5e · Chapitre 2 · Nombres et calculs

Fractions : comparer, additionner, soustraire

30 exercices corrigés

1 Rappels : des fractions égales

On ne change pas la valeur d'une fraction si on multiplie ou si on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre (différent de $0$) :

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \qquad \frac{42}{56} = \frac{42 \div 14}{56 \div 14} = \frac{3}{4}$

Méthode — simplifier

On cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (les critères de divisibilité aident : $2$, $3$, $5$, $9$, $10$), on divise, et on recommence tant que c'est possible. $\frac{42}{56} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4} \quad (\text{on a divisé par } 2, \text{ puis par } 7)$

2 Comparer des fractions

À retenir

si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur : $\dfrac{5}{9} > \dfrac{4}{9}$ ;
sinon, on les écrit d'abord avec le même dénominateur.

Méthode — trouver un dénominateur commun

On cherche un nombre qui est à la fois dans la table de chacun des dénominateurs. Le produit des deux dénominateurs marche toujours, mais un nombre plus petit donne des calculs plus simples.

Pour $3$ et $5$ : $15$ (car $3 \times 5 = 15$).
Pour $6$ et $9$ : $18$ est dans les deux tables (plus simple que $54$).

Exemple

Comparer $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{4}{7}$. Dénominateur commun : $35$. $\frac{3}{5} = \frac{21}{35} \qquad \frac{4}{7} = \frac{20}{35}$ Comme $21 > 20$, on a $\dfrac{3}{5} > \dfrac{4}{7}$.

Astuce

On peut aussi comparer une fraction à $1$. Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est plus petite que $1$ : $\dfrac{7}{8} < 1 < \dfrac{9}{8}$.

3 Additionner et soustraire des fractions

Avec le même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur :

$\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{8}{8} = 1 \qquad \frac{11}{12} - \frac{5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Avec des dénominateurs différents, on écrit d'abord les fractions avec le même dénominateur.

Un quart et deux tiers : en découpant en douzièmes, on peut ajouter 3 douzièmes et 8 douzièmes.

Exemple

$\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$. Dénominateur commun : $12$. $\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$

Exemple

$\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}$. $12$ est dans la table de $6$ et dans celle de $4$. $\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$

Avec un nombre entier

On l'écrit comme une fraction. $2 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{11}{4}$.

Attention

On n'additionne jamais les dénominateurs ! $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ ne vaut pas $\dfrac{2}{5}$, mais $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$.

4 Problèmes avec des fractions

Méthode

« Quelle fraction reste-t-il ? » : le tout vaut $1$. On additionne les fractions utilisées, puis on soustrait de $1$.

Exemple

Léa dépense $\dfrac{1}{3}$ de son argent en livres et $\dfrac{1}{4}$ en sorties. Elle a dépensé $\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$ de son argent. Il lui reste $\dfrac{12}{12} - \dfrac{7}{12} = \dfrac{5}{12}$. Si elle avait $36$ €, il lui reste $\dfrac{5}{12}$ de $36$ : $36 \div 12 \times 5 = 15$ €.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

En 4e, tu apprendras à multiplier et à diviser des fractions entre elles (par exemple $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}$).

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Fractions égales	Multiplier ou diviser le haut et le bas par le même nombre
Simplifier	Diviser par un diviseur commun (critères de divisibilité)
Comparer	Même dénominateur → comparer les numérateurs
Dénominateur commun	Un nombre qui est dans les tables des deux dénominateurs
Additionner / soustraire	Même dénominateur : $\dfrac{a}{d} + \dfrac{b}{d} = \dfrac{a + b}{d}$
Le tout	vaut $1$, c'est-à-dire $\dfrac{d}{d}$

Pièges à éviter

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}$ : on met au même dénominateur.
Quand on change le dénominateur, on multiplie aussi le numérateur.
Penser à simplifier le résultat final.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Même dénominateurNiveau 1

Calcule et simplifie si possible :
a) $\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8}$
b) $\dfrac{11}{12} - \dfrac{5}{12}$
c) $\dfrac{7}{15} + \dfrac{4}{15} - \dfrac{2}{15}$
d) $\dfrac{1}{7} + \dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7} + \dfrac{5}{7} + \dfrac{6}{7}$

