La symétrie axiale

• \(A'\) est à \(2\) carreaux à droite de \((d)\), sur la même ligne que \(A\).
• \(B'\) est à \(5\) carreaux à droite de \((d)\), sur la même ligne que \(B\) (donc \(2\) carreaux plus bas que \(A'\)).
• \(C\) est sur l'axe : \(C' = C\).

Conclusions :

• Axe vertical : A, H, X
• Axe horizontal : B, C, D, H, X
• Aucun axe : S

a) \(A\) est à \(2\) carreaux à gauche de \((d)\) : son symétrique est à \(2\) carreaux à droite, sur la même ligne. C'est exactement la position de \(C\) : le symétrique de \(A\) est \(C\).

b) \(B\) est sur l'axe, donc il est son propre symétrique. La symétrie transforme \(A\) en \(C\) et \(B\) en \(B\) : elle transforme le segment \([BA]\) en \([BC]\). Comme la symétrie conserve les longueurs, \(BA = BC\). Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(B\).

• \(A'B' = AB = \mathbf{5 \text{ cm}}\)
• \(\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} = \mathbf{65°}\)
• aire\((A'B'C') = \) aire\((ABC) = \mathbf{12 \text{ cm}^2}\)

\(M\) est sur la médiatrice, donc \(MQ = MP = \mathbf{5 \text{ cm}}\).

(La longueur \(PQ = 6\) cm ne sert pas ici.)

a) De la colonne \(2\) à la colonne \(5\) : \(3\) carreaux.

b) \(A'\) est de l'autre côté de l'axe, à \(3\) carreaux : colonne \(8\), ligne \(4\) (même ligne).

A : \(1\) axe (vertical) ; H : \(2\) axes ; N : aucun ; O : \(2\) axes ; X : \(2\) axes. Les lettres A, H, O, X ont au moins un axe.

… les longueurs, les angles, les aires et l'alignement.

Carré : \(4\) ; rectangle : \(2\) ; triangle équilatéral : \(3\) ; losange : \(2\) ; cercle : une infinité (toutes les droites passant par le centre).

La symétrie conserve longueurs et angles : \(A'B' = \mathbf{5}\) cm et \(\widehat{A'B'C'} = \mathbf{40°}\).

Méthode générale pour chaque sommet \(X\) du triangle :

1. On trace la perpendiculaire à l'axe passant par \(X\) : sur un quadrillage avec un axe « en diagonale », elle suit l'autre diagonale des carreaux.
2. On compte combien de diagonales de carreaux séparent \(X\) de l'axe, et on compte le même nombre de l'autre côté : on obtient \(X'\).
3. On relie \(D'\), \(E'\), \(F'\) dans le même ordre.

Vérification : pour chaque sommet, l'axe doit couper \([XX']\) en son milieu et à angle droit.

Construction de la médiatrice de \([AB]\)

1. On ouvre le compas à un écartement plus grand que la moitié de \(AB\) (ici, plus de \(4\) cm).
2. On pique en \(A\) et on trace un arc au-dessus et un arc en dessous du segment.
3. Sans changer l'écartement, on pique en \(B\) et on trace deux arcs qui coupent les premiers en \(P\) (au-dessus) et \(Q\) (en dessous).
4. On trace la droite \((PQ)\) : c'est la médiatrice de \([AB]\).

Vérification : pour un point \(M\) placé sur \((PQ)\), on mesure \(MA\) et \(MB\) : on trouve la même longueur.

a) On construit les symétriques \(A'\) et \(B'\) de \(A\) et \(B\), puis on trace \([A'B']\). Pour le cercle, il suffit de construire le symétrique \(O'\) du centre \(O\) et de tracer le cercle de centre \(O'\) et de même rayon.

b) La symétrie conserve les longueurs : \(A'B' = AB = \mathbf{4 \text{ cm}}\).

c) Le cercle symétrique a pour centre \(O'\), le symétrique de \(O\), et pour rayon \(2\) cm (le même rayon).

a) La droite verticale qui passe par le milieu de la base du rectangle et par le sommet du triangle partage la figure en deux moitiés qui se superposent : les deux côtés verticaux du rectangle (\(4\) cm) se correspondent, ainsi que les deux côtés égaux du triangle isocèle (\(5\) cm). Oui, cette droite est un axe de symétrie.

b) On compte le contour (le côté commun au rectangle et au triangle est à l'intérieur) :

• base du rectangle : \(6\) cm ;
• 2 côtés verticaux : \(4 + 4 = 8\) cm ;
• 2 côtés du toit : \(5 + 5 = 10\) cm.

\[6 + 8 + 10 = \mathbf{24 \text{ cm}}\]

a) Un point situé sur l'axe est son propre symétrique.

b) Si \(M\) est son propre symétrique, alors \(M\) est sur l'axe \((d)\).

c) L'axe \((d)\) passe par le milieu de \([NN']\) : \(N\) est à \(6 \div 2 = \mathbf{3 \text{ cm}}\) de \((d)\).

a) Les deux trous se superposent quand on plie le long de \((d)\) : \(A\) et \(A'\) sont symétriques par rapport à \((d)\). La droite \((d)\) est donc la médiatrice de \([AA']\).

b) \((d)\) passe par le milieu de \([AA']\) : \(A\) est à \(7 \div 2 = \mathbf{3{,}5 \text{ cm}}\) de \((d)\).

c)

• Avec l'équerre, on vérifie que \([AA']\) est perpendiculaire à \((d)\).
• Avec la règle, on vérifie que \((d)\) coupe \([AA']\) en son milieu (à \(3{,}5\) cm de chaque trou).

