Brevet blanc — Sujet 4
Durée : 2 heures · Total : 20 points
Partie 1 — Automatismes : 20 minutes, sans calculatrice, 6 points.
Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes : 1 h 40, calculatrice autorisée, 14 points.
PARTIE 1 — Automatismes (6 pts)
20 minutes · sans calculatrice · aucune justification n'est demandée. Pour les QCM, une seule réponse est exacte.
Question 1. (QCM) \(0{,}25\) est égal à :
A. \(\dfrac{1}{25}\) \(\qquad\) B. \(\dfrac{1}{4}\) \(\qquad\) C. \(\dfrac{2}{5}\)
Question 2. Calculer \(12 \times 25\).
Question 3. Développer \(2(x - 4)\).
Question 4. (QCM) \(3\) m² est égal à :
A. \(300\) cm² \(\qquad\) B. \(3\,000\) cm² \(\qquad\) C. \(30\,000\) cm²
Question 5. Une voiture parcourt \(120\) km en \(1\) h \(30\) min. Quelle est sa vitesse moyenne ?
Question 6. (Vrai ou faux) « \(-4\) est une solution de l'équation \(x^2 = 16\). »
Question 7. Par une homothétie de rapport \(3\), quelle est l'image d'un segment de \(2\) cm ?
Question 8. Combien le nombre \(12\) a-t-il de diviseurs ?
Question 9. Donner la médiane de la série : \(4\) ; \(4\) ; \(6\) ; \(8\).
Question 10. On lance deux fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois « pile » ?
PARTIE 2 — Raisonnement et résolution de problèmes (14 pts)
1 h 40 · calculatrice autorisée. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte. La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements sont évaluées.
Exercice 1 (3 pts)
On chauffe de l'eau. Sa température (en °C) au bout de \(t\) minutes est donnée par \(f(t) = 20 + 8t\), pour \(t\) compris entre \(0\) et \(10\).
1. Quelle est la température de l'eau au départ ? au bout de \(5\) minutes ?
2. Au bout de combien de temps l'eau atteint-elle \(100\) °C ?
3. La température est-elle proportionnelle au temps de chauffe ? Justifier.
Exercice 2 (4 pts)
Pour accéder à l'entrée d'une mairie, on installe une rampe rectiligne \([AC]\) de \(8\) m de long, qui permet de monter une hauteur \(BC = 0{,}5\) m. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).
1. Calculer la distance horizontale \(AB\) couverte par la rampe. Arrondir au centimètre.
2. Calculer l'angle \(\widehat{BAC}\) que fait la rampe avec le sol. Arrondir au dixième de degré.
3. La réglementation impose que la pente d'une rampe, c'est-à-dire le quotient \(\dfrac{BC}{AB}\), ne dépasse pas \(5\,\%\) (pour une rampe de cette longueur). Cette rampe est-elle conforme ?
Exercice 3 (4 pts)
Voici les notes sur \(20\) obtenues par deux classes de \(10\) élèves au même devoir :
- Classe A : \(8\) ; \(9\) ; \(10\) ; \(11\) ; \(12\) ; \(12\) ; \(13\) ; \(14\) ; \(15\) ; \(16\)
- Classe B : \(4\) ; \(6\) ; \(9\) ; \(12\) ; \(12\) ; \(13\) ; \(14\) ; \(15\) ; \(17\) ; \(18\)
1. Calculer la moyenne de chaque classe.
2. Calculer la médiane et l'étendue de chaque classe.
3. Un parent affirme : « Les deux classes ont le même niveau. » Que peut-on lui répondre en utilisant les indicateurs calculés ?
4. Quelle est la moyenne des \(20\) élèves réunis ?
Exercice 4 (3 pts)
On lance deux dés équilibrés à six faces et on additionne les deux nombres obtenus. On gagne si la somme est supérieure ou égale à \(10\).
1. Recopier et compléter le tableau des sommes (lignes : premier dé, colonnes : second dé).
2. Quelle est la probabilité de gagner ?
3. Quelle est la somme qui a le plus de chances de sortir ? Avec quelle probabilité ?
Corrigé Partie 1 — Automatismes
| Question | Réponse | Explication |
|---|---|---|
| 1 | B | \(0{,}25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}\) |
| 2 | \(300\) | \(12 \times 25 = 3 \times (4 \times 25) = 3 \times 100\) |
| 3 | \(2x - 8\) | \(2 \times x - 2 \times 4\) |
| 4 | C | \(1\) m² \(= 100 \times 100\) cm² \(= 10\,000\) cm² |
| 5 | \(80\) km/h | \(120 \div 1{,}5 = 80\) |
| 6 | Vrai | \((-4)^2 = 16\) |
| 7 | \(6\) cm | les longueurs sont multipliées par \(3\) |
| 8 | \(6\) | \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(12\) |
| 9 | \(5\) | \(4\) valeurs : \(\dfrac{4 + 6}{2} = 5\) |
| 10 | \(\dfrac{1}{4}\) | issues PP, PF, FP, FF équiprobables |
Pour les aires, on multiplie par \(100\) à chaque changement d'unité (\(m^2 \to dm^2 \to cm^2\)).