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Règle

même dénominateur → on additionne ou on soustrait les numérateurs, et on garde le dénominateur.

a) $\dfrac{3 + 5}{8} = \dfrac{8}{8} = \mathbf{1}$

b) $\dfrac{11 - 5}{12} = \dfrac{6}{12} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$

c) $\dfrac{7 + 4 - 2}{15} = \dfrac{9}{15} = \mathbf{\dfrac{3}{5}}$ (on a simplifié par $3$)

d) $\dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{7} = \dfrac{21}{7} = \mathbf{3}$

Astuce pour d)

On regroupe $\dfrac{1}{7} + \dfrac{6}{7} = 1$, $\dfrac{2}{7} + \dfrac{5}{7} = 1$ et $\dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7} = 1$ : trois fois $1$.

Exercice 2—SimplifierNiveau 1

Simplifie le plus possible :
a) $\dfrac{12}{18}$
b) $\dfrac{35}{45}$
c) $\dfrac{42}{56}$
d) $\dfrac{75}{100}$

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Méthode

on divise le haut et le bas par un diviseur commun, et on recommence.

a) $\dfrac{12}{18} = \dfrac{12 \div 6}{18 \div 6} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$

b) $\dfrac{35}{45} = \dfrac{35 \div 5}{45 \div 5} = \mathbf{\dfrac{7}{9}}$

c) $\dfrac{42}{56} = \dfrac{21}{28}$ ($\div 2$) $= \mathbf{\dfrac{3}{4}}$ ($\div 7$)

d) $\dfrac{75}{100} = \dfrac{75 \div 25}{100 \div 25} = \mathbf{\dfrac{3}{4}}$

Exercice 3—ComparerNiveau 1

Compare en mettant au même dénominateur :
a) $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{4}{7}$
b) $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{7}{9}$
c) $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{5}{8}$

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Méthode

même dénominateur, puis on compare les numérateurs.

a) Dénominateur commun $35$ : $\dfrac{3}{5} = \dfrac{21}{35}$ et $\dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{35}$. Comme $21 > 20$ : $\mathbf{\dfrac{3}{5} > \dfrac{4}{7}}$.

b) $18$ est dans la table de $6$ et de $9$ : $\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$ et $\dfrac{7}{9} = \dfrac{14}{18}$. Donc $\mathbf{\dfrac{5}{6} > \dfrac{7}{9}}$.

c) Dénominateur commun $24$ : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{16}{24}$ et $\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}$. Donc $\mathbf{\dfrac{2}{3} > \dfrac{5}{8}}$.

Exercice 4—Dénominateurs différentsNiveau 1

Calcule :
a) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$
b) $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6}$
c) $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}$

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a) Dénominateur commun $6$ : $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{5}{6}}$

b) Dénominateur commun $12$ : $\dfrac{9}{12} + \dfrac{2}{12} = \mathbf{\dfrac{11}{12}}$

c) Dénominateur commun $12$ : $\dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} = \mathbf{\dfrac{7}{12}}$

Piège

En b), $24$ marche aussi ($\dfrac{18}{24} + \dfrac{4}{24} = \dfrac{22}{24}$), mais il faut ensuite simplifier par $2$ pour retrouver $\dfrac{11}{12}$.

Exercice 5—Fraction d'une quantitéNiveau 1

Calcule :
a) $\dfrac{3}{5}$ de $25$
b) $\dfrac{2}{3}$ de $18$
c) $\dfrac{7}{8}$ de $40$

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Méthode

on divise par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur.

a) $25 \div 5 = 5$, puis $5 \times 3 = \mathbf{15}$.

b) $18 \div 3 = 6$, puis $6 \times 2 = \mathbf{12}$.

c) $40 \div 8 = 5$, puis $5 \times 7 = \mathbf{35}$.

Exercice 6—Plus petit ou plus grand que 1 ?Niveau 1

Classe ces fractions en trois groupes : plus petites que $1$, égales à $1$, plus grandes que $1$. $\frac{7}{5} \quad ; \quad \frac{4}{9} \quad ; \quad \frac{9}{9} \quad ; \quad \frac{13}{12} \quad ; \quad \frac{11}{15}$

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Règle

on compare le numérateur au dénominateur.

