Trigonométrie

• \(\sin \widehat{A} = \dfrac{BC}{AB} = \mathbf{\dfrac{12}{13}}\) ;
• \(\cos \widehat{A} = \dfrac{AC}{AB} = \mathbf{\dfrac{5}{13}}\) ;
• \(\tan \widehat{A} = \dfrac{BC}{AC} = \mathbf{\dfrac{12}{5}}\).

🔍 Vérification : le triangle est bien rectangle, car \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) ✓

• Hypoténuse : opposée à l'angle droit (= la plus longue).
• Opposé à \(\hat A\) : ne touche pas \(A\).
• Adjacent à \(\hat A\) : touche \(A\) mais n'est pas l'hypoténuse.

a) Hypoténuse

Triangle rectangle en B → angle droit en \(B\) → hypoténuse = côté opposé à \(B\) = \(\mathbf{[AC]}\).

b) Adjacent à \(\hat A\)

Côté qui touche \(A\) et n'est pas l'hypoténuse → \(\mathbf{[AB]}\).

c) Opposé à \(\hat A\)

Côté qui ne touche pas \(A\) → \(\mathbf{[BC]}\).

Étape 1 — Identifier les rôles (triangle rectangle en \(B\))

L'angle droit est en \(B\) → l'hypoténuse est le côté opposé à \(B\), c'est-à-dire \([AC]\). Par rapport à l'angle \(\hat A = 55°\) :

• \([AB] = 10\) cm est le côté adjacent (il touche \(A\) sans être l'hypoténuse) ;
• \([BC]\) est le côté opposé ;
• \([AC]\) est l'hypoténuse.

Étape 2 — Calcul de \(BC\) (opposé à \(\hat A\)) avec la tangente

\[\tan(55°) = \dfrac{BC}{AB} \quad\Rightarrow\quad BC = AB \times \tan(55°) = 10 \times \tan(55°) \approx 10 \times 1{,}4281 \approx \mathbf{14{,}3 \text{ cm}}\]

Étape 3 — Calcul de \(AC\) (hypoténuse) avec le cosinus

\[\cos(55°) = \dfrac{AB}{AC} \quad\Rightarrow\quad AC = \dfrac{AB}{\cos(55°)} = \dfrac{10}{\cos(55°)} \approx \dfrac{10}{0{,}5736} \approx \mathbf{17{,}4 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification (Pythagore) : \(AB^2 + BC^2 \approx 100 + 204{,}0 = 304{,}0\) et \(AC^2 \approx 17{,}4^2 \approx 303{,}8\) ✓ — l'hypoténuse \([AC]\) est bien le plus grand côté.

Étape 1 — Identifier le rapport

\(BC = 3\) (opposé à \(\hat A\)), \(AB = 5\) (hypoténuse). On utilise sinus : \[\sin(\hat A) = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\]

Étape 2 — Utiliser arcsin

\[\hat A = \sin^{-1}(0{,}6) \approx \mathbf{36{,}9°}\]

🔍 Vérification : \(\sin(36{,}9°) \approx 0{,}6\) ✓

\[\tan \alpha = \frac{8}{100} = 0{,}08 \qquad \alpha = \tan^{-1}(0{,}08) \approx \mathbf{4{,}6°}\]

La trajectoire (\(2\,000\) m) est l'hypoténuse du triangle rectangle formé avec le sol et la verticale.

a) L'altitude est le côté opposé à l'angle de \(15°\) : on utilise le sinus. \[\sin 15° = \frac{h}{2\,000} \qquad h = 2\,000 \times \sin 15° \approx \mathbf{518 \text{ m}}\]

b) La distance horizontale est le côté adjacent : on utilise le cosinus. \[d = 2\,000 \times \cos 15° \approx \mathbf{1\,932 \text{ m}}\]

🔍 Vérification (Pythagore) : \(518^2 + 1\,932^2 \approx 4\,000\,348 \approx 2\,000^2\) ✓

🎯 SOH-CAH-TOA : \(\sin = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}\), \(\cos = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\), \(\tan = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}\).

