5e · Chapitre 11 · Grandeurs et mesures

Solides, aires et volumes

30 exercices corrigés

1 Les solides étudiés

Un pavé droit et un prisme droit dessinés en perspective cavalière, et un cylindre.

Solide	Description
Pavé droit	$6$ faces rectangulaires, $12$ arêtes, $8$ sommets (le cube est un pavé dont toutes les faces sont des carrés)
Prisme droit	deux bases identiques et parallèles (des polygones), reliées par des faces latérales rectangulaires
Cylindre	deux bases qui sont des disques identiques et parallèles, et une face latérale courbe

À retenir — la perspective cavalière

Pour dessiner un solide,

les faces de devant sont dessinées en vraie grandeur ;
les arêtes « fuyantes » (en profondeur) sont dessinées en biais et plus courtes ;
des arêtes parallèles restent parallèles sur le dessin ;
les arêtes cachées sont en pointillés.

2 Les patrons

Un patron est une figure plane qui, une fois découpée et pliée, permet de fabriquer le solide.

Trois assemblages de 6 carrés : les patrons A et B permettent de fabriquer un cube, pas le C.

Le patron d'un cylindre : deux disques et un rectangle dont la longueur est le périmètre du disque.

Le patron d'un cylindre

La face latérale, une fois déroulée, est un rectangle. Sa longueur est égale au périmètre d'une base ($2 \times \pi \times r$) et sa largeur est la hauteur $h$.

3 L'aire d'un disque

À retenir

$\text{Aire du disque} = \pi \times \text{rayon} \times \text{rayon} = \pi \times r^2$ avec $\pi \approx 3{,}14$.

Exemple

Un disque de rayon $5$ cm a une aire de $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 3{,}14 \times 25 = 78{,}5$ cm².

Attention

On utilise le rayon et pas le diamètre ! Si on connaît le diamètre, on le divise d'abord par $2$.

Ne pas confondre

Périmètre du cercle $= 2 \times \pi \times r$ (une longueur, en cm) ; aire du disque $= \pi \times r^2$ (une aire, en cm²).

4 Les volumes

À retenir

pavé droit : $V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}$ ; cube d'arête $a$ : $V = a^3$ ;
prisme droit et cylindre : $V = \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$ ;
pour le cylindre, cela donne $V = \pi \times r^2 \times h$.

Exemple

Un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm a un volume de $\pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi \approx 282{,}6$ cm³.

Pourquoi « aire de la base × hauteur » ?

Le solide est un empilement de couches identiques à la base, d'épaisseur $1$ : il y a autant de couches que la hauteur.

5 Volumes et contenances

À retenir

$1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$ (un cube de $10$ cm d'arête contient exactement un litre). Donc $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$ et $1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}$.

m³			dm³			cm³
	hL	daL	L	dL	cL	mL

Attention

Pour les volumes, on passe d'une unité (m³, dm³, cm³) à la suivante en multipliant ou en divisant par $1\,000$.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

En 4e et en 3e, tu calculeras les volumes de la pyramide, du cône et de la boule, et tu étudieras les sections de solides par un plan.

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Perspective cavalière	Face avant en vraie grandeur ; fuyantes en biais ; arêtes cachées en pointillés
Patron du cylindre	Deux disques + un rectangle de longueur $2\pi r$ et de largeur $h$
Aire du disque	$\pi \times r^2$
Volume du pavé	$L \times \ell \times h$ ; cube : $a^3$
Volume du prisme droit	aire de la base $\times$ hauteur
Volume du cylindre	$\pi \times r^2 \times h$
Contenances	$1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$ ; $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$ ; $1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}$

Pièges à éviter

Aire du disque avec le rayon (et pas le diamètre).
$\pi \times r^2$ : on met le rayon au carré, pas $\pi$.
Pour les volumes, les unités vont de $1\,000$ en $1\,000$.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Volume du pavé droitNiveau 1

Calcule le volume d'un pavé droit de dimensions $5$ cm, $8$ cm et $3$ cm.

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$V = 5 \times 8 \times 3 = \mathbf{120 \text{ cm}^3}$.

Exercice 2—Le cubeNiveau 1

Un cube a une arête de $4$ cm. Calcule :
a) son volume ;
b) l'aire totale de ses faces.