Plus petites que $1$ (numérateur plus petit) : $\mathbf{\dfrac{4}{9}}$ et $\mathbf{\dfrac{11}{15}}$.
Égale à $1$ : $\mathbf{\dfrac{9}{9}}$.
Plus grandes que $1$ (numérateur plus grand) : $\mathbf{\dfrac{7}{5}}$ et $\mathbf{\dfrac{13}{12}}$.

Exercice 7—Simplifier des fractionsNiveau 1

Simplifie le plus possible :
a) $\dfrac{12}{18}$ $\quad$
b) $\dfrac{15}{25}$ $\quad$
c) $\dfrac{24}{36}$

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a) $\dfrac{12 \div 6}{18 \div 6} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$ ; b) $\dfrac{15 \div 5}{25 \div 5} = \mathbf{\dfrac{3}{5}}$ ; c) $\dfrac{24 \div 12}{36 \div 12} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$.

Exercice 8—Même dénominateurNiveau 1

Calcule et simplifie si possible :
a) $\dfrac{3}{11} + \dfrac{5}{11}$ $\quad$
b) $\dfrac{7}{12} - \dfrac{1}{12}$

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a) $\mathbf{\dfrac{8}{11}}$ ; b) $\dfrac{6}{12} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$.

Exercice 9—Un dénominateur multiple de l'autreNiveau 1

Calcule :
a) $\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6}$ $\quad$
b) $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{8}$ $\quad$
c) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{7}{10}$

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🎯 On écrit la fraction de plus petit dénominateur avec le dénominateur de l'autre.

a) $\dfrac{2}{6} + \dfrac{5}{6} = \mathbf{\dfrac{7}{6}}$ ; b) $\dfrac{6}{8} - \dfrac{1}{8} = \mathbf{\dfrac{5}{8}}$ ; c) $\dfrac{4}{10} + \dfrac{7}{10} = \mathbf{\dfrac{11}{10}}$.

Exercice 10—ComparerNiveau 1

Compare en écrivant les fractions avec le même dénominateur :
a) $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{7}{9}$ $\quad$
b) $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{5}{8}$

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a) Dénominateur $18$ : $\dfrac{15}{18}$ et $\dfrac{14}{18}$, donc $\mathbf{\dfrac{5}{6} > \dfrac{7}{9}}$.

b) $\dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8}$, donc $\mathbf{\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{8}}$.

Exercice 11—Avec un entierNiveau 1

Calcule :
a) $2 + \dfrac{3}{4}$ $\quad$
b) $1 - \dfrac{2}{7}$

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a) $2 = \dfrac{8}{4}$ : $\dfrac{8}{4} + \dfrac{3}{4} = \mathbf{\dfrac{11}{4}}$. b) $1 = \dfrac{7}{7}$ : $\dfrac{7}{7} - \dfrac{2}{7} = \mathbf{\dfrac{5}{7}}$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—RangerNiveau 2

Range dans l'ordre croissant : $\frac{5}{6} \quad ; \quad \frac{7}{9} \quad ; \quad \frac{3}{4}$

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Méthode

$36$ est dans les tables de $6$, de $9$ et de $4$.

$\frac{5}{6} = \frac{30}{36} \qquad \frac{7}{9} = \frac{28}{36} \qquad \frac{3}{4} = \frac{27}{36}$

$27 < 28 < 30$, donc : $\mathbf{\dfrac{3}{4} < \dfrac{7}{9} < \dfrac{5}{6}}$.

Exercice 13—La pizzaNiveau 2

Une pizza est coupée en $8$ parts égales. Alice mange $\dfrac{3}{8}$ de la pizza, Bob mange $\dfrac{1}{4}$.
a) Quelle fraction de pizza ont-ils mangée ensemble ?
b) Quelle fraction reste-t-il ?

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a) $\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}$, donc ensemble : $\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \mathbf{\dfrac{5}{8}}$.

b) La pizza entière vaut $\dfrac{8}{8}$ : il reste $\dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{8} = \mathbf{\dfrac{3}{8}}$, soit $3$ parts.