Étape 1 : par hypothèse, \(AB = AC\) : le point \(A\) est à la même distance de \(B\) et de \(C\).

Étape 2 : les points situés à la même distance de \(B\) et de \(C\) sont exactement les points de la médiatrice de \([BC]\).

Conclusion : \(A\) est sur la médiatrice de \([BC]\), autrement dit la médiatrice de \([BC]\) passe par \(A\).

a) Le logo a 2 axes de symétrie.

b)

• L'axe dans le sens de la longueur : il passe par les centres des deux demi-disques (et par les milieux des petits côtés du rectangle).
• L'axe dans le sens de la largeur : c'est la médiatrice des grands côtés du rectangle.

Ces deux axes sont perpendiculaires.

Un point de l'axe est son propre symétrique : \(M' = M\) (il est à une distance nulle de l'axe).

C'est un cercle de même rayon \(3\) cm, dont le centre \(O'\) est le symétrique de \(O\).

a) \((d)\) est la médiatrice de \([AA']\).

b) \((d)\) coupe \([AA']\) en son milieu : \(A\) est à \(6 \div 2 = \mathbf{3}\) cm de \((d)\).

a) Périmètre : \(3 + 4 + 5 = \mathbf{12}\) cm ; aire : \(\dfrac{3 \times 4}{2} = \mathbf{6}\) cm².

b) Les mêmes : \(12\) cm et \(6\) cm² (la symétrie conserve longueurs et aires).

a) Un rectangle de \(6\) cm sur \(4 + 4 = 8\) cm.

b) Périmètre : \(2 \times (6 + 8) = \mathbf{28}\) cm ; aire : \(6 \times 8 = \mathbf{48}\) cm² (le double de l'aire de \(ABCD\)).

a) \((d_1)\) est la médiatrice de \([AB]\) : elle échange \(A\) et \(B\). Le symétrique de \(A\) est \(B\).

b) \((d_2)\) est la médiatrice de \([BC]\), donc aussi de \([AD]\) (côté opposé, parallèle et de même longueur). Le symétrique de \(A\) est \(D\).

c) \((d_2)\) est la médiatrice de \([BC]\) : le symétrique de \(B\) est \(C\).

d) Par \((d_1)\), \(A\) devient \(B\) ; puis par \((d_2)\), \(B\) devient \(C\). On arrive sur le sommet \(C\) (le sommet opposé à \(A\)).

a) L'ensemble des points situés à la même distance de \(A\) et de \(B\) est la médiatrice du segment \([AB]\).

b) On la construit au compas (voir l'exercice 13) : c'est la droite perpendiculaire à \([AB]\) qui passe par son milieu, à \(3\) cm de \(A\).

c) La médiatrice est l'axe de la symétrie qui échange \(A\) et \(B\).

a) \(\widehat{A'} = \widehat{A} = \mathbf{50°}\) ; \(\widehat{B'} = \widehat{B} = \mathbf{60°}\). Pour le troisième angle : \(\widehat{C} = 180° - 50° - 60° = 70°\), donc \(\widehat{C'} = \mathbf{70°}\).

b) \(A'B' = AB = \mathbf{5 \text{ cm}}\).

c) Oui : les deux triangles se superposent quand on plie la feuille le long de \((d)\) (il faut « retourner » l'un des deux, comme dans un miroir).

a) On trace \((d)\), puis \(A\) à \(4\) cm au-dessus de \(H\) et \(B\) à \(3\) cm au-dessus de \(K\), avec \(HK = 7\) cm. Le symétrique \(A'\) est sur la droite \((AH)\), à \(4\) cm en dessous de \((d)\).

b) \((d)\) est la médiatrice de \([AA']\). Tout point \(P\) de \((d)\) est donc à la même distance de \(A\) et de \(A'\) : \(AP = A'P\).

c) Le trajet \(A \to P \to B\) a la même longueur que le trajet \(A' \to P \to B\). Ce trajet est le plus court quand il est en ligne droite : il faut que \(A'\), \(P\) et \(B\) soient alignés. On trace donc le segment \([A'B]\) : il coupe \((d)\) au point \(P\) cherché.

En mesurant sur une figure bien faite, on trouve \(HP = 4\) cm, \(PK = 3\) cm, et un trajet \(AP + PB = A'B \approx \mathbf{9{,}9 \text{ cm}}\).

a) \(A\) et \(B\) sont sur l'axe : ils sont leurs propres symétriques. On construit les symétriques \(C'\) et \(D'\) de \(C\) et \(D\) : ils sont à \(3\) cm de l'autre côté de \((d)\). Le symétrique du carré est le carré \(ABC'D'\).

b) Les deux carrés sont collés par le côté \([AB]\) : ensemble, ils forment un rectangle de \(6\) cm sur \(3\) cm (de sommets \(D\), \(C\), \(C'\), \(D'\)).

c)

• Périmètre : \(6 + 3 + 6 + 3 = \mathbf{18 \text{ cm}}\).
• Aire : \(6 \times 3 = \mathbf{18 \text{ cm}^2}\) (c'est aussi \(2 \times 9\) cm², deux carrés de \(9\) cm²).

Étape 1 — Analyser les propriétés

• 4 angles droits : c'est un rectangle (par définition).
• Les diagonales d'un rectangle ont bien la même longueur ✓.
• Un rectangle qui n'est pas un carré a exactement 2 axes de symétrie, perpendiculaires ✓.

Étape 2 — Est-ce un carré ?

Un carré a 4 axes de symétrie (les deux diagonales en plus). Or ce quadrilatère en a exactement 2 : ce n'est pas un carré.

Conclusion : c'est un rectangle qui n'est pas un carré (sa longueur et sa largeur sont différentes).