Exercices supplémentaires

Partie a) — \(3x + 7 = 22\)

Étape 1 — Isoler le terme en \(x\) On soustrait 7 des deux membres pour déplacer la constante à droite : \[3x + 7 - 7 = 22 - 7\] \[3x = 15\]

Étape 2 — Diviser par le coefficient \[x = \frac{15}{3} = 5\]

Vérification : \(3 \times 5 + 7 = 15 + 7 = 22\) ✓

Partie b) — \(5x - 3 = 2x + 9\)

Étape 1 — Regrouper les termes en \(x\) On soustrait \(2x\) des deux membres : \[5x - 2x - 3 = 9\] \[3x - 3 = 9\]

Étape 2 — Isoler le terme en \(x\) On ajoute 3 des deux membres : \[3x = 12\]

Étape 3 — Diviser \[x = 4\]

Vérification : \(5 \times 4 - 3 = 17\) et \(2 \times 4 + 9 = 17\) ✓

Partie c) — \(4(x - 1) = 2x + 6\)

Étape 1 — Développer le membre de gauche \[4x - 4 = 2x + 6\]

Étape 2 — Regrouper \[4x - 2x = 6 + 4\] \[2x = 10\] \[x = 5\]

Vérification : \(4(5 - 1) = 4 \times 4 = 16\) et \(2 \times 5 + 6 = 16\) ✓

Étape 1 — Mise en équation On note \(l\) la largeur du rectangle. La longueur vaut alors \(3l\). Le périmètre d'un rectangle est \(P = 2(\text{longueur} + \text{largeur})\), donc : \[2(3l + l) = 46\]

Étape 2 — Développer \[2 \times 4l = 46\] \[8l = 46\]

Étape 3 — Résoudre \[l = \frac{46}{8} = 5{,}75 \text{ cm}\]

Étape 4 — Calculer la longueur \[3l = 3 \times 5{,}75 = 17{,}25 \text{ cm}\]

Vérification : Périmètre \(= 2(17{,}25 + 5{,}75) = 2 \times 23 = 46\) cm ✓

Le rectangle mesure 5,75 cm de large et 17,25 cm de long.

Étape 1 — Identifier le dénominateur commun Les dénominateurs sont 3 et 4 : on choisit \(12\), multiple commun de 3 et de 4.

Étape 2 — Multiplier tous les termes par 12 \[12 \times \frac{x+1}{3} + 12 \times \frac{x-2}{4} = 12 \times 5\] \[4(x+1) + 3(x-2) = 60\]

Étape 3 — Développer \[4x + 4 + 3x - 6 = 60\] \[7x - 2 = 60\]

Étape 4 — Isoler \(x\) \[7x = 62\] \[x = \frac{62}{7} \approx 8{,}86\]

Vérification : \(\frac{62/7 + 1}{3} + \frac{62/7 - 2}{4} = \frac{69/7}{3} + \frac{48/7}{4} = \frac{69}{21} + \frac{48}{28} = \frac{23}{7} + \frac{12}{7} = \frac{35}{7} = 5\) ✓

Étape 1 — Mise en équation On note \(t\) (en heures) le temps écoulé avant le croisement.

La voiture 1 parcourt une distance de \(90t\) km. La voiture 2 parcourt une distance de \(60t\) km. Au moment du croisement, leurs distances cumulées égalent 270 km : \[90t + 60t = 270\]

Étape 2 — Résoudre \[150t = 270\] \[t = \frac{270}{150} = 1{,}8 \text{ heures}\]

Étape 3 — Convertir \(1{,}8\) h \(= 1\) h \(48\) min

Vérification : En 1,8 h, la première parcourt \(90 \times 1{,}8 = 162\) km et la seconde \(60 \times 1{,}8 = 108\) km. Total : \(162 + 108 = 270\) km ✓

Les deux voitures se croisent au bout de 1 heure 48 minutes.

Étape 1 — Traduire chaque programme Avec le nombre \(x\) : programme A donne \(3x + 12\) ; programme B donne \(5x - 2\).

