Droites, cercles et angles

a) Le coin d'une feuille est un endroit précis, sans longueur → point.
b) Le rayon de lumière commence à la lampe et continue tout droit sans s'arrêter → demi-droite (une seule extrémité : la lampe).
c) Le côté d'un carré s'arrête à deux sommets → segment (deux extrémités).
d) Une route imaginée sans fin des deux côtés → droite.

• aigu : \(0° < \alpha < 90°\)
• droit : \(\alpha = 90°\)
• obtus : \(90° < \alpha < 180°\)
• plat : \(\alpha = 180°\)

a) \(35° < 90°\) → aigu.
b) \(= 90°\) → droit.
c) \(90° < 127° < 180°\) → obtus.
d) \(= 180°\) → plat.

a) Complément de \(37°\) : \(90° - 37° = \mathbf{53°}\).

b) Supplément de \(52°\) : \(180° - 52° = \mathbf{128°}\).

c) On fait un schéma en barres : le premier angle fait \(2\) parts, le second \(3\) parts. Ensemble, cela fait \(2 + 3 = 5\) parts, et comme les angles sont complémentaires, ces \(5\) parts valent \(90°\).

Une part vaut : \(90° \div 5 = 18°\).

Les deux angles mesurent \(2 \times 18° = \mathbf{36°}\) et \(3 \times 18° = \mathbf{54°}\).

Vérification : \(36° + 54° = 90°\) ✓.

a) \(\widehat{COD}\) est l'angle opposé à \(\widehat{AOB}\) → \(\widehat{COD} = \mathbf{65°}\).

b) \(\widehat{AOD}\) et \(\widehat{AOB}\) forment un angle plat ensemble → \(\widehat{AOD} = 180° - 65° = \mathbf{115°}\).

c) \(\widehat{BOC}\) est opposé par le sommet à \(\widehat{AOD}\) → \(\widehat{BOC} = \mathbf{115°}\).

a) Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles : \[\mathbf{(d_1) \parallel (d_2)}\]

b) \((d_1)\) et \((d_4)\) sont toutes les deux parallèles à la même droite \((d_2)\). Or deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles, donc : \[\mathbf{(d_1) \parallel (d_4)}\]

\(\widehat{BAH} = \widehat{HAC} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2} = \dfrac{80°}{2} = \mathbf{40°}\).

a) un segment ; b) une droite ; c) une demi-droite.

d) Seul le segment a une longueur (la droite et la demi-droite sont illimitées).

a) Le milieu partage le segment en deux longueurs égales : \(AM = 7 \div 2 = \mathbf{3{,}5}\) cm.

b) \(CD = 2 \times 2{,}4 = \mathbf{4{,}8}\) cm.

a) Diamètre \(= 2 \times\) rayon \(= \mathbf{6}\) cm. b) Rayon \(= 9 \div 2 = \mathbf{4{,}5}\) cm.

c) \(2 < 3\) : \(P\) est plus près du centre que les points du cercle, il est à l'intérieur.

a) aigu (moins de \(90°\)) ; b) droit ; c) obtus (entre \(90°\) et \(180°\)) ; d) plat.

a) parallèles ; b) perpendiculaire.

a) Perpendiculaire à \((d)\) passant par \(P\)

1. On pose un côté de l'angle droit de l'équerre le long de la droite \((d)\).
2. On fait glisser l'équerre le long de \((d)\) jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit passe par \(P\).
3. On trace le long de ce côté : c'est la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(P\).

b) Parallèle à \((d)\) passant par \(Q\)

1. Avec l'équerre, on trace la droite \((t)\) perpendiculaire à \((d)\) et passant par \(Q\).
2. Toujours avec l'équerre, on trace la droite \((d')\) perpendiculaire à \((t)\) et passant par \(Q\).
3. Les droites \((d)\) et \((d')\) sont toutes les deux perpendiculaires à \((t)\) : elles sont donc parallèles. \((d')\) est la parallèle cherchée.

Étape 1 — Calcul de \(\widehat{AOB}\)

Puisque \([OC)\) est à l'intérieur de \(\widehat{AOB}\) : \[\widehat{AOB} = \widehat{AOC} + \widehat{COB} = 40° + 65° = \mathbf{105°}\]

Étape 2 — Vérification du caractère obtus

\(105° > 90°\) et \(105° < 180°\) → oui, \(\widehat{AOB}\) est bien obtus.

\[A \;—\; C \;—\; M \;—\; B \;—\; D\]

a) \(M\) est le milieu de \([AB]\) : \(AM = 7 \div 2 = \mathbf{3{,}5 \text{ cm}}\).

b) \(C\) est entre \(A\) et \(M\) (car \(2{,}5 < 3{,}5\)).