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a) $V = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = \mathbf{64 \text{ cm}^3}$.

b) Le cube a $6$ faces carrées de $4^2 = 16$ cm² : $6 \times 16 = \mathbf{96 \text{ cm}^2}$.

Exercice 3—Aire de disquesNiveau 1

Calcule l'aire de chaque disque ($\pi \approx 3{,}14$) :
a) rayon $5$ cm ;
b) diamètre $10$ m ;
c) rayon $1{,}2$ cm (arrondis au centième).

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Règle

aire $= \pi \times r^2$, avec le rayon.

a) $3{,}14 \times 5^2 = 3{,}14 \times 25 = \mathbf{78{,}5 \text{ cm}^2}$.

b) Le rayon vaut $10 \div 2 = 5$ m : $3{,}14 \times 25 = \mathbf{78{,}5 \text{ m}^2}$.

c) $3{,}14 \times 1{,}2^2 = 3{,}14 \times 1{,}44 = 4{,}5216 \approx \mathbf{4{,}52 \text{ cm}^2}$.

Exercice 4—ContenancesNiveau 1

Convertis :
a) $2{,}5$ dm³ en L
b) $750$ cm³ en L
c) $1$ m³ en L
d) $3{,}2$ L en cm³

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a) $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$ : $2{,}5 \text{ dm}^3 = \mathbf{2{,}5 \text{ L}}$.

b) $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$ : $750 \text{ cm}^3 = 750 \text{ mL} = \mathbf{0{,}75 \text{ L}}$.

c) $1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3 = \mathbf{1\,000 \text{ L}}$.

d) $3{,}2 \text{ L} = 3{,}2 \text{ dm}^3 = \mathbf{3\,200 \text{ cm}^3}$.

Exercice 5—Patrons de cubeNiveau 1

Voici trois assemblages de $6$ carrés. Lesquels sont des patrons de cube ? Pour celui qui ne l'est pas, explique pourquoi.

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Les patrons A et B permettent de fabriquer un cube : en repliant les carrés, chacun vient se placer sur une face différente.

Le C n'est pas un patron de cube : avec un bloc de $2 \times 3$ carrés, en repliant, des carrés se superposent et il reste des faces non couvertes. (Un patron de cube ne contient jamais de carré de $2 \times 2$ carrés.)

Exercice 6—Comparer des volumesNiveau 1

Compare le volume d'un cube d'arête $3$ cm et celui d'un pavé droit de $2$ cm sur $3$ cm sur $5$ cm.

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Cube : $3^3 = 27$ cm³.
Pavé : $2 \times 3 \times 5 = 30$ cm³.

Le pavé a le plus grand volume ($30 > 27$).

Exercice 7—Volume d'un pavéNiveau 1

Calcule le volume d'un pavé droit de $6$ cm sur $4$ cm sur $2{,}5$ cm.

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$V = 6 \times 4 \times 2{,}5 = \mathbf{60}$ cm³.

Exercice 8—Aire d'un disqueNiveau 1

Calcule l'aire (valeur exacte, puis arrondie au dixième) :
a) d'un disque de rayon $5$ cm ;
b) d'un disque de diamètre $8$ cm.

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🎯 Aire du disque $= \pi \times r^2$.

a) $\pi \times 5^2 = \mathbf{25\pi} \approx \mathbf{78{,}5}$ cm².

b) Rayon $4$ cm : $\pi \times 4^2 = \mathbf{16\pi} \approx \mathbf{50{,}3}$ cm².

Attention

On utilise le rayon, pas le diamètre.

Exercice 9—ContenancesNiveau 1

Convertis :
a) $2{,}5$ L en cm³ $\quad$
b) $750$ cm³ en L

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$1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000$ cm³. a) $\mathbf{2\,500}$ cm³. b) $\mathbf{0{,}75}$ L.

Exercice 10—Le cubeNiveau 1

Un cube a une arête de $3$ cm.
a) Combien a-t-il de faces ?
b) Calcule son volume.
c) Calcule l'aire totale de ses faces.

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a) $6$ faces carrées. b) $3^3 = \mathbf{27}$ cm³. c) $6 \times 3^2 = \mathbf{54}$ cm².

Exercice 11—Le cylindreNiveau 1

Calcule le volume d'un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm (valeur exacte, puis au cm³ près).