Étape 2 — Écrire et résoudre l'équation \[3x + 12 = 5x - 2\] \[12 + 2 = 5x - 3x\] \[14 = 2x \quad \text{donc} \quad x = 7\]

Vérification : A donne \(3 \times 7 + 12 = 33\) et B donne \(5 \times 7 - 2 = 33\) ✓

Il faut choisir \(7\).

Étape 1 — Identifier l'hypoténuse Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Ici le triangle est rectangle en B, donc l'hypoténuse est AC.

Étape 2 — Appliquer le théorème de Pythagore \[AC^2 = AB^2 + BC^2\] \[AC^2 = 6^2 + 8^2\] \[AC^2 = 36 + 64 = 100\]

Étape 3 — Extraire la racine carrée \[AC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}\]

Vérification : \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\) ✓

Étape 1 — Identifier le plus grand côté Le plus grand côté est 13 cm. Si le triangle est rectangle, 13 est l'hypoténuse.

Étape 2 — Vérifier la relation de Pythagore On calcule séparément \(5^2 + 12^2\) et \(13^2\) : \[5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\] \[13^2 = 169\]

Étape 3 — Conclure Comme \(5^2 + 12^2 = 13^2\), d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle (l'angle droit est en face du côté de 13 cm).

Étape 1 — Modéliser la situation L'échelle, le sol et le mur forment un triangle rectangle. L'angle droit est entre le mur et le sol. L'échelle (5 m) est l'hypoténuse. Le pied de l'échelle est à 1,5 m du mur.

Étape 2 — Appliquer Pythagore On note \(h\) la hauteur atteinte sur le mur : \[5^2 = h^2 + 1{,}5^2\] \[25 = h^2 + 2{,}25\] \[h^2 = 25 - 2{,}25 = 22{,}75\]

Étape 3 — Calculer \[h = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77 \text{ m}\]

L'échelle atteint le mur à environ 4,77 m de hauteur.

Étape 1 — Modéliser Dans un carré, la diagonale partage le carré en deux triangles rectangles isocèles. Les deux côtés de l'angle droit mesurent chacun 7 cm (les côtés du carré).

Étape 2 — Appliquer Pythagore On note \(d\) la longueur de la diagonale : \[d^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98\]

Étape 3 — Simplifier la racine \[d = \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}\]

Forme exacte : \(d = 7\sqrt{2}\) cm

Valeur approchée : \(d \approx 7 \times 1{,}414 \approx 9{,}9\) cm

Étape 1 — Calculer BC Le triangle est rectangle en A, donc BC est l'hypoténuse : \[BC^2 = AB^2 + AC^2 = 100 + 289 = 389\] \[BC = \sqrt{389} \text{ cm}\]

Étape 2 — Utiliser l'aire pour trouver AD L'aire du triangle ABC peut se calculer de deux façons :

• Avec AB et AC comme base et hauteur (angle droit en A) : \(\text{Aire} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 10 \times 17 = 85\)
• Avec BC comme base et AD comme hauteur : \(\text{Aire} = \frac{1}{2} \times BC \times AD\)

Étape 3 — Égaliser les expressions \[\frac{1}{2} \times \sqrt{389} \times AD = 85\] \[AD = \frac{170}{\sqrt{389}} = \frac{170\sqrt{389}}{389} \approx \frac{170 \times 19{,}72}{389} \approx 8{,}63 \text{ cm}\]

Étape 1 — Vérifier les conditions d'application de Thalès D est sur AB, E est sur AC, et DE est parallèle à BC. Les conditions sont réunies pour appliquer le théorème de Thalès.

Étape 2 — Écrire les rapports de Thalès D'après le théorème de Thalès : \[\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}\]

Étape 3 — Calculer AB \[AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 \text{ cm}\]

Étape 4 — Résoudre pour BC \[\frac{4}{10} = \frac{3}{BC}\] \[BC = \frac{3 \times 10}{4} = \frac{30}{4} = 7{,}5 \text{ cm}\]

Étape 1 — Modéliser Les rayons du soleil étant parallèles, les triangles formés par l'arbre et son ombre, et par le poteau et son ombre, sont semblables (configuration de Thalès).

