}\)

b) \(0{,}15 \times 80 = \mathbf{12}\)

c) \(75\,\%\) ce sont les trois quarts : \(120 \div 4 \times 3 = \mathbf{90}\)

d) \(5\,\%\) de \(340\) : \(10\,\%\) vaut \(34\), donc \(5\,\%\) vaut \(\mathbf{17}\).

Étape 1 — Montant de l'augmentation : \(15\,\%\) de \(200 = 0{,}15 \times 200 = 30\) €.

Étape 2 — Nouveau prix : \(200 + 30 = \mathbf{230 \text{ €}}\).

Étape 1 — Montant de la réduction : \(25\,\%\), c'est un quart : \(650 \div 4 = 162{,}50\) €.

Étape 2 — Prix soldé : \(650 - 162{,}50 = \mathbf{487{,}50 \text{ €}}\).

a) \(\dfrac{12}{50} = \dfrac{24}{100} = \mathbf{24\,\%}\)

b) \(\dfrac{9}{20} = \dfrac{45}{100} = \mathbf{45\,\%}\)

c) \(\dfrac{30}{120} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100} = \mathbf{25\,\%}\)

a) \(7{,}5 \div 3 = 2{,}5\) (et \(12{,}5 \div 5 = 2{,}5\)) : coefficient \(\mathbf{2{,}5}\). b) \(8 \times 2{,}5 = \mathbf{20}\).

a) \(0{,}15 \times 60 = \mathbf{9}\). b) \(0{,}08 \times 250 = \mathbf{20}\).

a) \(\dfrac{9}{12} = 0{,}75 = \mathbf{75\,\%}\). b) \(\dfrac{7}{20} = 0{,}35 = \mathbf{35\,\%}\).

\(4{,}5 \times 200 = 900\) cm \(= \mathbf{9}\) m.

a) Oui : à chaque fois \(y = 2{,}5 \times x\).

b) Oui : les points sont alignés avec l'origine, c'est une situation de proportionnalité (prix au kilo : \(2{,}50\) €).

a) \(2{,}5 \div 1 = 2{,}5\) ; \(5 \div 2 = 2{,}5\) ; \(10 \div 4 = 2{,}5\). Les quotients sont égaux : les points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés avec l'origine. C'est une situation de proportionnalité, de coefficient \(2{,}5\).

b) \(3 \div 1 = 3\) mais \(5 \div 2 = 2{,}5\) : les quotients sont différents, ce n'est pas une situation de proportionnalité. (Les points \(D\), \(E\), \(F\) sont alignés, mais sur une droite qui ne passe pas par l'origine : si on continue vers la gauche, elle passe par le point \((0 ; 1)\).)

a) Le volume s'obtient en multipliant la durée par \(12\) : le coefficient est \(\mathbf{12}\) (litres par minute).

b) \(2 \times 12 = \mathbf{24 \text{ L}}\) ; \(5 \times 12 = \mathbf{60 \text{ L}}\) ; \(10 \times 12 = \mathbf{120 \text{ L}}\).

c) \(90 \div 12 = \mathbf{7{,}5 \text{ min}}\), soit \(7\) min \(30\) s.

a) \(6 \times 50 = 300\) cm \(= \mathbf{3 \text{ m}}\) ; \(4 \times 50 = 200\) cm \(= \mathbf{2 \text{ m}}\).

b) \(3 \times 2 = \mathbf{6 \text{ m}^2}\).

a) Farine : \(250 \times 1{,}5 = \mathbf{375 \text{ g}}\) ; œufs : \(4 \times 1{,}5 = \mathbf{6}\) ; lait : \(0{,}5 \times 1{,}5 = \mathbf{0{,}75 \text{ L}}\).

b) \(10\) personnes, c'est \(2{,}5\) fois \(4\) personnes : farine \(\mathbf{625 \text{ g}}\), \(\mathbf{10}\) œufs, \(\mathbf{1{,}25 \text{ L}}\) de lait.

a) \(40\,\%\) de \(25\) : \(0{,}4 \times 25 = \mathbf{10}\) élèves.

b) \(\dfrac{12}{25} = \dfrac{48}{100} = \mathbf{48\,\%}\).

• Magasin A : réduction de \(30\,\%\) de \(80 = 24\) € ; prix : \(80 - 24 = 56\) €.
• Magasin B : \(80 - 20 = 60\) €.