Exercice 14—Ranger trois fractionsNiveau 2

Range dans l'ordre croissant : $\frac{3}{5} \quad ; \quad \frac{7}{12} \quad ; \quad \frac{5}{8}$

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Méthode

on cherche un nombre dans les tables de $5$, de $12$ et de $8$. $120$ convient ($5 \times 24$, $12 \times 10$, $8 \times 15$).

$\frac{3}{5} = \frac{72}{120} \qquad \frac{7}{12} = \frac{70}{120} \qquad \frac{5}{8} = \frac{75}{120}$

$70 < 72 < 75$, donc : $\mathbf{\dfrac{7}{12} < \dfrac{3}{5} < \dfrac{5}{8}}$.

Exercice 15—Comparer par une soustractionNiveau 2

Laquelle est la plus grande : $\dfrac{5}{8}$ ou $\dfrac{7}{12}$ ? Calcule la différence $\dfrac{5}{8} - \dfrac{7}{12}$ pour répondre.

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Idée

si $a - b$ est positif (donc si on peut enlever $b$ à $a$), alors $a$ est plus grand que $b$.

Dénominateur commun $24$ : $\frac{5}{8} - \frac{7}{12} = \frac{15}{24} - \frac{14}{24} = \frac{1}{24}$

La différence est positive : $\mathbf{\dfrac{5}{8} > \dfrac{7}{12}}$ (de $\dfrac{1}{24}$ seulement).

Exercice 16—Calculs enchaînésNiveau 2

Calcule :
a) $A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}$
b) $B = 3 - \dfrac{5}{4}$
c) $C = \dfrac{7}{10} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{2}$

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a) Dénominateur commun $12$ : $A = \frac{6}{12} + \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{11}{12}}$

b) $3 = \dfrac{12}{4}$ : $B = \frac{12}{4} - \frac{5}{4} = \mathbf{\frac{7}{4}}$

c) Dénominateur commun $10$ : $C = \frac{7}{10} - \frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{10}{10} = \mathbf{1}$

Exercice 17—Avec des entiersNiveau 2

Écris sous la forme d'une seule fraction :
a) $2 + \dfrac{3}{4}$
b) $\dfrac{5}{3} + 1$
c) $4 - \dfrac{2}{5}$

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Méthode

on écrit l'entier avec le même dénominateur que la fraction.

a) $2 = \dfrac{8}{4}$ : $\dfrac{8}{4} + \dfrac{3}{4} = \mathbf{\dfrac{11}{4}}$

b) $1 = \dfrac{3}{3}$ : $\dfrac{5}{3} + \dfrac{3}{3} = \mathbf{\dfrac{8}{3}}$

c) $4 = \dfrac{20}{5}$ : $\dfrac{20}{5} - \dfrac{2}{5} = \mathbf{\dfrac{18}{5}}$

Exercice 18—L'argent de pocheNiveau 2

Léa dépense $\dfrac{1}{3}$ de son argent de poche en livres et $\dfrac{1}{4}$ en sorties.
a) Quelle fraction de son argent a-t-elle dépensée ?
b) Quelle fraction lui reste-t-il ?
c) Elle avait $36$ €. Combien lui reste-t-il ?

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a) Dénominateur commun $12$ : $\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \mathbf{\dfrac{7}{12}}$.

b) $\dfrac{12}{12} - \dfrac{7}{12} = \mathbf{\dfrac{5}{12}}$.

c) $\dfrac{5}{12}$ de $36$ : $36 \div 12 = 3$, puis $3 \times 5 = \mathbf{15 \text{ €}}$.

🔍 Vérification : livres $\dfrac{1}{3}$ de $36 = 12$ €, sorties $\dfrac{1}{4}$ de $36 = 9$ € ; $36 - 12 - 9 = 15$ € ✓.

Exercice 19—Égalités à trousNiveau 2

Trouve le nombre manquant :
a) $\square + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$
b) $\dfrac{3}{4} - \square = \dfrac{1}{6}$
c) $\square - \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{2}$

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Méthode

on utilise l'opération inverse, puis on vérifie.

a) $\square = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$.

b) On cherche ce qu'on enlève à $\dfrac{3}{4}$ pour obtenir $\dfrac{1}{6}$ : $\square = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \mathbf{\dfrac{7}{12}}$.

c) $\square = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{4}{10} = \mathbf{\dfrac{9}{10}}$.