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$V = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 9 \times 10 = \mathbf{90\pi} \approx \mathbf{283}$ cm³.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Le cylindreNiveau 2

Un cylindre a un rayon de $3$ cm et une hauteur de $10$ cm. Calcule ($\pi \approx 3{,}14$) :
a) son volume ;
b) l'aire de sa face latérale.

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a) $V = \pi \times r^2 \times h \approx 3{,}14 \times 9 \times 10 = \mathbf{282{,}6 \text{ cm}^3}$.

b) La face latérale est un rectangle de longueur $2 \times \pi \times 3$ et de largeur $10$ : $2 \times 3{,}14 \times 3 \times 10 = \mathbf{188{,}4 \text{ cm}^2}$

Exercice 13—La piscineNiveau 2

Une piscine a la forme d'un cylindre de rayon $4$ m et de profondeur $1{,}5$ m. Combien de litres d'eau peut-elle contenir ? ($\pi \approx 3{,}14$)

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$V \approx 3{,}14 \times 4^2 \times 1{,}5 = 3{,}14 \times 16 \times 1{,}5 = 75{,}36 \text{ m}^3$.

$1 \text{ m}^3 = 1\,000$ L, donc la piscine contient environ $\mathbf{75\,360 \text{ L}}$.

Exercice 14—Patron du cylindreNiveau 2

Un cylindre a un rayon de $5$ cm et une hauteur de $12$ cm ($\pi \approx 3{,}14$).
a) Dessine son patron à main levée.
b) Calcule la longueur du rectangle du patron.
c) Calcule l'aire totale du patron.

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a) Un rectangle, avec un disque collé au-dessus et un disque collé au-dessous.

b) Longueur du rectangle $=$ périmètre d'une base : $2 \times 3{,}14 \times 5 = \mathbf{31{,}4 \text{ cm}}$

Rectangle : $31{,}4 \times 12 = 376{,}8$ cm².
Deux disques : $2 \times 3{,}14 \times 5^2 = 2 \times 78{,}5 = 157$ cm².

Aire totale : $376{,}8 + 157 = \mathbf{533{,}8 \text{ cm}^2}$.

Exercice 15—Le prismeNiveau 2

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $3$ cm et $4$ cm. Sa hauteur est $10$ cm.
a) Calcule l'aire de la base.
b) Calcule le volume du prisme.

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a) Un triangle rectangle est la moitié d'un rectangle : $\dfrac{3 \times 4}{2} = \mathbf{6 \text{ cm}^2}$.

b) $V = $ aire de la base $\times$ hauteur $= 6 \times 10 = \mathbf{60 \text{ cm}^3}$.

Exercice 16—Boîte de céréalesNiveau 2

Une boîte de céréales est un pavé droit de $20$ cm sur $6$ cm sur $30$ cm.
a) Calcule l'aire totale de carton nécessaire (sans compter les rabats).
b) Calcule son volume, puis exprime-le en litres.

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a) Les faces vont par paires : $20 \times 6 = 120$ ; $20 \times 30 = 600$ ; $6 \times 30 = 180$ (en cm²). $2 \times (120 + 600 + 180) = 2 \times 900 = \mathbf{1\,800 \text{ cm}^2}$

b) $V = 20 \times 6 \times 30 = 3\,600$ cm³ $= 3{,}6$ dm³ $= \mathbf{3{,}6 \text{ L}}$.

Exercice 17—Le disque dans le carréNiveau 2

Un cercle est tracé à l'intérieur d'un carré de $10$ cm de côté ; il touche les quatre côtés.
a) Quel est le rayon du cercle ?
b) Calcule l'aire du carré et l'aire du disque ($\pi \approx 3{,}14$).
c) Calcule l'aire de la partie du carré qui n'est pas dans le disque.

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a) Le diamètre du cercle est égal au côté du carré, $10$ cm : le rayon vaut $\mathbf{5 \text{ cm}}$.

b) Carré : $10^2 = \mathbf{100 \text{ cm}^2}$. Disque : $3{,}14 \times 5^2 = \mathbf{78{,}5 \text{ cm}^2}$.

c) $100 - 78{,}5 = \mathbf{21{,}5 \text{ cm}^2}$ (les quatre « coins »).

