La symétrie centrale

• \(A(1 ; 4)\) → \(O\) : \(2\) à droite, \(2\) vers le bas. À partir de \(O\) : \(\mathbf{A'(5 ; 0)}\).
• \(B(5 ; 1)\) → \(O\) : \(2\) à gauche, \(1\) vers le haut. À partir de \(O\) : \(\mathbf{B'(1 ; 3)}\).
• \(C(0 ; 0)\) → \(O\) : \(3\) à droite, \(2\) vers le haut. À partir de \(O\) : \(\mathbf{C'(6 ; 4)}\).

De \(M(2 ; 5)\) à \(O(4 ; 3)\) : \(2\) à droite et \(2\) vers le bas. On refait ce déplacement à partir de \(O\) : \(\mathbf{M'(6 ; 1)}\).

Ont un centre de symétrie : a) le carré,
c) le rectangle,
d) le losange,
e) le parallélogramme (le point d'intersection des diagonales). Le triangle isocèle n'en a pas (il a seulement un axe de symétrie).

Oui : un demi-tour autour du milieu \(O\) échange \(A\) et \(B\), donc il transforme le segment \([AB]\) en lui-même. Le milieu d'un segment est son centre de symétrie.

a) Les diagonales se coupent au point \(\mathbf{I(2{,}5 ; 1{,}5)}\).

b) De \(A(0 ; 0)\) à \(I\) : \(2{,}5\) à droite, \(1{,}5\) vers le haut ; de \(I\) à \(C(5 ; 3)\) : encore \(2{,}5\) à droite et \(1{,}5\) vers le haut. \(I\) est le milieu de \([AC]\) ✓. De \(B(4 ; 0)\) à \(I\) : \(1{,}5\) à gauche, \(1{,}5\) vers le haut ; de \(I\) à \(D(1 ; 3)\) : pareil ✓.

La symétrie centrale conserve les longueurs : \(A'B' = \mathbf{5 \text{ cm}}\) ; \(B'C' = \mathbf{7 \text{ cm}}\) ; \(A'C' = \mathbf{6 \text{ cm}}\).

a) \(O\) est le milieu de \([AA']\). b) \(AA' = 2 \times 3 = \mathbf{6}\) cm.

On change les signes des deux coordonnées : \(\mathbf{A'(-3 ; -2)}\).

N, S, Z, H, O ont un centre de symétrie (elles sont identiques après un demi-tour). A n'en a pas.

a) La symétrie centrale conserve les longueurs : \(\mathbf{4}\) cm.

b) Le symétrique d'une droite est une droite parallèle : \((AB) \parallel (A'B')\).

Les angles sont conservés : \(\mathbf{50°}\).

En comptant les déplacements jusqu'à \(O(3 ; 2)\) :

• \(A(1 ; 1) \to \mathbf{A'(5 ; 3)}\)
• \(B(4 ; 1) \to \mathbf{B'(2 ; 3)}\)
• \(C(2 ; 3) \to \mathbf{C'(4 ; 1)}\)

On relie \(A'\), \(B'\), \(C'\) : le triangle obtenu a « tourné » d'un demi-tour.

a) De \(M(6 ; 2)\) à \(O(4 ; 5)\) : \(2\) à gauche, \(3\) vers le haut. On refait ce déplacement : \(\mathbf{M'(2 ; 8)}\).

b) De \(O\) à \(M'\), on fait bien le même déplacement que de \(M\) à \(O\) : \(O\) est à égale distance de \(M\) et \(M'\), sur le segment \([MM']\) : c'est son milieu ✓.

a) \(A(0 ; 1) \to \mathbf{A'(6 ; 3)}\) et \(B(2 ; 3) \to \mathbf{B'(4 ; 1)}\).

b) Oui. Sur \((d)\), pour passer de \(A\) à \(B\), on avance de \(2\) et on monte de \(2\). Sur \((d')\), pour passer de \(B'\) à \(A'\), on avance aussi de \(2\) et on monte de \(2\) : les deux droites ont la même « pente », elles sont parallèles. C'est la propriété : l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle.

a) Les diagonales se coupent en leur milieu : \(ABCD\) est un parallélogramme.

b) \(I\) est le milieu de \([AC]\) : \(A\) et \(C\) sont symétriques par rapport à \(I\).

Ont un centre de symétrie : H, I, N, O, S, X, Z. (A, B, C, D et T ont seulement un axe de symétrie.)

Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon dont le centre est le symétrique du centre. De \(C(2 ; 3)\) à \(O(5 ; 1)\) : \(3\) à droite et \(2\) vers le bas. Centre image : \(\mathbf{C'(8 ; -1)}\). Rayon : \(4\) unités.

• De \(A(1 ; 2)\) à \(P(3 ; 3)\) : \(2\) à droite, \(1\) vers le haut. Donc \(\mathbf{M(5 ; 4)}\).
• De \(M(5 ; 4)\) à \(Q(5 ; 2)\) : \(2\) vers le bas. Donc \(\mathbf{N(5 ; 0)}\).

Un quadrilatère a un centre de symétrie quand c'est un parallélogramme. On garde par exemple \(A\), \(B\) et \(C\), et on déplace \(D\) pour que \(ABCD\) devienne un parallélogramme : on place \(D\) en faisant à partir de \(A\) le même déplacement que de \(B\) à \(C\). Le centre de symétrie est alors le point d'intersection des diagonales.

\(C\) est le milieu de \([AA']\). Pour aller de \(A\) à \(C\) : \(+1\) en abscisse, \(-2\) en ordonnée. On recommence à partir de \(C\) : \(\mathbf{A'(3 ; 0)}\).

Les diagonales se coupent en leur milieu \(O\) : le symétrique de \(A\) est \(\mathbf{C}\), celui de \(B\) est \(\mathbf{D}\).

C'est un cercle de même rayon \(2\) cm, dont le centre est le symétrique \(P'\) de \(P\).

Les mêmes : \(15\) cm et \(9\) cm².

Carré, rectangle, losange, parallélogramme et cercle ont un centre de symétrie (le point d'intersection des diagonales, ou le centre du cercle). Le triangle équilatéral n'en a pas.

a) \(O\) est le milieu de \([MM']\) et le milieu de \([NN']\) : les diagonales du quadrilatère \(MNM'N'\) se coupent en leur milieu. C'est donc un parallélogramme.

b) Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. \([MN]\) et \([M'N']\) sont des côtés opposés de \(MNM'N'\), donc \(\mathbf{M'N' = MN}\).

a) Le centre de symétrie échange les sommets opposés : le symétrique de \(A\) est \(C\). Par définition de la symétrie centrale, \(O\) est donc le milieu de \([AC]\).

b) Le symétrique de \([AB]\) est \([CD]\). L'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle : \(\mathbf{(AB) \parallel (CD)}\).

Oui, son centre (un demi-tour fait tomber chaque sommet sur le sommet opposé). Il a \(6\) axes de symétrie : \(3\) passent par deux sommets opposés, et \(3\) par les milieux de deux côtés opposés.

Chaque point de \((AB)\) a son symétrique sur la même droite (de l'autre côté de \(O\)). Le symétrique de \((AB)\) est la droite \((AB)\) elle-même.

Oui : un quadrilatère croisé (en forme de « nœud papillon »). Par exemple, dans un repère, \(A(0 ; 0)\), \(B(4 ; 0)\), \(C(0 ; 3)\) et \(D(4 ; 3)\) : on a \(AB = CD = 4\), et \([BC]\) et \([AD]\) sont les deux diagonales d'un même rectangle, donc \(AD = BC\). Pourtant, en reliant \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) dans cet ordre, les côtés \([BC]\) et \([DA]\) se croisent : \(ABCD\) n'est pas un parallélogramme (c'est \(ABDC\) qui en est un). C'est pour cela qu'on précise « non croisé » dans la propriété de reconnaissance.

a) \(O\) est le milieu de \([AC]\) : à mi-chemin entre \((0 ; 0)\) et \((8 ; 4)\), donc \(\mathbf{O(4 ; 2)}\).

b) De \(A\) à \(O\) : \(4\) à droite, \(2\) vers le haut ; de \(O\) à \(C\) : pareil ✓. De \(B(6 ; 0)\) à \(O\) : \(2\) à gauche, \(2\) vers le haut ; de \(O\) à \(D(2 ; 4)\) : pareil ✓.

c) \([AB]\) et \([CD]\) sont horizontaux : \(AB = 6 - 0 = \mathbf{6}\) et \(CD = 8 - 2 = \mathbf{6}\). La symétrie de centre \(O\) transforme \(B\) en \(D\) et \(C\) en \(A\), donc le segment \([BC]\) en \([DA]\). Comme elle conserve les longueurs, \(\mathbf{BC = DA}\).