\(\cos\widehat{A} = \dfrac{4}{5} = \mathbf{0{,}8}\) ; \(\sin\widehat{A} = \dfrac{3}{5} = \mathbf{0{,}6}\) ; \(\tan\widehat{A} = \dfrac{3}{4} = \mathbf{0{,}75}\).

a) \(\approx \mathbf{0{,}700}\) ; b) \(\approx \mathbf{0{,}342}\).

a) \(\mathbf{45°}\) ; b) \(\mathbf{30°}\).

\(\text{opp} = 12 \times \sin 25° \approx \mathbf{5{,}1}\) cm.

\(\text{opp} = 8 \times \tan 40° \approx \mathbf{6{,}7}\) cm.

Étape 1 — Angle complémentaire \(\hat B\)

Dans un triangle rectangle : \(\hat A + \hat B = 90°\). \[\hat B = 90° - 38° = \mathbf{52°}\]

Étape 2 — Calcul de \(AC\) (adjacent à \(\hat A\))

\(BC\) = opposé à \(\hat A\), \(AC\) = adjacent → \(\tan(\hat A) = \dfrac{BC}{AC}\). \[AC = \dfrac{BC}{\tan(38°)} = \dfrac{6}{0{,}7813} \approx \mathbf{7{,}68 \text{ cm}}\]

Étape 3 — Calcul de \(AB\) (hypoténuse)

\(\sin(\hat A) = \dfrac{BC}{AB}\) : \[AB = \dfrac{BC}{\sin(38°)} = \dfrac{6}{0{,}6157} \approx \mathbf{9{,}74 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification (Pythagore) : \(7{,}68^2 + 6^2 \approx 59{,}0 + 36 = 95{,}0 \approx 9{,}74^2 \approx 94{,}9\) ✓

Étape 1 — Application

\[\tan(25°) = \dfrac{h}{80} \quad\Rightarrow\quad h = 80 \times \tan(25°)\]

Étape 2 — Calcul

\[h \approx 80 \times 0{,}4663 \approx \mathbf{37{,}3 \text{ m}}\]

Étape 1 — Application du sinus

\[\sin(30°) = \dfrac{h}{\text{pente}} \quad\Rightarrow\quad h = 6 \times \sin(30°)\]

Étape 2 — Calcul (valeur exacte)

\(\sin(30°) = \dfrac{1}{2}\) : \[h = 6 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{3 \text{ m}}\]

🔍 Cohérence : pour une pente de 30°, on prend de l'altitude à la moitié de la longueur — résultat exact, très "propre".

Étape 1 — Demi-base

La hauteur du sommet partage la base en deux parties égales : \(\dfrac{10}{2} = 5\) cm.

Étape 2 — Triangle rectangle

Dans la moitié : hypoténuse = 13 (côté), adjacent à demi-angle au sommet = 5. Donc : \[\cos(\theta/2) = \dfrac{5}{13}\]

Étape 3 — Calcul du demi-angle

\[\theta/2 = \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{13}\right) \approx \cos^{-1}(0{,}3846) \approx 67{,}4°\]

Étape 4 — Angle complet au sommet

\[\theta = 2 \times 67{,}4° \approx \mathbf{134{,}8°}\]

🔍 Cohérence : c'est un angle obtus (> 90°) car la base est large par rapport aux côtés.

Étape 1 — Composante nord-sud (cosinus de l'angle avec le nord)

\[d_{\text{N}} = 50 \times \cos(32°) \approx 50 \times 0{,}848 \approx \mathbf{42{,}4 \text{ km vers le nord}}\]

Étape 2 — Composante est-ouest (sinus de l'angle avec le nord)

\[d_{\text{E}} = 50 \times \sin(32°) \approx 50 \times 0{,}530 \approx \mathbf{26{,}5 \text{ km vers l'est}}\]

🔍 Vérification (Pythagore) : \(42{,}4^2 + 26{,}5^2 \approx 1798 + 702 = 2500 = 50^2\) ✓

Étape 1 — Calcul de \(BC\) (opposé à \(\hat A\))