Le magasin A propose le prix le plus bas (\(56\) € contre \(60\) €).

a) \(200\,000\) cm \(= 2\,000\) m \(= \mathbf{2 \text{ km}}\).

b) \(3{,}5 \times 2 = \mathbf{7 \text{ km}}\).

c) \(25 \div 2 = \mathbf{12{,}5 \text{ cm}}\).

a) \(6{,}5 - 5{,}85 = \mathbf{0{,}65 \text{ L}}\) pour \(100\) km.

b) \(500\) km, c'est \(5\) fois \(100\) km : \(5 \times 0{,}65 = \mathbf{3{,}25 \text{ L}}\), soit \(3{,}25 \times 1{,}80 = \mathbf{5{,}85 \text{ €}}\).

Augmentation : \(0{,}12 \times 50 = 6\) €. Nouveau prix : \(50 + 6 = \mathbf{56}\) €.

Réduction : \(0{,}15 \times 80 = 12\) €. Prix soldé : \(80 - 12 = \mathbf{68}\) €.

🎯 \(9\) personnes, c'est \(6 + 3\) personnes : \(250\) g \(+ 125\) g. Il faut \(\mathbf{375}\) g. (Ou : \(250 \times \dfrac{9}{6} = 375\).)

a) \(18 \div 3 = 6\) L par minute ; en \(10\) min : \(\mathbf{60}\) L.

b) \(90 \div 6 = \mathbf{15}\) minutes.

\(0{,}35 \times 280 = \mathbf{98}\) élèves.

a)

b) Le VTC : son prix s'obtient toujours en multipliant la distance par \(2\) (coefficient \(2\)). Le taxi n'est pas proportionnel : \(7 \div 2 = 3{,}5\) mais \(11{,}5 \div 5 = 2{,}3\).

c) Pour \(8\) km, les deux coûtent \(16\) €. Pour \(12\) km, le taxi est moins cher (\(22\) € contre \(24\) €).

a) Hausse : \(10\,\%\) de \(60 = 6\) € ; prix : \(60 + 6 = \mathbf{66 \text{ €}}\).

b) Baisse : \(10\,\%\) de \(66 = 6{,}60\) € ; prix : \(66 - 6{,}60 = \mathbf{59{,}40 \text{ €}}\).

c) Non : la baisse de \(10\,\%\) est calculée sur \(66\) € (et pas sur \(60\) €) ; elle est donc plus grande que la hausse (\(6{,}60\) € contre \(6\) €).

a) \(100 - 35 - 20 - 15 = \mathbf{30\,\%}\).

b) \(1\,\%\) de \(1\,500\) € vaut \(15\) € :

• logement : \(35 \times 15 = \mathbf{525 \text{ €}}\) ;
• nourriture : \(20 \times 15 = \mathbf{300 \text{ €}}\) ;
• transports : \(15 \times 15 = \mathbf{225 \text{ €}}\) ;
• autres : \(30 \times 15 = \mathbf{450 \text{ €}}\).

Vérification : \(525 + 300 + 225 + 450 = 1\,500\) ✓.

c) \(100\,\%\) ↔ \(360°\), donc \(1\,\%\) ↔ \(3{,}6°\) : logement \(\mathbf{126°}\), nourriture \(\mathbf{72°}\), transports \(\mathbf{54°}\), autres \(\mathbf{108°}\) (total \(360°\) ✓).

a) Le volume d'eau est \(6\) fois celui du sirop : sirop \(= 1{,}2 \div 6 = \mathbf{0{,}2 \text{ L}}\).

b) \(0{,}2 + 1{,}2 = \mathbf{1{,}4 \text{ L}}\).

c) C'est exactement le cas précédent : \(0{,}2\) L de sirop et \(1{,}2\) L d'eau. (Une boisson contient \(7\) volumes : \(1\) de sirop pour \(6\) d'eau ; \(1{,}4 \div 7 = 0{,}2\) L par volume.)

a) On met les deux longueurs en cm : \(3\) km \(= 300\,000\) cm. \[\text{échelle} = \frac{6}{300\,000} = \frac{1}{50\,000}\]

b) \(4{,}5 \times 50\,000 = 225\,000\) cm \(= \mathbf{2{,}25 \text{ km}}\).

a) \(1\) cm sur la carte représente \(1\,000\,000\) cm \(= 10\) km. Distance : \(8{,}5 \times 10 = \mathbf{85 \text{ km}}\).

b) Pour \(1\) km : \(6 \div 100 = 0{,}06\) L. Pour \(85\) km : \(85 \times 0{,}06 = \mathbf{5{,}1 \text{ L}}\).

c) \(5{,}1 \times 1{,}80 = \mathbf{9{,}18 \text{ €}}\).

d) Réduction : \(5\,\%\) de \(9{,}18 = 0{,}459 \approx 0{,}46\) €. Prix payé : \(9{,}18 - 0{,}46 = \mathbf{8{,}72 \text{ €}}\).