Brevet blanc — Sujet 9

Durée : 2 heures · Total : 20 points

Partie 1 — Automatismes : 20 minutes, sans calculatrice, 6 points.

Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes : 1 h 40, calculatrice autorisée, 14 points.

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PARTIE 1 — Automatismes (6 pts)

20 minutes · sans calculatrice · aucune justification n'est demandée. Pour les QCM, une seule réponse est exacte.

Question 1. Calculer \(6 \times 1{,}5\).

Question 2. Calculer \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}\).

Question 3. (QCM) \(\dfrac{10^5}{10^2}\) est égal à :

A. \(10^{3}\) \(\qquad\) B. \(10^{7}\) \(\qquad\) C. \(10^{2{,}5}\)

Question 4. Donner les solutions de l'équation \((x - 2)(x + 5) = 0\).

Question 5. Calculer le volume d'un cube d'arête \(3\) cm.

Question 6. (Vrai ou faux) « Tout nombre pair est divisible par \(4\). »

Question 7. Soit \(f(x) = 2x + 1\). Quel est l'antécédent de \(7\) par \(f\) ?

Question 8. Calculer \(30\,\%\) de \(200\).

Question 9. Un quadrilatère a trois angles qui mesurent \(90°\), \(90°\) et \(120°\). Combien mesure le quatrième ?

Question 10. On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à \(5\) ?

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PARTIE 2 — Raisonnement et résolution de problèmes (14 pts)

1 h 40 · calculatrice autorisée. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte. La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements sont évaluées.

Exercice 1 (4 pts)

\([AB]\) est un diamètre d'un cercle de centre \(O\), avec \(AB = 10\) cm. \(C\) est un point du cercle tel que \(AC = 6\) cm.

1. Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ? Justifier.

2. Calculer \(BC\).

3. Calculer l'aire du triangle \(ABC\).

4. Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{ABC}\), arrondie au dixième de degré.

Exercice 2 (3 pts)

Pour \(6\) personnes, une recette de crêpes demande \(250\) g de farine, \(4\) œufs et \(0{,}5\) L de lait.

1. Quelles quantités faut-il pour \(15\) personnes ?

2. Il reste \(1\) kg de farine et \(12\) œufs. Pour combien de personnes, au maximum, peut-on faire des crêpes (en ne regardant que la farine et les œufs) ?

3. Sur une carte à l'échelle \(\dfrac{1}{25\,000}\), la crêperie est à \(6\) cm de la maison. Quelle est la distance réelle, en km ?

Exercice 3 (4 pts)

Sur route sèche, la distance de freinage d'une voiture (en m) est donnée par \(d(v) = \dfrac{v^2}{200}\), où \(v\) est la vitesse en km/h.

1. Calculer \(d(50)\) et \(d(100)\).

2. Un élève affirme : « Si on roule deux fois plus vite, la distance de freinage est deux fois plus grande. » A-t-il raison ?

3. À quelle vitesse roulait une voiture dont la distance de freinage est de \(32\) m ?

4. Avant de freiner, le conducteur met \(1\) seconde à réagir : pendant ce temps, la voiture avance à vitesse constante. Calculer la distance d'arrêt totale (réaction + freinage) à \(90\) km/h.

Exercice 4 (3 pts)

Pour tester un dé, on le lance \(600\) fois. Le \(6\) sort \(150\) fois.

1. Calculer la fréquence d'apparition du \(6\).

2. Si le dé était équilibré, quelle serait la probabilité d'obtenir \(6\) ? Combien de \(6\) pourrait-on attendre, environ, sur \(600\) lancers ?

