Exercices supplémentaires

Rappel des identités :

• \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
• \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)

Partie a) — \((x + 7)^2\)

On identifie \(a = x\) et \(b = 7\), puis on applique \((a+b)^2\) : \[(x + 7)^2 = x^2 + 2 \times x \times 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49\]

Partie b) — \((3x - 2)^2\)

On identifie \(a = 3x\) et \(b = 2\), puis on applique \((a-b)^2\) : \[(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4\]

Partie c) — \((x + 4)(x - 4)\)

On reconnaît la forme \((a+b)(a-b)\) avec \(a = x\) et \(b = 4\) : \[(x + 4)(x - 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16\]

Partie a) — \(4x^2 - 25\)

On reconnaît une différence de deux carrés : \((2x)^2 - 5^2\). \[4x^2 - 25 = (2x - 5)(2x + 5)\]

Partie b) — \(x^2 - 10x + 25\)

On cherche si c'est un carré parfait. On vérifie : \(2 \times x \times 5 = 10x\) ✓ et \(5^2 = 25\) ✓. \[x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\]

Partie c) — \(9x^2 + 12x + 4\)

On vérifie : \((3x)^2 = 9x^2\), \(2^2 = 4\), et \(2 \times 3x \times 2 = 12x\) ✓. \[9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2\]

Partie a) — \(98^2\)

Astuce : On écrit \(98 = 100 - 2\) et on utilise \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) : \[98^2 = (100 - 2)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 2 + 2^2 = 10\,000 - 400 + 4 = 9\,604\]

Partie b) — \(51 \times 49\)

Astuce : On remarque que \(51 = 50 + 1\) et \(49 = 50 - 1\), donc c'est \((50+1)(50-1)\) : \[51 \times 49 = 50^2 - 1^2 = 2\,500 - 1 = 2\,499\]

Étape 1 — Identifier le type d'équation L'équation \((x+3)^2 = 25\) peut se résoudre en prenant la racine carrée des deux membres. Attention : la racine carrée donne deux valeurs (positive et négative).

Étape 2 — Prendre la racine carrée \[x + 3 = \pm\sqrt{25} = \pm 5\]

Étape 3 — Résoudre les deux cas

• Cas 1 : \(x + 3 = 5 \Rightarrow x = 2\)
• Cas 2 : \(x + 3 = -5 \Rightarrow x = -8\)

Vérification : \((2+3)^2 = 25\) ✓ et \((-8+3)^2 = (-5)^2 = 25\) ✓

Les solutions sont \(x = 2\) et \(x = -8\).

Étape 1 — Développer le membre de gauche \[(n+1)^2 - (n-1)^2\]

On peut utiliser la factorisation \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\) avec \(a = n+1\) et \(b = n-1\) : \[= \bigl[(n+1) + (n-1)\bigr]\bigl[(n+1) - (n-1)\bigr]\] \[= (2n)(2) = 4n\]

Ceci est bien égal au membre de droite. L'égalité est prouvée pour tout entier \(n\). ✓

Étape 2 — Produit de deux entiers impairs consécutifs Deux entiers impairs consécutifs s'écrivent \(2k+1\) et \(2k+3\) pour un entier \(k\). \[(2k+1)(2k+3) = 4k^2 + 6k + 2k + 3 = 4k^2 + 8k + 3 = 4k(k+2) + 3\]

\(4k(k+2)\) est pair (multiple de 4), donc \(4k(k+2) + 3\) est impair. ✓

Étape 1 — Éliminer les fractions On multiplie les deux membres par le PPCM des dénominateurs, qui est \(6\) : \[6 \times \frac{2x - 1}{3} = 6 \times \frac{x + 5}{2}\] \[2(2x - 1) = 3(x + 5)\]

Étape 2 — Développer \[4x - 2 = 3x + 15\]

Étape 3 — Résoudre \[4x - 3x = 15 + 2\] \[x = 17\]

Vérification : \(\frac{2(17)-1}{3} = \frac{33}{3} = 11\) et \(\frac{17+5}{2} = \frac{22}{2} = 11\) ✓

Étape 1 — Développer \[-3x + 6 \geq 2x + 1\]

Étape 2 — Regrouper les termes en \(x\) \[6 - 1 \geq 2x + 3x\] \[5 \geq 5x\]

Étape 3 — Diviser (attention : on divise par 5 > 0, le sens ne change pas) \[1 \geq x \quad \text{soit} \quad x \leq 1\]

Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 1.

