Rotation et homothétie

a) Une translation. b) Une symétrie axiale. c) Une symétrie centrale (c'est aussi la rotation d'angle \(180°\)). d) Une rotation d'angle \(90°\). e) Une homothétie de rapport supérieur à \(1\).

a) Un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre fait passer chaque sommet au suivant : \(A \to \mathbf{B}\), \(B \to \mathbf{C}\), \(D \to \mathbf{A}\).

b) L'image de \([AB]\) est le segment joignant les images : \(\mathbf{[BC]}\).

a) En \(60\) minutes, l'aiguille fait un tour complet, soit \(360°\) ; en \(1\) minute, elle tourne de \(360 \div 60 = \mathbf{6°}\).

• \(15\) minutes : \(15 \times 6 = \mathbf{90°}\) ;
• \(20\) minutes : \(20 \times 6 = \mathbf{120°}\).

b) Dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire), évidemment !

a) \(OA' = 2 \times 3 = \mathbf{6}\) cm, \(A'\) sur la demi-droite \([OA)\), du même côté que \(A\).

b) \(OA' = 0{,}5 \times 3 = \mathbf{1{,}5}\) cm, du même côté que \(A\) : \(A'\) est le milieu de \([OA]\).

c) \(OA' = 1 \times 3 = \mathbf{3}\) cm, de l'autre côté de \(O\) : \(A'\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\).

a) Une rotation conserve tout : périmètre \(15\) cm, aire \(12\) cm², angle \(40°\).

b) Homothétie de rapport \(3\) :

• périmètre (une longueur) : \(15 \times 3 = \mathbf{45}\) cm ;
• aire : \(12 \times 3^2 = 12 \times 9 = \mathbf{108}\) cm² ;
• angle : conservé, \(40°\).

a) La symétrie centrale de centre \(O\).

b) L'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\mathbf{-1}\) : \(OM' = OM\), avec \(M'\) de l'autre côté de \(O\).

\(A\) est sur l'axe des abscisses, à \(3\) de \(O\) : après un quart de tour, il est sur l'axe des ordonnées. \(\mathbf{A'(0 ; 3)}\). De même \(\mathbf{B'(-2 ; 0)}\).

a) On multiplie les coordonnées par \(2\) : \(\mathbf{(2 ; 6)}\).

b) Par \(-1\) : \(\mathbf{(-1 ; -3)}\) ; c'est la symétrie de centre \(O\).

Longueurs \(\times 3\) : \(\mathbf{12}\) cm. Aires \(\times 3^2 = 9\) : \(\mathbf{45}\) cm².

\(0 < 0{,}5 < 1\) : c'est une réduction. Le segment mesure \(\mathbf{5}\) cm.

\(k = \dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{7}{2} = \mathbf{3{,}5}\) (positif car même côté).

a) \(A\) est à \(1\) unité de \(O\) sur l'axe des abscisses ; après un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, il se retrouve sur l'axe des ordonnées : \(\mathbf{A'(0 ; 1)}\). De même, \(\mathbf{B'(0 ; 3)}\).

b) \(A'B' = 3 - 1 = \mathbf{2}\), comme \(AB = 2\) : une rotation conserve les longueurs.

a) Un tiers de tour (\(120° = 360° \div 3\)) fait passer chaque sommet au suivant : \(A \to \mathbf{B}\), \(B \to \mathbf{C}\), \(C \to \mathbf{A}\). Le triangle est globalement invariant.

b) Trois rotations de \(120°\) font \(360°\), un tour complet : chaque sommet revient à sa place.

a) \(k = \dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{10}{4} = \mathbf{2{,}5}\).

b) \(OB' = 2{,}5 \times 6 = \mathbf{15}\) cm.

c) \(A'B' = 2{,}5 \times 5 = \mathbf{12{,}5}\) cm. Une homothétie transforme une droite en une droite parallèle : \(\mathbf{(AB) \parallel (A'B')}\).

a) Le rapport est négatif : \(A'\) est de l'autre côté de \(O\) sur la droite \((OA)\), avec \(OA' = |-2| \times 3 = \mathbf{6}\) cm.

b) \(A'B' = 2 \times 2{,}5 = \mathbf{5}\) cm.

a) Les six sommets sont régulièrement répartis sur un cercle de centre \(O\), séparés par \(360° \div 6 = 60°\). Les rotations de centre \(O\) d'angles \(\mathbf{60°, 120°, 180°, 240°, 300°}\) (et \(360°\), qui ne change rien) laissent l'hexagone invariant.

b) \(6\) axes : \(3\) passent par deux sommets opposés, \(3\) par les milieux de deux côtés opposés.

a) Longueurs multipliées par \(3\) : \(30\) cm sur \(45\) cm.

b) L'aire est multipliée par \(3^2 = \mathbf{9}\) : \(150 \times 9 = \mathbf{1\,350}\) cm² (vérification : \(30 \times 45 = 1\,350\) ✓).

a) \(k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{6}{4} = \mathbf{1{,}5}\).

b) Aire multipliée par \(1{,}5^2 = 2{,}25\) : \(8 \times 2{,}25 = \mathbf{18}\) cm².