• \(CM = AM - AC = 3{,}5 - 2{,}5 = \mathbf{1 \text{ cm}}\)
• \(CB = AB - AC = 7 - 2{,}5 = \mathbf{4{,}5 \text{ cm}}\)

c) \(D\) est après \(B\).

• \(AD = AB + BD = 7 + 2 = \mathbf{9 \text{ cm}}\)
• \(MD = MB + BD = 3{,}5 + 2 = \mathbf{5{,}5 \text{ cm}}\)

Cas 1 — \([OB)\) est entre \([OA)\) et \([OC)\)

Les angles \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{BOC}\) sont adjacents, donc : \[\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 55° + 70° = \mathbf{125°}\]

Cas 2 — \([OA)\) est entre \([OB)\) et \([OC)\)

Alors \(\widehat{BOC}\) est formé de \(\widehat{BOA}\) et de \(\widehat{AOC}\) : \[\widehat{AOC} = \widehat{BOC} - \widehat{AOB} = 70° - 55° = \mathbf{15°}\]

Conclusion : \(\widehat{AOC}\) est la somme des deux angles seulement si \([OB)\) est entre \([OA)\) et \([OC)\). Il faut regarder la figure !

Étape 1 — Schéma

Deux droites sécantes en O forment 4 angles : deux paires d'angles opposés par le sommet (deux à deux égaux), et deux paires d'angles supplémentaires (deux à deux additionnant 180°).

Étape 2 — Calcul

Avec \(\alpha = 48°\) :

• 2 angles valent \(\mathbf{48°}\) (opposés par le sommet)
• 2 angles valent \(180° - 48° = \mathbf{132°}\) (supplémentaires des premiers)

Conclusion : les 4 angles sont \(48°, 132°, 48°, 132°\) (somme \(= 360°\) ✓).

Étape 1 — Calcul de \(\widehat{BOC}\)

Comme \([OB)\) est dans \(\widehat{AOC}\) : \(\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC}\), donc \[\widehat{BOC} = 140° - 80° = \mathbf{60°}\]

Étape 2 — Calcul de \(\widehat{AOD}\)

\([OD)\) bissectrice de \(\widehat{AOB}\) → \(\widehat{AOD} = \dfrac{\widehat{AOB}}{2} = \dfrac{80°}{2} = \mathbf{40°}\).

Étape 3 — Calcul de \(\widehat{BOE}\)

\([OE)\) bissectrice de \(\widehat{BOC}\) → \(\widehat{BOE} = \dfrac{60°}{2} = \mathbf{30°}\).

Étape 4 — Calcul de \(\widehat{DOE}\)

\(\widehat{DOE}\) = angle entre les deux bissectrices. \([OD)\) et \([OE)\) encadrent \([OB)\) : \[\widehat{DOE} = \widehat{DOB} + \widehat{BOE} = 40° + 30° = \mathbf{70°}\]

(C'est aussi la moitié de \(\widehat{AOC}\) : \(140° / 2 = 70°\) ✓ — propriété générale.)

Étape 1 — Construction

• \(M\) milieu de \([AB]\) → \(AM = MB = 3\) cm.
• \(C\) sur la perpendiculaire à \([AB]\) en \(M\), à \(4\) cm de \(M\).

Étape 2 — Que remarque-t-on ?

La perpendiculaire à \([AB]\) passant par son milieu \(M\) est la médiatrice de \([AB]\). Le point \(C\) est sur cette médiatrice, donc il est à la même distance de \(A\) et de \(B\) : \[AC = BC\]

Étape 3 — Mesure

En mesurant à la règle sur une figure bien construite, on trouve : \[AC = BC = \mathbf{5 \text{ cm}}\]

a) Le diamètre est le double du rayon : \(3 \times 2 = \mathbf{6 \text{ cm}}\).

b) \(A\) est sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(3\) cm. Tous les points du cercle sont à \(3\) cm du centre, donc \(OA = \mathbf{3 \text{ cm}}\).

c) Non. La plus longue corde d'un cercle est un diamètre (elle passe par le centre). Ici, un diamètre mesure \(6\) cm, donc aucune corde ne peut mesurer \(7\) cm.

d) \(OP = 2\) cm est plus petit que le rayon (\(3\) cm) : \(P\) est à l'intérieur du disque. \(OQ = 4\) cm est plus grand que le rayon : \(Q\) est à l'extérieur.

a) \(90° - 27° = \mathbf{63°}\) (angle complémentaire). b) \(180° - 115° = \mathbf{65°}\) (angle supplémentaire).

a) Tout point de la médiatrice est à égale distance de \(A\) et de \(B\) : \(MB = MA = \mathbf{5}\) cm.

b) \(NA \ne NB\) : \(N\) n'est pas sur la médiatrice.

La bissectrice partage l'angle en deux angles égaux : \(\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = 84° \div 2 = \mathbf{42°}\).