Sur la droite numérique, on place un crochet fermé (cercle plein) en 1 et on trace une flèche vers la gauche.

Étape 1 — Propriété du produit nul Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

Étape 2 — Résoudre chaque équation \[3x - 6 = 0 \iff x = 2 \qquad \text{ou} \qquad x + 5 = 0 \iff x = -5\]

Les solutions sont \(2\) et \(-5\).

Vérification : \((6 - 6)(2 + 5) = 0\) ✓ et \((-15 - 6)(-5 + 5) = 0\) ✓

Étape 1 — Choisir l'inconnue On note \(x\) le nombre de billets de 10 €. Il y a alors \(24 - x\) billets de 20 €.

Étape 2 — Mettre en équation la valeur totale \[10x + 20(24 - x) = 380\]

Étape 3 — Résoudre \[10x + 480 - 20x = 380\] \[-10x = -100 \quad \text{donc} \quad x = 10\]

Vérification : \(10 \times 10 + 14 \times 20 = 100 + 280 = 380\) € ✓

Il y a 10 billets de 10 € et 14 billets de 20 €.

Partie a) \[(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6\]

Partie b) D'après a), l'équation s'écrit \((x - 2)(x - 3) = 0\). Par la propriété du produit nul : \(x = 2\) ou \(x = 3\).

Vérification : \(4 - 10 + 6 = 0\) ✓ et \(9 - 15 + 6 = 0\) ✓

Calcul des images

Pour évaluer une fonction, on remplace \(x\) par la valeur donnée :

• \(f(2) = 3 \times 2 - 5 = 6 - 5 = 1\)
• \(f(-1) = 3 \times (-1) - 5 = -3 - 5 = -8\)
• \(f(0) = 3 \times 0 - 5 = 0 - 5 = -5\)

Résoudre \(f(x) = 4\)

On cherche \(x\) tel que \(3x - 5 = 4\) : \[3x = 4 + 5 = 9\] \[x = 3\]

Vérification : \(f(3) = 3 \times 3 - 5 = 4\) ✓

Tableau de valeurs

Description des variations

En observant le tableau, on remarque que :

• \(g\) décroît de \(x = -3\) jusqu'à \(x = 0\) (les valeurs diminuent de 5 à −4)
• \(g\) croît de \(x = 0\) jusqu'à \(x = 3\) (les valeurs remontent de −4 à 5)
• \(g\) atteint son minimum en \(x = 0\) avec \(g(0) = -4\)
• La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (la parabole a son sommet en \(x = 0\))

Étape 1 — Écrire la fonction \[C(h) = 50 + 30h\]

C'est une fonction affine du premier degré en \(h\).

Étape 2 — Résoudre \(C(h) = 200\) \[50 + 30h = 200\] \[30h = 150\] \[h = 5\]

Pour une facture de 200 €, l'artisan a travaillé 5 heures.

Étape 3 — Interprétation graphique La représentation graphique de \(C(h) = 30h + 50\) est une droite de pente 30 et d'ordonnée à l'origine 50. Chaque heure supplémentaire augmente la facture de 30 €.

Étape 1 — Calculer \(f(2)\) \[f(2) = -(2)^2 + 4 \times 2 = -4 + 8 = 4\]

Étape 2 — Développer \(4 - (x-2)^2\) pour vérifier \[4 - (x-2)^2 = 4 - (x^2 - 4x + 4) = 4 - x^2 + 4x - 4 = -x^2 + 4x\]

C'est bien égal à \(f(x)\) ✓

Étape 3 — Conclure Un carré est toujours positif ou nul : \((x-2)^2 \geq 0\). On retire donc à \(4\) un nombre positif ou nul : \[f(x) = 4 - (x-2)^2 \leq 4\]

La plus grande valeur que peut prendre \(f(x)\) est 4, obtenue pour \(x = 2\).

Étape 1 — Valeur interdite On ne peut pas diviser par \(0\) : il faut \(x - 1 \neq 0\). On ne peut pas calculer \(f(1)\) ; pour tout autre nombre, c'est possible.