Étape 2 — Écrire la proportion On note \(h\) la hauteur de l'arbre : \[\frac{h}{1{,}5} = \frac{8}{2}\]

Étape 3 — Calculer \[h = 1{,}5 \times \frac{8}{2} = 1{,}5 \times 4 = 6 \text{ m}\]

L'arbre mesure 6 m de hauteur.

Étape 1 — Calculer les rapports Pour montrer que MN ∥ AB, on utilise la réciproque du théorème de Thalès : il suffit de vérifier que : \[\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB}\]

Étape 2 — Calculer chaque rapport \[\frac{OM}{OA} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\] \[\frac{ON}{OB} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

Étape 3 — Conclure Les deux rapports sont égaux et M, N sont sur les côtés du triangle. D'après la réciproque du théorème de Thalès, MN est parallèle à AB.

Étape 1 — Écrire les rapports de Thalès \[\frac{DG}{DE} = \frac{GH}{EF} = \frac{DH}{DF}\]

Étape 2 — Calculer DE \[DE = DG + GE = 5 + 3 = 8 \text{ cm}\]

Étape 3 — Calculer EF \[\frac{5}{8} = \frac{4}{EF}\] \[EF = \frac{4 \times 8}{5} = \frac{32}{5} = 6{,}4 \text{ cm}\]

Étape 4 — Calculer DH et HF \[\frac{DH}{DF} = \frac{DG}{DE} = \frac{5}{8} \quad \text{donc} \quad DH = \frac{5}{8} \times 10 = 6{,}25 \text{ cm}\] \[HF = DF - DH = 10 - 6{,}25 = 3{,}75 \text{ cm}\]

Étape 1 — Comprendre l'échelle L'échelle 1 : 25 000 signifie que 1 cm sur la carte correspond à 25 000 cm dans la réalité.

Étape 2 — Convertir 25 000 cm en km \[25\,000 \text{ cm} = 250 \text{ m} = 0{,}25 \text{ km}\]

Étape 3 — Distance à vol d'oiseau \[6 \text{ cm sur la carte} \times 25\,000 = 150\,000 \text{ cm} = 1{,}5 \text{ km}\]

Étape 4 — Longueur de la route \[7{,}5 \text{ cm sur la carte} \times 25\,000 = 187\,500 \text{ cm} = 1{,}875 \text{ km}\]

La distance à vol d'oiseau est de 1,5 km et la route mesure 1,875 km.

Étape 1 — Repérer les côtés par rapport à l'angle \(\widehat{A}\) AB est l'hypoténuse (face à l'angle droit) et AC est le côté adjacent à \(\widehat{A}\).

Étape 2 — Calculer AC avec le cosinus \[\cos\widehat{A} = \frac{AC}{AB} \quad \text{donc} \quad AC = 12 \times \cos 35° \approx 9{,}8 \text{ cm}\]

Étape 3 — Calculer BC avec le théorème de Pythagore \[BC^2 = AB^2 - AC^2 \approx 144 - 96{,}6 = 47{,}4 \quad \text{donc} \quad BC \approx 6{,}9 \text{ cm}\]

Étape 1 — Écrire le cosinus \[\cos\alpha = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{7}{11}\]

Étape 2 — Utiliser la touche \(\cos^{-1}\) de la calculatrice \[\alpha \approx 50{,}5°\]

Étape 1 — Distance au mur (côté adjacent à l'angle de \(70°\)) \[d = 6 \times \cos 70° \approx 2{,}05 \text{ m}\]

Étape 2 — Hauteur avec le théorème de Pythagore \[h^2 = 6^2 - d^2 \approx 36 - 4{,}21 = 31{,}79 \quad \text{donc} \quad h \approx 5{,}64 \text{ m}\]

Étape 1 — Modéliser La tour, le point du sol situé sous l'avion et l'avion forment un triangle rectangle. La distance horizontale (\(6\) km) est le côté adjacent à l'angle de \(25°\) ; la distance réelle \(D\) est l'hypoténuse.