Le triangle est rectangle en \(B\) : \([AB]\) est la côté de l'angle droit adjacente à \(\hat A\), \([BC]\) la côté de l'angle droit opposée, et \([AC]\) l'hypoténuse. On relie les deux côtés de l'angle droit par la tangente :

\[\tan(50°) = \dfrac{BC}{AB} \quad\Rightarrow\quad BC = 12 \times \tan(50°) \approx 12 \times 1{,}1918 \approx \mathbf{14{,}3 \text{ cm}}\]

Étape 2 — Aire du triangle rectangle

Aire = produit des côtés de l'angle droit / 2 : \[\mathcal A = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{12 \times 14{,}3}{2} \approx \mathbf{85{,}8 \text{ cm}^2}\]

a) Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi hauteur et bissectrice : \((AH) \perp (BC)\) et \(\widehat{BAH} = \dfrac{50°}{2} = \mathbf{25°}\).

b) Dans \(ABH\) rectangle en \(H\), \([BH]\) est opposé à l'angle de \(25°\) et \([AB]\) est l'hypoténuse : \[BH = 9 \times \sin 25° \approx 3{,}80 \text{ cm} \qquad BC = 2 \times BH \approx \mathbf{7{,}6 \text{ cm}}\]

c) \([AH]\) est adjacent à l'angle de \(25°\) : \[AH = 9 \times \cos 25° \approx \mathbf{8{,}2 \text{ cm}}\]

Étape 1 — Demi-diagonales

\(\dfrac{8}{2} = 4\) cm et \(\dfrac{6}{2} = 3\) cm.

Étape 2 — Demi-angle au sommet (tangente)

Dans le triangle rectangle, opposé = 3, adjacent = 4 : \[\tan(\theta/2) = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\] \[\theta/2 = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}87°\]

Étape 3 — Angles complets du losange

• Angle au sommet adjacent à la diagonale 8 : \(2 \times 36{,}87° \approx \mathbf{73{,}7°}\)
• Angle opposé : \(180° - 73{,}7° \approx \mathbf{106{,}3°}\)

🔍 Vérification : somme des 4 angles du losange = \(2 \times 73{,}7 + 2 \times 106{,}3 = 360°\) ✓

\(\tan x = \dfrac{5}{9}\), donc \(x \approx \mathbf{29{,}1°}\).

\(h = 20 \times \tan 32° \approx \mathbf{12{,}5}\) m.

La hauteur est opposée à l'angle : \(4 \times \sin 35° \approx \mathbf{2{,}29}\) m.

\(\sin^2 x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\), donc \(\sin x = \mathbf{0{,}8}\) (angle aigu, sinus positif). \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{0{,}8}{0{,}6} = \mathbf{\dfrac{4}{3}}\).

Dans le triangle phare–pied–bateau, l'angle au bateau vaut aussi \(8°\) (angles alternes-internes). \(\tan 8° = \dfrac{50}{d}\), donc \(d = \dfrac{50}{\tan 8°} \approx \mathbf{356}\) m.

Étape 1 — Le troisième angle \[\widehat{C} = 180° - 40° - 70° = 70°\] Les angles \(\widehat{B}\) et \(\widehat{C}\) sont égaux : le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\), donc \(AC = AB = 10\) cm.

Étape 2 — La hauteur \(CH\) (avec \(H\) sur \([AB]\)) Dans \(ACH\) rectangle en \(H\), \([CH]\) est opposé à l'angle de \(40°\) : \[CH = 10 \times \sin 40° \approx 6{,}43 \text{ cm}\]

Étape 3 — Le côté \(BC\) Dans \(BCH\) rectangle en \(H\), \([CH]\) est opposé à l'angle \(\widehat{B} = 70°\) et \([BC]\) est l'hypoténuse : \[\sin 70° = \frac{CH}{BC} \qquad BC = \frac{CH}{\sin 70°} \approx \frac{6{,}43}{0{,}940} \approx \mathbf{6{,}84 \text{ cm}}\]

a) Côté opposé \(35\) m, côté adjacent \(100\) m : \[\tan \alpha = \frac{35}{100} = 0{,}35 \qquad \alpha = \tan^{-1}(0{,}35) \approx \mathbf{19{,}3°}\]

b) Les \(500\) m sont mesurés sur la piste : c'est l'hypoténuse. Le dénivelé est le côté opposé : \[h = 500 \times \sin 19{,}3° \approx \mathbf{165 \text{ m}}\]

Étape 1 — Démonstration

Soit \(O\) le centre du cercle, \(A_1, \ldots, A_6\) les sommets. Les triangles \(OA_iA_{i+1}\) sont :

• Isocèles : \(OA_i = OA_{i+1} = R\) (rayons)
• Avec angle au sommet \(\hat O = \dfrac{360°}{6} = 60°\)

Triangle isocèle avec un angle de 60° → équilatéral → côté \(A_iA_{i+1} = R\).