La rotation conserve les distances au centre : \(OB = OA\). Le triangle \(OAB\) est donc isocèle en \(O\), avec un angle au sommet \(\widehat{AOB} = 60°\). Les deux angles à la base sont égaux : \(\dfrac{180° - 60°}{2} = 60°\). Les trois angles mesurent \(60°\) : \(OAB\) est équilatéral.

a) Vrai. b) Faux : les longueurs sont multipliées par \(2\). c) Vrai.

En \(60\) min : \(360°\). En \(20\) min : \(\dfrac{360}{3} = \mathbf{120°}\).

Volumes \(\times 2^3 = 8\) : \(15 \times 8 = \mathbf{120}\) cm³.

\(OA' = 2 \times 3 = \mathbf{6}\) cm, de l'autre côté de \(O\) par rapport à \(A\) (rapport négatif).

L'angle \(\widehat{AOB}\) vaut \(120°\) : la rotation envoie \(A\) sur \(\mathbf{B}\), \(B\) sur \(\mathbf{C}\), donc \([AB]\) sur \(\mathbf{[BC]}\).

a) \(8\) rotations identiques font un tour complet : \(360° \div 8 = \mathbf{45°}\).

b) \(360° \div 5 = \mathbf{72°}\).

c) \(360 \div 7 \approx 51{,}43\) : \(7\) ne divise pas \(360\), donc non, l'angle ne peut pas être un nombre entier de degrés.

a) Les longueurs sont multipliées par \(2\), puis par \(3\) : au total par \(2 \times 3 = \mathbf{6}\).

b) L'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\mathbf{6}\).

c) Deux symétries centrales de centre \(O\) à la suite : chaque point revient à sa place (\(-1 \times (-1) = 1\)). La figure ne bouge pas.

a) Le rapport est négatif : \(C\) et \(D\) sont de l'autre côté de \(O\) que \(A\) et \(B\). \(OC = 1{,}5 \times 4 = \mathbf{6}\) cm.

b) Une homothétie transforme une droite en une droite parallèle : \(\mathbf{(AB) \parallel (CD)}\). On reconnaît une configuration de Thalès « papillon ».

c) \(CD = 1{,}5 \times 3{,}2 = \mathbf{4{,}8}\) cm.

🔍 Avec Thalès : \(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{3{,}2}{CD}\) donne \(CD = 4{,}8\) ✓

a) Arête : \(|-3| \times 2 = \mathbf{6}\) cm.

b) Volume du petit cube : \(2^3 = 8\) cm³ ; du grand : \(6^3 = 216\) cm³. Le volume est multiplié par \(\dfrac{216}{8} = \mathbf{27} = 3^3\).

a) Par définition, le centre \(\Omega\), un point et son image sont alignés : \(\Omega\) est sur \((AA')\) et sur \((BB')\).

b) La droite \((AA')\) passe par \((1;1)\) et \((3;3)\) ; la droite \((BB')\) passe par \((2;0)\) et \((5;1)\). En les prolongeant, elles se coupent en \(\mathbf{\Omega(-1 ; -1)}\).

c) De \(\Omega\) à \(A\) : \(2\) carreaux à droite, \(2\) vers le haut. De \(\Omega\) à \(A'\) : \(4\) à droite, \(4\) vers le haut, soit le double ✓. De même, de \(\Omega\) à \(B\) : \((+3 ; +1)\) et de \(\Omega\) à \(B'\) : \((+6 ; +2)\) ✓.

a) Un quart de tour autour du centre envoie chaque sommet sur le suivant : l'image est le carré \(ABCD\) lui-même (globalement invariant).

b) Côté : \(4 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{2}\) cm ; périmètre : \(\mathbf{8}\) cm (la moitié de \(16\)) ; aire : \(16 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \mathbf{4}\) cm².

c) \(A\) est le centre : il ne bouge pas. L'homothétie de rapport \(-1\) est la symétrie centrale de centre \(A\) : le carré image est « collé » à \(ABCD\) par le sommet \(A\).

d) Oui : le centre \(O\) de l'homothétie est sa propre image, et l'homothétie envoie le centre du carré \(ABCD\) (le point \(O\)) sur le centre du carré image.