Corrigé Exercice 1
une fonction affine \(f(t) = at + b\) n'est proportionnelle (linéaire) que si \(b = 0\).
1. Au départ : \(f(0) = \mathbf{20}\) °C. Au bout de \(5\) min : \(f(5) = 20 + 40 = \mathbf{60}\) °C.
2. \(20 + 8t = 100 \iff 8t = 80 \iff t = 10\). L'eau atteint \(100\) °C au bout de \(10\) minutes.
3. Non : \(f\) est affine mais pas linéaire (\(f(0) = 20 \ne 0\)). Par exemple, en \(5\) min la température est \(60\) °C, mais en \(10\) min elle est \(100\) °C, et non \(120\) °C.
Corrigé Exercice 2
dans le triangle rectangle \(ABC\), on connaît l'hypoténuse \([AC]\) et un côté : Pythagore donne le troisième côté, la trigonométrie donne l'angle.
1. D'après le théorème de Pythagore dans \(ABC\) rectangle en \(B\) : \[AB^2 = AC^2 - BC^2 = 64 - 0{,}25 = 63{,}75 \quad \text{donc} \quad AB = \sqrt{63{,}75} \approx \mathbf{7{,}98 \text{ m}}\]
2. \([BC]\) est opposé à l'angle \(\widehat{BAC}\) et \([AC]\) est l'hypoténuse : \[\sin\widehat{BAC} = \dfrac{0{,}5}{8} = 0{,}0625 \quad \text{donc} \quad \widehat{BAC} \approx \mathbf{3{,}6°}\]
3. Pente : \(\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{0{,}5}{\sqrt{63{,}75}} \approx 0{,}063\), soit environ \(6{,}3\,\%\). \(6{,}3\,\% > 5\,\%\) : la rampe n'est pas conforme. Il faudrait l'allonger.
Corrigé Exercice 3
la moyenne et la médiane décrivent le « centre » d'une série ; l'étendue mesure sa dispersion. Deux séries peuvent avoir la même moyenne et être très différentes.
1. Classe A : \(\dfrac{120}{10} = \mathbf{12}\). Classe B : \(\dfrac{120}{10} = \mathbf{12}\).
2. Les séries sont déjà rangées ; \(10\) valeurs : la médiane est entre la \(5^\text{e}\) et la \(6^\text{e}\) valeur.
- Classe A : médiane \(\dfrac{12 + 12}{2} = \mathbf{12}\) ; étendue \(16 - 8 = \mathbf{8}\).
- Classe B : médiane \(\dfrac{12 + 13}{2} = \mathbf{12{,}5}\) ; étendue \(18 - 4 = \mathbf{14}\).
3. Les moyennes sont égales et les médianes proches : le niveau moyen est comparable. Mais l'étendue de la classe B est bien plus grande : ses résultats sont beaucoup plus dispersés (de très faibles et de très bonnes notes), alors que la classe A est plus homogène.
4. Les deux classes ont le même effectif et la même moyenne : la moyenne des \(20\) élèves est \(\dfrac{120 + 120}{20} = \mathbf{12}\).
Corrigé Exercice 4
un tableau à double entrée liste les \(36\) issues équiprobables d'une expérience à deux épreuves.
1.
| + | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) |
| \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) |
| \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) |
| \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
| \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) |
| \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) | \(12\) |
2. Sommes \(\geqslant 10\) : trois fois \(10\), deux fois \(11\), une fois \(12\), soit \(6\) issues sur \(36\). \(P = \dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}\).
3. La somme \(\mathbf{7}\) apparaît \(6\) fois (diagonale) : \(P = \dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}\).
BARÈME
| Partie | Points |
|---|---|
| Partie 1 — Automatismes (\(10\) questions \(\times\) \(0{,}6\) pt) | \(6\) |
| Exercice 1 | \(3\) |
| Exercice 2 | \(4\) |
| Exercice 3 | \(4\) |
| Exercice 4 | \(3\) |
| Total | 20 |