Étape 2 — Distance réelle \[\cos 25° = \frac{6}{D} \quad \text{donc} \quad D = \frac{6}{\cos 25°} \approx 6{,}6 \text{ km}\]

Étape 3 — Altitude avec Pythagore \[h^2 = D^2 - 6^2 \approx 43{,}83 - 36 = 7{,}83 \quad \text{donc} \quad h \approx 2{,}8 \text{ km}\]

Étape 1 — Calculer BH dans le triangle ABH rectangle en H \[\cos\widehat{ABH} = \frac{BH}{AB} \quad \text{donc} \quad BH = 10 \times \cos 40° \approx 7{,}66 \text{ cm}\] Donc \(BC = 2 \times BH \approx 15{,}3\) cm.

Étape 2 — Calculer AH avec Pythagore \[AH^2 = AB^2 - BH^2 \approx 100 - 58{,}68 = 41{,}32 \quad \text{donc} \quad AH \approx 6{,}4 \text{ cm}\]

Étape 3 — Aire \[\mathcal{A} = \frac{BC \times AH}{2} = BH \times AH \approx 7{,}66 \times 6{,}43 \approx 49{,}2 \text{ cm}^2\]

Méthode — Double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.

Partie a) \[(x + 5)(x - 3) = x^2 - 3x + 5x - 15 = x^2 + 2x - 15\]

Partie b) \[(2x - 1)(2x - 1) = 4x^2 - 2x - 2x + 1 = 4x^2 - 4x + 1\]

Vérification avec \(x = 1\) :
a) \(6 \times (-2) = -12\) et \(1 + 2 - 15 = -12\) ✓ ;
b) \(1 \times 1 = 1\) et \(4 - 4 + 1 = 1\) ✓

Partie a) : \(5\) est commun aux deux termes : \(5x + 20 = 5 \times x + 5 \times 4 = 5(x + 4)\).

Partie b) : \(3x\) est commun : \(3x^2 - 12x = 3x \times x - 3x \times 4 = 3x(x - 4)\).

Partie c) : \(7x\) est commun : \(7x^2 + 14x = 7x(x + 2)\).

Vérification : on redéveloppe chaque résultat pour retrouver l'expression de départ.

Partie a) \[(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12\]

Partie b) \(x = 3\) : \(9 - 21 + 12 = 0\) ; \(x = 4\) : \(16 - 28 + 12 = 0\).

D'après a), \(x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)\). Pour \(x = 3\), le premier facteur vaut \(0\) ; pour \(x = 4\), c'est le second. Un produit dont un facteur est nul est nul.

Étape 1 — Exprimer et développer les aires \[(x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4 \qquad (x + 5)(x - 1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5\]

Étape 2 — Comparer La différence vaut \((x^2 + 4x + 4) - (x^2 + 4x - 5) = 9\) : l'aire du carré dépasse toujours celle du rectangle de \(9\) cm². Ils ne peuvent jamais avoir la même aire.

Partie a) \[(n + 1)(n + 1) - n^2 = n^2 + n + n + 1 - n^2 = 2n + 1\]

Partie b) Avec \(n = 14\) : \(15^2 - 14^2 = 2 \times 14 + 1 = 29\). Avec \(n = 100\) : \(101^2 - 100^2 = 201\).

Vérification : \(225 - 196 = 29\) ✓

Partie a) — \(3^4 \times 3^{-2}\)

Règle : Lorsqu'on multiplie deux puissances de même base, on additionne les exposants : \[3^4 \times 3^{-2} = 3^{4 + (-2)} = 3^2 = 9\]

Partie b) — \(\dfrac{5^6}{5^3}\)

Règle : Lorsqu'on divise deux puissances de même base, on soustrait les exposants : \[\frac{5^6}{5^3} = 5^{6-3} = 5^3 = 125\]

Partie c) — \((2^3)^2\)

Règle : Lorsqu'on élève une puissance à une puissance, on multiplie les exposants : \[(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64\]

La notation scientifique s'écrit sous la forme \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq a < 10\).