Étape 2 — Calculer \(f(3)\) \[f(3) = \frac{3 + 2}{3 - 1} = \frac{5}{2}\]

Étape 3 — Résoudre \(f(x) = 2\) \[\frac{x + 2}{x - 1} = 2\]

On multiplie les deux membres par \((x - 1)\), valide car \(x \neq 1\) : \[x + 2 = 2(x - 1)\] \[x + 2 = 2x - 2\] \[2 + 2 = 2x - x\] \[x = 4\]

Vérification : \(\frac{4+2}{4-1} = \frac{6}{3} = 2\) ✓

Étape 1 — Identifier le plus grand côté Le plus grand côté est RT = 15 cm. Si le triangle est rectangle, l'angle droit est en S.

Étape 2 — Vérifier avec la réciproque de Pythagore \[RS^2 + ST^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\] \[RT^2 = 15^2 = 225\]

Étape 3 — Conclure Comme \(RS^2 + ST^2 = RT^2\), d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RST est rectangle en S.

Étape 1 — Modéliser La diagonale d'un rectangle forme un triangle rectangle avec la longueur et la largeur comme côtés de l'angle droit. La diagonale est l'hypoténuse.

Étape 2 — Appliquer Pythagore \[d^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625\]

Étape 3 — Calculer \[d = \sqrt{625} = 25 \text{ m}\]

On reconnaît le triplet pythagoricien (15, 20, 25) qui est 5 fois (3, 4, 5). La diagonale fait 25 m.

Étape 1 — Identifier le plus grand côté Le plus grand côté est AC = 11 cm.

Étape 2 — Vérifier On calcule \(AB^2 + BC^2\) et \(AC^2\) séparément : \[AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\] \[AC^2 = 11^2 = 121\]

Étape 3 — Comparer \(100 \neq 121\), donc \(AB^2 + BC^2 \neq AC^2\).

D'après la contraposée de la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.

Étape 1 — Calculer les longueurs des côtés \(AB = 4\) (on compte les carreaux sur l'horizontale). \([AC]\) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés \(2\) (horizontal) et \(3\) (vertical) : \(AC^2 = 2^2 + 3^2 = 13\), donc \(AC = \sqrt{13}\). De même, \([BC]\) : côtés \(2\) et \(3\), donc \(BC = \sqrt{13}\).

Étape 2 — Identifier le plus grand côté \(AB = 4\) et \(BC = AC = \sqrt{13} \approx 3{,}61\). Donc AB est le plus grand côté.

Étape 3 — Vérifier \[BC^2 + AC^2 = 13 + 13 = 26\] \[AB^2 = 16\]

\(26 \neq 16\), donc ce triangle n'est pas rectangle.

Il est en revanche isocèle en C (car BC = AC).

Étape 1 — Calculer les longueurs \(AB = 5 - 1 = 4\) (horizontale) et \(BC = 5 - 2 = 3\) (verticale). \([AC]\) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés \(4\) et \(3\) : \(AC^2 = 16 + 9 = 25\), donc \(AC = 5\).

Étape 2 — Vérifier le triangle rectangle \[AB^2 + BC^2 = 16 + 9 = 25 = AC^2\]

Le triangle est rectangle en B (l'angle droit est entre AB et BC).

Étape 3 — Calculer l'aire Les côtés AB = 4 et BC = 3 sont perpendiculaires (ils forment l'angle droit). L'un est la base, l'autre est la hauteur : \[\text{Aire} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \text{ cm}^2\]

Étape 1 — Calculer les rapports Pour appliquer la réciproque de Thalès, on calcule : \[\frac{PS}{PQ} = \frac{6}{6 + 4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\] \[\frac{PT}{PR} = \frac{9}{9 + 6} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\]

Étape 2 — Comparer les rapports Les deux rapports sont égaux : \(\dfrac{PS}{PQ} = \dfrac{PT}{PR} = \dfrac{3}{5}\).

Étape 3 — Conclure D'après la réciproque du théorème de Thalès, ST est parallèle à QR.

Étape 1 — Calculer les rapports \[\frac{AM}{AB} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\] \[\frac{AN}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\]

Étape 2 — Comparer Les deux rapports sont égaux à \(\dfrac{2}{3}\).

Étape 3 — Conclure D'après la réciproque du théorème de Thalès, MN est parallèle à BC.