Étape 2 — Côté de l'hexagone

Côté = \(R = 5\) cm.

Étape 3 — Périmètre

\[\mathcal P = 6 \times R = 6 \times 5 = \mathbf{30 \text{ cm}}\]

a) \(OS = 6\,370 + 400 = \mathbf{6\,770}\) km.

b) Le triangle \(OPS\) est rectangle en \(P\), d'hypoténuse \([OS]\). \([OP]\) est adjacent à l'angle \(\widehat{POS}\) : \[\cos \widehat{POS} = \frac{OP}{OS} = \frac{6\,370}{6\,770} \qquad \widehat{POS} \approx \mathbf{19{,}8°}\]

c) Par le théorème de Pythagore dans \(OPS\) : \[PS^2 = OS^2 - OP^2 = 6\,770^2 - 6\,370^2 = 5\,256\,000 \qquad PS \approx \mathbf{2\,293 \text{ km}}\]

Étape 1 — a) Calcul de \(AC\) (côté de l'angle droit adjacente à \(\hat A\))

\(BC = 7\) cm est opposé à \(\hat A\). Donc : \[\tan(35°) = \dfrac{BC}{AC} \quad\Rightarrow\quad AC = \dfrac{7}{\tan(35°)} \approx \dfrac{7}{0{,}7002} \approx \mathbf{10{,}0 \text{ cm}}\]

Étape 2 — Calcul de \(AB\) (hypoténuse)

Sinus : \[\sin(35°) = \dfrac{BC}{AB} \quad\Rightarrow\quad AB = \dfrac{7}{\sin(35°)} \approx \dfrac{7}{0{,}5736} \approx \mathbf{12{,}2 \text{ cm}}\]

Étape 3 — b) Périmètre

\[\mathcal P \approx 7 + 10 + 12{,}2 = \mathbf{29{,}2 \text{ cm}}\]

Étape 4 — b) Aire

Pour un triangle rectangle : aire = (côté de l'angle droit × côté de l'angle droit)/2 : \[\mathcal A = \dfrac{AC \times BC}{2} = \dfrac{10 \times 7}{2} = \mathbf{35 \text{ cm}^2}\]

🔍 Vérification Pythagore : \(7^2 + 10^2 = 149\) et \(12{,}2^2 \approx 148{,}8\) ✓ (légères imprécisions).

Étape 1 — Mise en équation

Soit \(x\) la distance de \(O_1\) à la base de la montagne. La distance de \(O_2\) à la base est \(200 - x\).

Depuis \(O_1\) (angle 50°) : \[h = x \times \tan(50°)\]

Depuis \(O_2\) (angle 40°) : \[h = (200 - x) \times \tan(40°)\]

Étape 2 — Égalité

\[x \tan(50°) = (200 - x) \tan(40°)\]

Avec \(\tan(50°) \approx 1{,}1918\) et \(\tan(40°) \approx 0{,}8391\) : \[1{,}1918 x = 0{,}8391 (200 - x)\] \[1{,}1918 x = 167{,}82 - 0{,}8391 x\]

Étape 3 — Résoudre

\[1{,}1918 x + 0{,}8391 x = 167{,}82\] \[2{,}0309 x = 167{,}82\] \[x \approx 82{,}6 \text{ m}\]

Étape 4 — Calcul de la hauteur

\[h = 82{,}6 \times 1{,}1918 \approx \mathbf{98{,}5 \text{ m}}\]

🔍 Vérification depuis \(O_2\) : \(h = (200 - 82{,}6) \times \tan(40°) = 117{,}4 \times 0{,}8391 \approx 98{,}5\) m ✓