🔍 Vérification de c) : $\dfrac{9}{10} - \dfrac{4}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ ✓.

Exercice 20—Le budgetNiveau 2

Léo dépense $\dfrac{1}{3}$ de son budget en loisirs et $\dfrac{1}{6}$ en vêtements.
a) Quelle fraction de son budget a-t-il dépensée ?
b) Son budget est de $240$ €. Combien lui reste-t-il ?

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a) $\dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$.

b) Il reste $\dfrac{1}{2}$ du budget : $240 \div 2 = \mathbf{120}$ €.

Exercice 21—Calculs enchaînésNiveau 2

Calcule :
a) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}$ $\quad$
b) $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}$

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a) En huitièmes : $\dfrac{4}{8} + \dfrac{2}{8} + \dfrac{1}{8} = \mathbf{\dfrac{7}{8}}$.

b) En sixièmes : $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{6}{6} = \mathbf{1}$.

Exercice 22—RangerNiveau 2

Range dans l'ordre croissant : $\dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{5}{6}$ ; $\dfrac{7}{12}$ ; $\dfrac{3}{4}$.

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En douzièmes : $\dfrac{8}{12}$, $\dfrac{10}{12}$, $\dfrac{7}{12}$, $\dfrac{9}{12}$. Donc $\mathbf{\dfrac{7}{12} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}}$.

Exercice 23—Égalités à trousNiveau 2

Trouve la fraction manquante :
a) $\dfrac{1}{4} + \ldots = \dfrac{7}{8}$ $\quad$
b) $\ldots - \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{10}$

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a) $\dfrac{7}{8} - \dfrac{2}{8} = \mathbf{\dfrac{5}{8}}$. b) $\dfrac{1}{10} + \dfrac{4}{10} = \dfrac{5}{10} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$.

Exercice 24—Le jardinNiveau 2

Un jardin de $400$ m² est occupé pour $\dfrac{3}{8}$ par des légumes, pour $\dfrac{1}{4}$ par des fleurs, et le reste par de la pelouse.
a) Quelle fraction du jardin est occupée par la pelouse ?
b) Quelle est l'aire de la pelouse ?

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a) Légumes et fleurs : $\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}$. Pelouse : $1 - \dfrac{5}{8} = \mathbf{\dfrac{3}{8}}$.

b) $400 \div 8 \times 3 = \mathbf{150}$ m².

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Prouver un encadrementNiveau 3

Prouve que $\dfrac{3}{5} < \dfrac{7}{11} < \dfrac{2}{3}$.

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Méthode

on écrit les trois fractions avec le même dénominateur. $3 \times 5 \times 11 = 165$ est dans les trois tables.

$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 33}{165} = \frac{99}{165} \qquad \frac{7}{11} = \frac{7 \times 15}{165} = \frac{105}{165} \qquad \frac{2}{3} = \frac{2 \times 55}{165} = \frac{110}{165}$

$99 < 105 < 110$, donc $\mathbf{\dfrac{3}{5} < \dfrac{7}{11} < \dfrac{2}{3}}$.

Exercice 26—Une somme astucieuseNiveau 3

On considère $S = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20}$.
a) Calcule $S$ en utilisant le dénominateur commun $60$.
b) Vérifie que $\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}$, que $\dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}$ et que $\dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5}$.
c) En écrivant aussi $\dfrac{1}{2} = 1 - \dfrac{1}{2}$, retrouve la valeur de $S$ beaucoup plus vite.

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a) $60 = 2 \times 30 = 6 \times 10 = 12 \times 5 = 20 \times 3$ : $S = \frac{30}{60} + \frac{10}{60} + \frac{5}{60} + \frac{3}{60} = \frac{48}{60} = \mathbf{\frac{4}{5}}$

$\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{6}$ ✓
$\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{12}$ ✓
$\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{20} - \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{20}$ ✓

c) $S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right)$ Les termes s'annulent deux à deux ($-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0$, etc.). Il reste : $S = 1 - \frac{1}{5} = \mathbf{\frac{4}{5}}$

Exercice 27—Le partage du terrainNiveau 3

Un terrain est partagé entre trois personnes : Ali reçoit $\dfrac{1}{3}$ du terrain, Ben $\dfrac{2}{5}$ et Cléo le reste.
a) Quelle fraction du terrain reçoit Cléo ?
b) Range les trois personnes de celle qui reçoit le plus à celle qui reçoit le moins.
c) Le terrain mesure $4\,500$ m². Quelle surface reçoit chacun ?