Méthode de construction par Thalès

Étape 1 : À partir du point A, tracer une demi-droite [Ax) quelconque, différente de [AB).

Étape 2 : Sur [Ax), reporter 5 fois un même segment à la règle et au compas, obtenant les points \(M_1, M_2, M_3, M_4, M_5\) avec \(AM_1 = M_1M_2 = \ldots = M_4M_5\).

Étape 3 : Tracer la droite \(M_5B\).

Étape 4 : Par chaque point \(M_i\) (\(i = 1, 2, 3, 4\)), tracer la parallèle à \(M_5B\) qui coupe [AB] en \(N_i\).

Justification : Par le théorème de Thalès, les points \(N_1, N_2, N_3, N_4\) divisent [AB] en 5 parties égales car les rapports des distances sont \(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}\).

Étape 1 — Calculer BC par Thalès \[\frac{AE}{AB} = \frac{EF}{BC}\] \[\frac{4}{6} = \frac{5}{BC}\] \[BC = \frac{5 \times 6}{4} = \frac{30}{4} = 7{,}5 \text{ cm}\]

Étape 2 — Rapport des hauteurs Les triangles AEF et ABC sont semblables (angles identiques grâce au parallélisme). Le rapport de similitude est \(k = \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\).

Dans deux triangles semblables de rapport \(k\), tous les longueurs (dont les hauteurs) sont dans le rapport \(k\). Donc : \[\frac{AH'}{AH} = \frac{2}{3}\]

Étape 1 — Convertir les mesures de la carte en réalité

L'échelle est \(\frac{1}{50\,000}\) : 1 cm sur la carte = 50 000 cm = 500 m = 0,5 km dans la réalité.

Distance à vol d'oiseau : \[3{,}4 \times 50\,000 = 170\,000 \text{ cm} = 1{,}7 \text{ km}\]

Longueur du chemin : \[4{,}1 \times 50\,000 = 205\,000 \text{ cm} = 2{,}05 \text{ km}\]

Étape 2 — Calculer le temps de marche \[t = \frac{\text{distance}}{\text{vitesse}} = \frac{2{,}05 \text{ km}}{4 \text{ km/h}} = 0{,}5125 \text{ h} \approx 30{,}75 \text{ min} \approx 30 \text{ min } 45 \text{ s}\]

Le randonneur met environ 30 minutes et 45 secondes pour parcourir ce chemin.

Étape 1 — Calculer LM par Pythagore Le triangle est rectangle en L, donc KM est l'hypoténuse : \[KM^2 = KL^2 + LM^2\] \[13^2 = 5^2 + LM^2\] \[169 = 25 + LM^2\] \[LM^2 = 144\] \[LM = 12 \text{ cm}\]

Étape 2 — Calculer l'angle en K Par rapport à l'angle K : LM est le côté opposé, KM est l'hypoténuse : \[\sin(\hat{K}) = \frac{LM}{KM} = \frac{12}{13} \approx 0{,}923\] À la calculatrice (touche \(\sin^{-1}\)) : \(\hat{K} \approx 67{,}4°\).

Étape 1 — Calculer l'angle maximal Une pente de 5 % signifie que pour 100 cm d'horizontal, la montée est de 5 cm. \[\tan(\alpha) = \frac{5}{100} = 0{,}05\] À la calculatrice (touche \(\tan^{-1}\)) : \(\alpha \approx 2{,}86°\).

L'angle maximal est d'environ 2,86°.

Étape 2 — Longueur de la rampe pour 40 cm d'élévation On note \(l\) la longueur horizontale de la rampe. La pente est au maximum 5 % : \[\frac{40}{l} = \frac{5}{100}\] \[l = \frac{40 \times 100}{5} = 800 \text{ cm} = 8 \text{ m}\]

La longueur de la rampe (en suivant la pente) vaut : \[L = \frac{40}{\sin(2{,}86°)} \approx \frac{40}{0{,}0499} \approx 801 \text{ cm} \approx 8{,}01 \text{ m}\]

La rampe doit faire au minimum environ 8 m de long.