3. Ce dé semble-t-il équilibré ? Justifier.

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Corrigé Partie 1 — Automatismes

Question	Réponse	Explication
1	\(9\)	\(6 \times 1 + 6 \times 0{,}5\)
2	\(\dfrac{5}{12}\)	\(\dfrac{8}{12} - \dfrac{3}{12}\)
3	A	\(10^{5 - 2}\)
4	\(2\) et \(-5\)	un produit est nul si l'un des facteurs est nul
5	\(27\) cm³	\(3 \times 3 \times 3\)
6	Faux	\(6\) est pair mais n'est pas divisible par \(4\)
7	\(3\)	\(2x + 1 = 7\) donne \(x = 3\)
8	\(60\)	\(10\,\%\) de \(200\) font \(20\) ; \(3 \times 20\)
9	\(60°\)	somme des angles d'un quadrilatère : \(360°\)
10	\(\dfrac{1}{3}\)	issues \(5\) et \(6\) : \(\dfrac{2}{6}\)

Corrigé Exercice 1

1. Le triangle \(ABC\) est inscrit dans le cercle et son côté \([AB]\) est un diamètre : \(ABC\) est rectangle en \(C\).

2. D'après le théorème de Pythagore dans \(ABC\) rectangle en \(C\) : \[BC^2 = AB^2 - AC^2 = 100 - 36 = 64 \quad \text{donc} \quad BC = \mathbf{8 \text{ cm}}\]

3. Les côtés de l'angle droit sont \([AC]\) et \([BC]\) : \(\mathcal{A} = \dfrac{6 \times 8}{2} = \mathbf{24}\) cm².

4. \([AC]\) est opposé à \(\widehat{ABC}\) et \([AB]\) est l'hypoténuse : \(\sin\widehat{ABC} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\), donc \(\widehat{ABC} \approx \mathbf{36{,}9°}\).

🔍 Vérification : \(\cos\widehat{ABC} = \dfrac{BC}{AB} = 0{,}8\) et \(\cos 36{,}9° \approx 0{,}80\) ✓

Corrigé Exercice 2

1. Coefficient \(2{,}5\) : farine \(250 \times 2{,}5 = \mathbf{625}\) g ; œufs \(4 \times 2{,}5 = \mathbf{10}\) ; lait \(0{,}5 \times 2{,}5 = \mathbf{1{,}25}\) L.

2. Farine : \(1\,000\) g, soit \(\dfrac{1\,000}{250} = 4\) fois la recette, donc \(24\) personnes. Œufs : \(\dfrac{12}{4} = 3\) fois la recette, donc \(18\) personnes. Les œufs limitent : au maximum \(18\) personnes.

3. \(6 \times 25\,000 = 150\,000\) cm \(= 1\,500\) m \(= \mathbf{1{,}5}\) km.

Corrigé Exercice 3

1. \(d(50) = \dfrac{2\,500}{200} = \mathbf{12{,}5}\) m ; \(d(100) = \dfrac{10\,000}{200} = \mathbf{50}\) m.

2. Non : de \(50\) à \(100\) km/h, la vitesse double mais la distance passe de \(12{,}5\) m à \(50\) m, elle est multipliée par \(4\).

3. \(\dfrac{v^2}{200} = 32 \iff v^2 = 6\,400 \iff v = 80\) (la vitesse est positive). Elle roulait à \(80\) km/h.

4. \(90\) km/h \(= \dfrac{90\,000}{3\,600}\) m/s \(= 25\) m/s : en \(1\) s de réaction, la voiture parcourt \(25\) m. Freinage : \(d(90) = \dfrac{8\,100}{200} = 40{,}5\) m. Distance d'arrêt : \(25 + 40{,}5 = \mathbf{65{,}5}\) m.

Corrigé Exercice 4

1. \(\dfrac{150}{600} = \mathbf{0{,}25}\).

2. \(P = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\). On attendrait environ \(\dfrac{600}{6} = \mathbf{100}\) fois le \(6\).

3. \(150\) sorties au lieu d'environ \(100\), sur un grand nombre de lancers : l'écart est important (\(0{,}25\) contre \(0{,}167\)). Le dé semble truqué (en faveur du \(6\)). On ne peut pas en être certain, mais c'est très probable.

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BARÈME

Partie	Points
Partie 1 — Automatismes (\(10\) questions \(\times\) \(0{,}6\) pt)	\(6\)
Exercice 1	\(4\)
Exercice 2	\(3\)
Exercice 3	\(4\)
Exercice 4	\(3\)
Total	20