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3e · Chapitre 5 · Fonctions

Fonctions linéaires et affines

30 exercices corrigés

1 Rappels sur les fonctions

Rappel

Une fonction \(f\) associe à chaque nombre \(x\) un unique nombre, noté \(f(x)\).

  • Si \(f(3) = 7\), on dit que \(7\) est l'image de \(3\), et que \(3\) est un antécédent de \(7\).
  • La représentation graphique de \(f\) est formée des points de coordonnées \(\big(x \,;\, f(x)\big)\).
Exemple

\(f(x) = 2x + 1\).

  • Image de \(3\) : \(f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7\).
  • Antécédent de \(11\) : on résout \(2x + 1 = 11\), donc \(x = 5\).

2 Les fonctions linéaires

Définition

Une fonction linéaire est une fonction de la forme \(f(x) = ax\), où \(a\) est un nombre fixé, appelé coefficient.

À retenir
  • une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité : \(a\) est le coefficient de proportionnalité ;
  • sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère.
Méthode — trouver le coefficient

Si \(f\) est linéaire et \(f(4) = 10\), alors \(4a = 10\), donc \(a = \dfrac{10}{4} = 2{,}5\) et \(f(x) = 2{,}5x\).

Pourcentages

Augmenter de \(20\,\%\), c'est multiplier par \(1{,}20\) : c'est la fonction linéaire \(x \mapsto 1{,}2x\). Diminuer de \(20\,\%\), c'est multiplier par \(0{,}80\).

3 Les fonctions affines

Définition

Une fonction affine est une fonction de la forme \(f(x) = ax + b\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres fixés.

  • Si \(b = 0\), on retrouve une fonction linéaire.
  • Si \(a = 0\), la fonction est constante.
À retenir

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

  • \(b\) est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées au point \((0 \,;\, b)\).
  • \(a\) est le coefficient directeur : quand \(x\) augmente de \(1\), \(f(x)\) augmente de \(a\) (ou diminue si \(a\) est négatif).
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 −2 −1 1 2 3 4 5 O +1 −1 b = 3 f(x) = 0,5x g(x) = −x + 3
En bleu, la fonction linéaire f(x) = 0,5x : sa droite passe par l'origine. En rouge, la fonction affine g(x) = −x + 3 : elle coupe l'axe des ordonnées en 3 et descend de 1 quand on avance de 1.
Monte ou descend ?

Si \(a > 0\), la droite « monte » (la fonction est croissante) ; si \(a < 0\), elle « descend » (la fonction est décroissante) ; si \(a = 0\), elle est horizontale.

Méthode — tracer la droite

Deux points suffisent. Pour \(g(x) = -x + 3\) : \(g(0) = 3\) et \(g(4) = -1\) ; on place \((0 \,;\, 3)\) et \((4 \,;\, -1)\), puis on trace la droite.

Méthode — trouver \(a\) et \(b\) à partir de deux images

Si \(f(1) = 3\) et \(f(4) = 9\), \[a = \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{9 - 3}{3} = 2\] puis \(f(1) = 2 \times 1 + b = 3\), donc \(b = 1\) : \(f(x) = 2x + 1\).

4 Comparer deux fonctions

Pour savoir quand deux fonctions affines \(f\) et \(g\) sont égales, on résout l'équation \(f(x) = g(x)\). Graphiquement, c'est l'abscisse du point d'intersection des deux droites.

Exemple

\(f(x) = 3x + 1\) et \(g(x) = x + 5\). \(3x + 1 = x + 5\) donne \(x = 2\), et \(f(2) = 7\) : les droites se coupent au point \((2 \,;\, 7)\).

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

En 2de, tu étudieras d'autres fonctions de référence, comme la fonction carré \(x \mapsto x^2\) (sa courbe est une parabole) et la fonction inverse \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\).

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