Exercice 18—Perspective cavalièreNiveau 2

On dessine un pavé droit en perspective cavalière.
a) Combien d'arêtes a un pavé droit ?
b) Combien d'arêtes sont dessinées en traits pleins ? en pointillés ?
c) Combien de faces sont dessinées en vraie grandeur (sans déformation) ?

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a) $12$ arêtes.

b) $9$ arêtes visibles (traits pleins) et $3$ arêtes cachées (pointillés).

c) $2$ faces : la face avant et la face arrière (parallèles à la feuille) sont des rectangles en vraie grandeur ; les autres faces sont déformées (dessinées comme des parallélogrammes).

Exercice 19—L'anneauNiveau 2

Une rondelle est un disque de rayon $5$ cm, percé en son centre d'un trou de rayon $3$ cm. Calcule l'aire de la rondelle ($\pi \approx 3{,}14$).

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On enlève l'aire du trou à l'aire du grand disque : $3{,}14 \times 5^2 - 3{,}14 \times 3^2 = 78{,}5 - 28{,}26 = \mathbf{50{,}24 \text{ cm}^2}$

Exercice 20—Le prismeNiveau 2

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $3$ cm et $4$ cm. Sa hauteur est de $10$ cm.
a) Calcule l'aire de la base.
b) Calcule son volume.

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a) $\dfrac{3 \times 4}{2} = \mathbf{6}$ cm². b) $V = 6 \times 10 = \mathbf{60}$ cm³.

Exercice 21—L'aquariumNiveau 2

Un aquarium a la forme d'un pavé de $50$ cm sur $30$ cm sur $40$ cm. Combien de litres d'eau contient-il quand il est plein ?

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$50 \times 30 \times 40 = 60\,000$ cm³ $= 60$ dm³ $= \mathbf{60}$ L.

Exercice 22—Le patron du pavéNiveau 2

a) Combien de faces a le patron d'un pavé droit ? Quelle est la forme de ces faces ?
b) Pour un pavé de $5 \times 3 \times 2$ cm, donne les dimensions des faces.

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a) $6$ faces rectangulaires, égales deux à deux.

b) Deux faces de $5 \times 3$ cm, deux de $5 \times 2$ cm et deux de $3 \times 2$ cm.

Exercice 23—Le verreNiveau 2

Un verre cylindrique a un rayon de $3{,}5$ cm et une hauteur de $10$ cm. Calcule sa contenance, en cm³ puis en litres (au centilitre près).

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$V = \pi \times 3{,}5^2 \times 10 = 122{,}5\pi \approx 385$ cm³, soit environ $\mathbf{0{,}38}$ L ($38$ cL).

Exercice 24—Cube ou cylindre ?Niveau 2

Lequel contient le plus : un cube de $10$ cm d'arête, ou un cylindre de rayon $5$ cm et de hauteur $10$ cm ?

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Cube : $10^3 = 1\,000$ cm³. Cylindre : $\pi \times 25 \times 10 \approx 785$ cm³. Le cube contient le plus.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—La canetteNiveau 3

Une canette a la forme d'un cylindre de rayon $3{,}3$ cm et de hauteur $11$ cm.
a) Calcule son volume en cm³ ($\pi \approx 3{,}14$), arrondi à l'unité.
b) Convertis en centilitres. Sur la canette, il est écrit « $33$ cL ». Explique.

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a) $V \approx 3{,}14 \times 3{,}3^2 \times 11 = 3{,}14 \times 10{,}89 \times 11 \approx 376{,}1$ cm³, soit environ $\mathbf{376 \text{ cm}^3}$.

b) $376$ cm³ $= 376$ mL $= \mathbf{37{,}6 \text{ cL}}$. La canette peut contenir environ $37{,}6$ cL, mais on n'y met que $33$ cL de boisson : la canette n'est pas remplie à ras bord (il reste de l'air, et le cylindre n'est qu'un modèle approché de la canette).

Exercice 26—Deux cylindresNiveau 3

Le cylindre A a un rayon de $2$ cm et une hauteur de $8$ cm. Le cylindre B a un rayon de $4$ cm et une hauteur de $2$ cm.
a) Lequel paraît le plus grand ?
b) Calcule leurs volumes ($\pi \approx 3{,}14$). Conclus.

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a) Le cylindre A est plus haut, le B plus large : difficile de répondre à l'œil !