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a) Dénominateur commun $15$ : Ali et Ben reçoivent $\dfrac{5}{15} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{11}{15}$. Cléo reçoit $\dfrac{15}{15} - \dfrac{11}{15} = \mathbf{\dfrac{4}{15}}$.

b) En quinzièmes : Ben $\dfrac{6}{15}$, Ali $\dfrac{5}{15}$, Cléo $\dfrac{4}{15}$. Ordre : Ben, Ali, Cléo.

c) $\dfrac{1}{15}$ du terrain $= 4\,500 \div 15 = 300$ m².

Ben : $6 \times 300 = \mathbf{1\,800 \text{ m}^2}$
Ali : $5 \times 300 = \mathbf{1\,500 \text{ m}^2}$
Cléo : $4 \times 300 = \mathbf{1\,200 \text{ m}^2}$

Vérification : $1\,800 + 1\,500 + 1\,200 = 4\,500$ ✓.

Exercice 28—Le réservoirNiveau 3

Un réservoir est rempli aux $\dfrac{3}{4}$ de sa capacité. On utilise une quantité d'eau égale à $\dfrac{1}{3}$ de sa capacité, puis on rajoute $\dfrac{1}{6}$ de sa capacité.
a) Quelle fraction de la capacité contient-il à la fin ?
b) La capacité est de $60$ L. Combien de litres contient-il à la fin ?

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a) Toutes les fractions portent sur la capacité du réservoir : on peut les additionner et les soustraire. Dénominateur commun $12$ : $\frac{3}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} + \frac{2}{12} = \mathbf{\frac{7}{12}}$

b) $\dfrac{7}{12}$ de $60$ L : $60 \div 12 = 5$, puis $5 \times 7 = \mathbf{35 \text{ L}}$.

Exercice 29—Les fractions égyptiennesNiveau 3

Les Égyptiens de l'Antiquité écrivaient les fractions comme des sommes de fractions de numérateur 1, toutes différentes.
a) Vérifie que $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
b) Calcule $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$.
c) Écris $\dfrac{7}{12}$ comme la somme de deux fractions de numérateur $1$.
d) Vérifie que $\dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{15}$.

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a) $\dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ ✓

b) $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{5}{6}}$

c) On cherche deux fractions de numérateur $1$ dont les douzièmes font $7$ : $\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$, et $4 + 3 = 7$. $\mathbf{\frac{7}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}}$

d) $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{5}{15} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$ ✓ (on a simplifié par $3$).

Exercice 30—Synthèse : les élèves du collègeNiveau 3

Dans un collège, $\dfrac{1}{4}$ des élèves sont en 6e, $\dfrac{2}{7}$ en 5e, $\dfrac{1}{4}$ en 4e, et les autres en 3e.
a) Quelle fraction des élèves est en 3e ?
b) Quel niveau a le plus d'élèves ? Le moins ?
c) Le collège compte $560$ élèves. Combien y en a-t-il dans chaque niveau ?

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a) Dénominateur commun $28$ : $\dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{28}$ et $\dfrac{2}{7} = \dfrac{8}{28}$. 6e, 5e et 4e : $\dfrac{7}{28} + \dfrac{8}{28} + \dfrac{7}{28} = \dfrac{22}{28}$. 3e : $\dfrac{28}{28} - \dfrac{22}{28} = \dfrac{6}{28} = \mathbf{\dfrac{3}{14}}$.

b) En $28^{\text{es}}$ : 6e $7$, 5e $8$, 4e $7$, 3e $6$. Le niveau le plus nombreux est la 5e, le moins nombreux la 3e.

c) $\dfrac{1}{28}$ des élèves $= 560 \div 28 = 20$ élèves.

6e : $7 \times 20 = \mathbf{140}$
5e : $8 \times 20 = \mathbf{160}$
4e : $7 \times 20 = \mathbf{140}$
3e : $6 \times 20 = \mathbf{120}$

Vérification : $140 + 160 + 140 + 120 = 560$ ✓.