Partie a) — \(45\,000\,000\)

On déplace la virgule pour obtenir 4,5 (on l'a déplacée de 7 rangs vers la gauche) : \[45\,000\,000 = 4{,}5 \times 10^7\]

Partie b) — \(0{,}000\,32\)

On déplace la virgule pour obtenir 3,2 (on l'a déplacée de 4 rangs vers la droite) : \[0{,}000\,32 = 3{,}2 \times 10^{-4}\]

Partie c) — \(1\,234\)

On déplace la virgule de 3 rangs vers la gauche : \[1\,234 = 1{,}234 \times 10^3\]

Étape 1 — Identifier la formule \[\text{temps} = \frac{\text{distance}}{\text{vitesse}}\]

Étape 2 — Calculer \[t = \frac{1{,}5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8}\]

Étape 3 — Séparer la partie numérique et les puissances \[t = \frac{1{,}5}{3} \times \frac{10^{11}}{10^8} = 0{,}5 \times 10^{11-8} = 0{,}5 \times 10^3\]

Étape 4 — Écrire en notation scientifique correcte \[t = 5 \times 10^2 = 500 \text{ secondes}\]

La lumière met 500 secondes (soit environ 8 minutes 20 secondes) pour passer du Soleil à la Terre.

Étape 1 — Développer la puissance d'un produit \[(2 \times 10^3)^4 = 2^4 \times (10^3)^4\]

Étape 2 — Calculer chaque partie \[2^4 = 16 \quad \text{et} \quad (10^3)^4 = 10^{12}\]

Étape 3 — Écrire en notation scientifique \[16 \times 10^{12} = 1{,}6 \times 10^{13}\]

Étape 1 — Calculer le rapport des diamètres \[\frac{\text{diamètre bactérie}}{\text{diamètre virus}} = \frac{2 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-8}}\]

Étape 2 — Diviser \[= \frac{2}{3} \times \frac{10^{-6}}{10^{-8}} = \frac{2}{3} \times 10^{-6-(-8)} = \frac{2}{3} \times 10^2 \approx 0{,}667 \times 100 \approx 66{,}7\]

Le diamètre de la bactérie est environ 66,7 fois plus grand que celui du virus.

Étape 3 — Nombre de virus alignés \(66{,}7\) n'est pas entier : on peut aligner 66 virus entiers sur la longueur d'une bactérie.

Partie a) O est le milieu de [AA'] : on va de A à O en faisant \(-3\) en abscisse et \(+2\) en ordonnée, et on refait le même déplacement à partir de O. \(A'(-3\,;\,2)\).

Partie b) On ajoute \(4\) à l'abscisse et \(1\) à l'ordonnée : \(A'(7\,;\,-1)\).

Méthode : chaque point et son image sont à la même distance de (d), de part et d'autre, sur la même horizontale.

• A est à \(2\) carreaux à gauche de (d) : \(A'\) est à \(2\) carreaux à droite, \(A'(5\,;\,2)\).
• B est à \(1\) carreau à droite de (d) : \(B'(2\,;\,2)\).
• C est à \(1\) carreau à droite de (d) : \(C'(2\,;\,5)\).

Vérification : la symétrie conserve les longueurs : \(AB = 3\) et \(A'B' = 5 - 2 = 3\) ✓

Partie a) De A à B : \(3\) carreaux vers la droite et \(2\) vers le haut. Donc \(D(2 + 3\,;\,5 + 2) = D(5\,;\,7)\).

Partie b) Le segment [CD] est l'image de [AB] par une translation : ABDC est un parallélogramme.

Étape 1 — Le déplacement de P vers I De P(5 ; 7) à I(2 ; 3) : \(-3\) en abscisse et \(-4\) en ordonnée.

Étape 2 — On refait le même déplacement à partir de I \(P'(2 - 3\,;\,3 - 4) = P'(-1\,;\,-1)\).

Étape 3 — Vérification De P à I comme de I à P', on fait le même déplacement : I est bien au milieu de [PP'] ✓

Étape 1 — Translation : on ajoute \(3\) aux abscisses et \(1\) aux ordonnées. \(A_1(3\,;\,1)\), \(B_1(5\,;\,1)\), \(C_1(4\,;\,3)\).

Étape 2 — Symétrie d'axe l'axe des ordonnées : chaque point passe de l'autre côté de l'axe, à la même distance ; l'abscisse change de signe. \(A'(-3\,;\,1)\), \(B'(-5\,;\,1)\), \(C'(-4\,;\,3)\).