Un angle plat mesure \(180°\) : \(180° - 40° - 65° = \mathbf{75°}\).

a) On trace le cercle de centre \(A\) et de rayon \(4\) cm, et le cercle de centre \(B\) et de rayon \(4\) cm. Comme \(4 + 4 > 6\), ils se coupent en deux points.

b) Ces points sont à la même distance de \(A\) et de \(B\) : ils sont sur la médiatrice de \([AB]\).

Démonstration

Étape 1 — Mise en place

Par hypothèse, \((d_1)\) et \((d_3)\) se coupent à angle droit (\(90°\)). Idem pour \((d_2)\) et \((d_3)\).

Étape 2 — Application de la propriété

Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles (propriété fondamentale de 6ème).

Conclusion : \(\mathbf{(d_1) \parallel (d_2)}\) \(\square\)

a) \([OB)\) est la bissectrice de \(\widehat{AOC}\) : elle le partage en deux angles égaux. \[\widehat{BOC} = \widehat{AOB} = \mathbf{46°} \qquad \widehat{AOC} = 46° + 46° = \mathbf{92°}\]

b) \(A\), \(O\) et \(D\) sont alignés avec \(O\) entre \(A\) et \(D\) : \([OA)\) et \([OD)\) sont dans le prolongement l'une de l'autre. L'angle \(\widehat{AOD}\) est un angle plat : \(\widehat{AOD} = \mathbf{180°}\).

c) \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{COD}\) sont adjacents et forment ensemble l'angle plat : \[\widehat{COD} = 180° - 92° = \mathbf{88°}\]

d) \(\widehat{BOD} = \widehat{BOC} + \widehat{COD} = 46° + 88° = 134°\). Comme \(134°\) est entre \(90°\) et \(180°\), l'angle \(\widehat{BOD}\) est obtus.

Étape 1 — Cas particuliers

• \(n = 2\) : 1 paire → \(\mathbf{1}\) point
• \(n = 3\) : paires = \(\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}\) → \(\mathbf{3}\) points
• \(n = 4\) : 6 paires → \(\mathbf{6}\) points

Étape 2 — Chercher la régularité

Quand on ajoute une nouvelle droite, elle coupe toutes les droites déjà tracées, une fois chacune :

• la 3e droite coupe les \(2\) premières : \(1 + 2 = 3\) points ;
• la 4e droite coupe les \(3\) autres : \(3 + 3 = 6\) points ;
• la 5e droite coupe les \(4\) autres : \(6 + 4 = \mathbf{10}\) points ;
• la 6e droite coupe les \(5\) autres : \(10 + 5 = \mathbf{15}\) points.

a) On pique le compas en \(A\) avec un écartement de \(4\) cm et on trace un arc au-dessus et un arc au-dessous de \([AB]\). On recommence en piquant en \(B\), avec le même écartement. Les arcs se coupent en deux points : \(E\) (au-dessus) et \(F\) (au-dessous).

b) \(E\) est à la même distance de \(A\) et de \(B\) (\(EA = EB\)), donc \(E\) est sur la médiatrice de \([AB]\). De même, \(FA = FB\), donc \(F\) est aussi sur la médiatrice. La médiatrice est une droite qui passe par \(E\) et par \(F\) : \((EF)\) est la médiatrice de \([AB]\).

c) La médiatrice coupe le segment en son milieu, donc \(I\) est le milieu de \([AB]\) : \[AI = 5 \div 2 = \mathbf{2{,}5 \text{ cm}}\]

• L'aiguille des heures tourne de \(360° \div 12 = 30°\) par heure.
• L'aiguille des minutes tourne de \(360° \div 60 = 6°\) par minute.

a) à 3 h 00

Aiguille des heures à \(3 \times 30° = 90°\) ; aiguille des minutes à \(0°\). Angle : \(\mathbf{90°}\).

b) à 6 h 00

Aiguille des heures à \(6 \times 30° = 180°\) ; aiguille des minutes à \(0°\). Angle : \(\mathbf{180°}\) (angle plat).

c) à 3 h 30

L'aiguille des heures a aussi avancé d'une demi-heure : elle est à \(3{,}5 \times 30° = 105°\). L'aiguille des minutes est à \(30 \times 6° = 180°\). Angle : \(180° - 105° = \mathbf{75°}\).

a) \((AD)\) et \((BC)\) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite \((AB)\). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc \(\mathbf{(AD) \parallel (BC)}\).

b) \((AB)\) et \((DC)\) sont parallèles, et \((AD)\) est perpendiculaire à \((AB)\). Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Donc \(\mathbf{(AD) \perp (DC)}\).

c) De la même façon, \((BC) \perp (AB)\) et \((AB) \parallel (DC)\), donc \((BC) \perp (DC)\). Les quatre angles \(\widehat{A}\), \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\) et \(\widehat{D}\) sont droits : le quadrilatère a 4 angles droits, c'est un rectangle.