Étape 1 — Modéliser Dans un triangle équilatéral ABC de côté 10 cm, la hauteur issue de A coupe BC en son milieu H. Le triangle ABH est rectangle en H avec :

• AB = 10 cm (hypoténuse)
• BH = 5 cm (moitié de BC)
• L'angle en B = 60° (angle d'un triangle équilatéral)

Étape 2 — Calculer la hauteur Par rapport à l'angle B de 60° : \[\sin(60°) = \frac{AH}{AB}\] \[AH = AB \times \sin(60°) = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66 \text{ cm}\]

Vérification par Pythagore : \(AH^2 = AB^2 - BH^2 = 100 - 25 = 75 \Rightarrow AH = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\) ✓

Étape 1 — Comprendre l'angle de dépression L'angle de dépression est l'angle mesuré vers le bas depuis l'horizontale. Il est égal à l'angle d'élévation vu depuis le bateau (angles alternes-internes avec les droites parallèles horizontales).

Étape 2 — Modéliser le triangle On a un triangle rectangle avec :

• La tour = 50 m (côté opposé à l'angle de 18°)
• La distance au pied = \(d\) (côté adjacent)
• Angle = 18°

Étape 3 — Appliquer la tangente \[\tan(18°) = \frac{50}{d}\] \[d = \frac{50}{\tan(18°)} \approx \frac{50}{0{,}3249} \approx 153{,}9 \text{ m}\]

Le bateau se trouve à environ 154 m du pied de la tour.

Étape 1 — Mettre en place les équations Soit \(h\) la hauteur de la montagne et \(x\) la distance de B au pied de la montagne.

Depuis B (angle 38°) : \[\tan(38°) = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\tan(38°)\]

Depuis A (angle 25°), la distance est \(x + 500\) : \[\tan(25°) = \frac{h}{x + 500} \Rightarrow h = (x + 500)\tan(25°)\]

Étape 2 — Égaliser \[x\tan(38°) = (x + 500)\tan(25°)\] \[x\tan(38°) - x\tan(25°) = 500\tan(25°)\] \[x\bigl(\tan(38°) - \tan(25°)\bigr) = 500\tan(25°)\]

Étape 3 — Calculer \[\tan(38°) \approx 0{,}7813 \quad \text{et} \quad \tan(25°) \approx 0{,}4663\] \[x = \frac{500 \times 0{,}4663}{0{,}7813 - 0{,}4663} = \frac{233{,}15}{0{,}315} \approx 740 \text{ m}\] \[h = 740 \times 0{,}7813 \approx 578 \text{ m}\]

La montagne fait environ 578 m de hauteur.

Étape 1 — Compter les issues Il y a \(3 + 2 = 5\) billes en tout. Chaque bille est équiprobable.

Étape 2 — Calculer les probabilités

Probabilité de tirer une bille rouge : \[P(\text{rouge}) = \frac{\text{nombre de billes rouges}}{\text{nombre total}} = \frac{3}{5}\]

Probabilité de tirer une bille bleue : \[P(\text{bleue}) = \frac{2}{5}\]

Vérification : \(\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1\) ✓ La somme des probabilités vaut toujours 1.

Étape 1 — Probabilités sur un dé

• \(P(\text{pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) (faces 2, 4, 6)
• \(P(\text{impair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) (faces 1, 3, 5)

Étape 2 — Arbre de probabilités

1er lancer           2ème lancer          Résultat
     ──── Pair (1/2) ──── Pair (1/2) ────► PP : 1/2 × 1/2 = 1/4
     |
     |─── Pair (1/2) ──── Impair (1/2) ──► PI : 1/4
     |
     |─── Impair (1/2) ── Pair (1/2) ────► IP : 1/4
     |
     └─── Impair (1/2) ── Impair (1/2) ──► II : 1/4

Étape 3 — Probabilité de deux pairs

En multipliant les probabilités le long de la branche « Pair puis Pair » : \[P(\text{deux pairs}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]

Étape 1 — Premier tirage Le premier jeton peut être n'importe lequel des 4 (probabilité \(\frac{1}{4}\) pour chacun).

Étape 2 — Deuxième tirage (sans remise) Il reste 3 jetons (probabilité \(\frac{1}{3}\) pour chacun des restants).

Étape 3 — Cas favorables à une somme paire La somme de deux entiers est paire si les deux sont pairs ou si les deux sont impairs.