A : $3{,}14 \times 2^2 \times 8 = 3{,}14 \times 32 = 100{,}48$ cm³.
B : $3{,}14 \times 4^2 \times 2 = 3{,}14 \times 32 = 100{,}48$ cm³.

Les deux cylindres ont exactement le même volume.

Pourquoi ?

Doubler le rayon multiplie l'aire de la base par $4$ ; diviser la hauteur par $4$ compense exactement.

Exercice 27—Les pizzasNiveau 3

Pour le même prix, vaut-il mieux une pizza de $30$ cm de diamètre ou deux pizzas de $20$ cm de diamètre ? Justifie par un calcul d'aires ($\pi \approx 3{,}14$).

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Grande pizza : rayon $15$ cm ; aire $3{,}14 \times 15^2 = 3{,}14 \times 225 = 706{,}5$ cm².
Deux petites : rayon $10$ cm ; aire $2 \times 3{,}14 \times 10^2 = 2 \times 314 = 628$ cm².

La grande pizza donne plus à manger ($706{,}5 > 628$).

Exercice 28—L'aquariumNiveau 3

Un aquarium est un pavé droit de $80$ cm de long, $40$ cm de large et $50$ cm de haut. Il est rempli aux $\dfrac{3}{4}$ de sa hauteur.
a) Calcule le volume d'eau, en cm³ puis en litres.
b) On pose au fond un cube plein de $10$ cm d'arête. De combien le niveau de l'eau monte-t-il ?

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a) Hauteur d'eau : $\dfrac{3}{4}$ de $50 = 37{,}5$ cm. $80 \times 40 \times 37{,}5 = 3\,200 \times 37{,}5 = \mathbf{120\,000 \text{ cm}^3} = 120 \text{ dm}^3 = \mathbf{120 \text{ L}}$

b) Le cube occupe $10^3 = 1\,000$ cm³ : l'eau monte d'autant. Ce volume s'étale sur toute la surface du fond, $80 \times 40 = 3\,200$ cm². La hausse du niveau vaut : $1\,000 \div 3\,200 = 0{,}3125 \text{ cm} \approx \mathbf{0{,}3 \text{ cm}}$ (soit environ $3$ mm).

Exercice 29—La tenteNiveau 3

Une tente a la forme d'un prisme droit. Sa base (l'avant de la tente) est un triangle isocèle de base $2$ m et de hauteur $1{,}5$ m, dont les deux autres côtés mesurent environ $1{,}8$ m. La tente est longue de $3$ m.
a) Calcule l'aire du triangle de base.
b) Calcule le volume de la tente.
c) Calcule l'aire de toile nécessaire (les deux triangles et les deux pans du toit, sans le sol).

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a) $\dfrac{2 \times 1{,}5}{2} = \mathbf{1{,}5 \text{ m}^2}$.

b) $V = 1{,}5 \times 3 = \mathbf{4{,}5 \text{ m}^3}$.

Les deux triangles (avant et arrière) : $2 \times 1{,}5 = 3$ m².
Les deux pans du toit : deux rectangles de $1{,}8$ m sur $3$ m : $2 \times 1{,}8 \times 3 = 10{,}8$ m².

Toile nécessaire : $3 + 10{,}8 = \mathbf{13{,}8 \text{ m}^2}$.

Exercice 30—Synthèse : le récupérateur d'eauNiveau 3

Un récupérateur d'eau de pluie est un cylindre de rayon $0{,}5$ m et de hauteur $1{,}2$ m ($\pi \approx 3{,}14$).
a) Calcule son volume en m³, puis en litres.
b) Pour le vider, on utilise un arrosoir de $10$ L. Combien d'arrosoirs faut-il remplir ?
c) Un robinet le vide à $12$ L par minute. Combien de temps faut-il pour le vider ? Donne la réponse en heures, minutes et secondes.

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a) $V \approx 3{,}14 \times 0{,}5^2 \times 1{,}2 = 3{,}14 \times 0{,}25 \times 1{,}2 = \mathbf{0{,}942 \text{ m}^3}$, soit $\mathbf{942 \text{ L}}$.

b) $942 \div 10 = 94{,}2$ : il faut remplir $95$ arrosoirs (le dernier ne sera pas plein).

c) $942 \div 12 = 78{,}5$ min. $78$ min $= 1$ h $18$ min, et $0{,}5$ min $= 30$ s. Durée : $1$ h $18$ min $30$ s.