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5e · Chapitre 8 · Géométrie

Angles et triangles

30 exercices corrigés

1 Angles formés par deux droites et une sécante

Une droite \((t)\), appelée sécante, coupe deux droites \((d_1)\) et \((d_2)\). Elle forme \(8\) angles, \(4\) en chaque point.

(d₁) (d₂) (t) 1 5 2 6 3 7 4 8
Deux droites parallèles (d₁) et (d₂) coupées par une sécante (t) : les huit angles sont numérotés.
Vocabulaire
  • deux angles sont alternes-internes s'ils sont entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante, et n'ont pas le même sommet : par exemple les angles \(3\) et \(5\), ou \(4\) et \(6\) ;
  • deux angles sont correspondants s'ils sont du même côté de la sécante, l'un entre les droites et l'autre à l'extérieur, « à la même place » sur chaque droite : par exemple \(1\) et \(5\), \(2\) et \(6\), \(3\) et \(7\), \(4\) et \(8\).
À retenir
  • si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes ont la même mesure, et les angles correspondants aussi ;
  • réciproquement, si deux angles alternes-internes (ou correspondants) ont la même mesure, alors les deux droites sont parallèles.
Attention

Si les droites ne sont pas parallèles, les angles alternes-internes n'ont pas la même mesure.

2 La somme des angles d'un triangle (démonstration)

En 6e, on a admis que la somme des angles d'un triangle vaut \(180°\). On peut maintenant le démontrer.

A B C Les trois angles du triangle se retrouvent côte à côte : ils forment un angle plat. (d) parallèle à (AB)
On trace par C la parallèle à (AB) : les angles en A et en B se retrouvent en C, à côté de l'angle C.
Démonstration

Par le sommet \(C\), on trace la droite \((d)\) parallèle à \((AB)\).

  • Avec la sécante \((AC)\), l'angle \(\widehat{A}\) et l'angle orange en \(C\) sont alternes-internes : ils sont égaux.
  • Avec la sécante \((BC)\), l'angle \(\widehat{B}\) et l'angle vert en \(C\) sont alternes-internes : ils sont égaux.
  • En \(C\), l'angle orange, l'angle \(\widehat{C}\) et l'angle vert forment un angle plat.

Donc \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°\).

3 Peut-on construire le triangle ?

Si on essaie de construire un triangle de côtés \(3\) cm, \(4\) cm et \(8\) cm, les deux arcs de cercle ne se coupent pas : c'est impossible.

À retenir

L'inégalité triangulaire : dans un triangle, la longueur de chaque côté est plus petite que la somme des longueurs des deux autres. Pour savoir si un triangle est constructible, il suffit de vérifier que le plus grand côté est plus petit que la somme des deux autres.

  • \(3\), \(4\), \(8\) : \(3 + 4 = 7 < 8\) → impossible.
  • \(4\), \(5\), \(9\) : \(4 + 5 = 9\) → les trois points sont alignés (triangle « aplati »).
  • \(5\), \(6\), \(10\) : \(5 + 6 = 11 > 10\) → possible.
Dans la vie courante

La ligne droite est le plus court chemin. Passer par un troisième point rallonge toujours le trajet (sauf s'il est sur le chemin).

4 Hauteurs et médianes d'un triangle

A B C H M hauteur [AH] : perpendiculaire à (BC), issue de A médiane [AM] : joint A au milieu M du côté opposé
La hauteur issue de A est perpendiculaire à (BC). La médiane issue de A joint A au milieu de [BC].
Définitions
  • la hauteur issue de \(A\) est la droite qui passe par \(A\) et qui est perpendiculaire au côté opposé \((BC)\). Le point \(H\) où elle coupe \((BC)\) est le pied de la hauteur ;
  • la médiane issue de \(A\) est la droite qui passe par \(A\) et par le milieu \(M\) du côté opposé \([BC]\).
À retenir

La longueur \(AH\) est la distance du point \(A\) à la droite \((BC)\) : c'est la plus courte distance entre \(A\) et un point de \((BC)\).

À savoir

Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point ; les trois médianes aussi. Et tu sais déjà que les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit.

Attention

Pour un triangle avec un angle obtus, une hauteur peut tomber à l'extérieur du triangle : il faut alors prolonger le côté.

5 L'aire d'un triangle

base b h Le triangle occupe la moitié du rectangle de dimensions b et h : Aire = b × h ÷ 2
Un triangle de base b et de hauteur h occupe la moitié du rectangle de dimensions b et h.
À retenir

\[\text{Aire du triangle} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\] La hauteur utilisée doit être celle qui est perpendiculaire à la base choisie.

Exemple

Un triangle de base \(8\) cm et de hauteur associée \(6\) cm a pour aire \(\dfrac{8 \times 6}{2} = 24\) cm².

Attention

La hauteur n'est en général pas un côté du triangle. Sauf dans un triangle rectangle, où les deux côtés de l'angle droit sont des hauteurs l'un pour l'autre : aire \(= \dfrac{\text{côté} \times \text{côté}}{2}\).

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