• Les nombres pairs : 2, 4 (deux nombres)
• Les nombres impairs : 1, 3 (deux nombres)

Cas 1 : On tire d'abord un pair, puis un pair. \[P(\text{pair puis pair}) = \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\]

Cas 2 : On tire d'abord un impair, puis un impair. \[P(\text{impair puis impair}) = \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\]

Étape 4 — Probabilité totale \[P(\text{somme paire}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

Étape 1 — Construire l'arbre

          ── Sport (0,6) ── Réussite (0,7) ──► S∩R : 0,42
          |              └─ Échec (0,3)   ──► S∩Ē : 0,18
          |
          └─ Pas sport (0,4) ─ Réussite (0,5) ─► S̄∩R : 0,20
                             └─ Échec (0,5)   ─► S̄∩Ē : 0,20

Étape 2 — Calculer la probabilité de réussite

On multiplie les probabilités le long de chaque chemin, puis on additionne les chemins qui mènent à la réussite : \[P(\text{Réussite}) = P(\text{Sport} \cap \text{Réussite}) + P(\text{Pas sport} \cap \text{Réussite})\] \[= 0{,}6 \times 0{,}7 + 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}42 + 0{,}20 = 0{,}62\]

La probabilité qu'un élève choisi au hasard réussisse est 0,62 soit 62 %.

Étape 1 — Identifier les branches

Branche 1 : Dé → 6 (probabilité 1/6) → Pièce → Face (probabilité 1/2) → Gain \[P_1 = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}\]

Branche 2 : Dé → pas 6 (probabilité 5/6) → 2ème dé → 5 ou 6 (probabilité 2/6 = 1/3) → Gain \[P_2 = \frac{5}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{18}\]

Étape 2 — Calculer la probabilité totale de gain \[P(\text{Gain}) = P_1 + P_2 = \frac{1}{12} + \frac{5}{18}\]

On met au même dénominateur (PPCM de 12 et 18 = 36) : \[P(\text{Gain}) = \frac{3}{36} + \frac{10}{36} = \frac{13}{36} \approx 0{,}361\]

La probabilité de gagner est \(\dfrac{13}{36} \approx 36{,}1\%\).

Formule : Le volume d'un cylindre est \(V = \pi r^2 h\) où \(r\) est le rayon et \(h\) la hauteur.

Application : \[V = \pi \times 5^2 \times 12 = \pi \times 25 \times 12 = 300\pi \approx 942{,}5 \text{ cm}^3\]

Le volume est d'environ 942 cm³.

Étape 1 — Identifier le rayon Le diamètre est 8 cm, donc le rayon est \(r = 4\) cm.

Étape 2 — Calculer le volume \[V = \pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 11 = \pi \times 16 \times 11 = 176\pi \approx 552{,}9 \text{ cm}^3\]

Étape 3 — Convertir en litres \[V \approx \frac{552{,}9}{1000} \approx 0{,}553 \text{ L}\]

La boîte contient environ 0,553 L soit un peu plus d'un demi-litre.

Formule : Le volume d'une pyramide est \(V = \dfrac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}\).

Étape 1 — Calculer l'aire de la base carrée \[A = 6^2 = 36 \text{ cm}^2\]

Étape 2 — Calculer le volume \[V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = \frac{360}{3} = 120 \text{ cm}^3\]

Le volume de la pyramide est 120 cm³.

Volume de la sphère \[V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 7^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 343 = \frac{1372\pi}{3} \approx 1436{,}8 \text{ cm}^3\]

Surface de la sphère \[S = 4\pi r^2 = 4 \times \pi \times 7^2 = 4 \times \pi \times 49 = 196\pi \approx 615{,}8 \text{ cm}^2\]

La sphère a un volume d'environ 1 437 cm³ et une surface d'environ 616 cm².

Étape 1 — Volume du cône \[V_{\text{cône}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 9 \times 12 = 36\pi \text{ cm}^3\]

Étape 2 — Volume de la boule La boule entière a un rayon de 3 cm : \[V_{\text{boule}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \text{ cm}^3\]

Étape 3 — Comparer Le volume de la boule (\(36\pi\)) est exactement égal au volume du cône (\(36\pi\)).

Si la crème fond entièrement, le cône se remplit exactement : il ne débordera pas (à condition que le cône soit parfaitement étanche). C'est une coïncidence élégante !

Volume total : \(36\pi + 36\pi = 72\pi \approx 226{,}2 \text{ cm}^3\)