4e · Chapitre 3 · Nombres et calculs

Puissances et notation scientifique

30 exercices corrigés

1 Les puissances d'un nombre

Définition

Pour un nombre $a$ et un entier $n \geq 1$, la puissance $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ : $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$ On lit « $a$ puissance $n$ » ; $n$ est l'exposant. Par convention, $a^1 = a$ et $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$).

Exemples

$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ ; $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ ; $(-2)^3 = -8$.

Attention

$-3^2 = -(3 \times 3) = -9$, alors que $(-3)^2 = 9$. Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le $3$. Et $2^5$ n'est pas $2 \times 5$ !

Priorités

On calcule les puissances avant les multiplications et les additions : $3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$.

2 Les puissances de 10

$10^1 = 10 \qquad 10^2 = 100 \qquad 10^3 = 1\,000 \qquad 10^6 = 1\,000\,000$

Exposants négatifs

Pour $n \geq 1$, $10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$. $10^{-1} = \frac{1}{10} = 0{,}1 \qquad 10^{-3} = \frac{1}{1\,000} = 0{,}001$

Astuce

$10^n$ s'écrit avec un $1$ suivi de $n$ zéros ; $10^{-n}$ s'écrit $0{,}0\ldots01$ avec le $1$ au $n$-ième rang après la virgule.

Puissance	$10^9$	$10^6$	$10^3$	$10^0$	$10^{-3}$	$10^{-6}$	$10^{-9}$
Valeur	1 milliard	1 million	1 000	1	0,001	0,000 001	0,000 000 001
Préfixe	giga (G)	méga (M)	kilo (k)	—	milli (m)	micro (µ)	nano (n)

À retenir

Pour tous les entiers $m$ et $n$ : $10^m \times 10^n = 10^{m+n} \qquad \frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n} \qquad (10^m)^n = 10^{m \times n}$ Exemples : $10^3 \times 10^{-5} = 10^{-2}$ ; $\dfrac{10^2}{10^6} = 10^{-4}$.

Pour comprendre

$10^3 \times 10^2 = (10 \times 10 \times 10) \times (10 \times 10) = 10^5$ : on compte les facteurs $10$.

3 La notation scientifique

Définition

Un nombre est écrit en notation scientifique s'il est de la forme $a \times 10^n \qquad \text{avec } 1 \leq a < 10 \text{ et } n \text{ entier}$ (un seul chiffre non nul avant la virgule).

Méthode

On place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis on compte de combien de rangs elle s'est déplacée.

$5\,700\,000 = 5{,}7 \times 10^6$ (la virgule a reculé de $6$ rangs vers la gauche : exposant positif) ;
$0{,}000\,047 = 4{,}7 \times 10^{-5}$ (elle a avancé de $5$ rangs vers la droite : exposant négatif).

À quoi ça sert ?

À écrire et comparer facilement des nombres très grands (distance Terre-Soleil : $1{,}5 \times 10^{11}$ m) ou très petits (taille d'un virus : $10^{-7}$ m). L'exposant donne l'ordre de grandeur.

4 Calculer en notation scientifique

Produit

On multiplie les nombres « devant », et on additionne les exposants. Puis on réajuste. $(3 \times 10^4) \times (4 \times 10^3) = 12 \times 10^7 = 1{,}2 \times 10^8$

Quotient

$\frac{8 \times 10^6}{4 \times 10^2} = 2 \times 10^4$

Attention

$12 \times 10^7$ n'est pas en notation scientifique ($12 \geq 10$). On écrit $12 = 1{,}2 \times 10$, d'où $1{,}2 \times 10^8$.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

Les règles $a^m \times a^n = a^{m+n}$ et $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ sont vraies pour n'importe quel nombre $a$ non nul, pas seulement pour $10$.

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Puissance	$a^n = a \times a \times \cdots \times a$ ($n$ facteurs) ; $a^0 = 1$
Exposant négatif	$10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$
Produit	$10^m \times 10^n = 10^{m+n}$
Quotient	$\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}$
Puissance de puissance	$(10^m)^n = 10^{mn}$
Notation scientifique	$a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$

Pièges à éviter

$(-3)^2 = 9$ mais $-3^2 = -9$.
$10^{-3} = 0{,}001$, et non $-1\,000$.
$12 \times 10^5$ n'est pas en notation scientifique : $1{,}2 \times 10^6$.
$5{,}3 \times 10^4 \neq 5{,}3 \times 4$.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Exposants négatifsNiveau 1

Calcule (sans calculatrice) :
a) $10^{-2}$
b) $5^{-1}$
c) $2^{-3}$
d) $10^{-5}$

Voir la correction›

Règle

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. Pour calculer, on prend la puissance positive et on inverse.

a) $10^{-2}$

$10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = \mathbf{0{,}01}$

b) $5^{-1}$

$5^{-1} = \dfrac{1}{5^1} = \dfrac{1}{5} = \mathbf{0{,}2}$

c) $2^{-3}$

$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = \mathbf{0{,}125}$

d) $10^{-5}$

$10^{-5} = \dfrac{1}{10^5} = \dfrac{1}{100\,000} = \mathbf{0{,}00001}$

Astuce

$10^{-n}$ s'écrit toujours « 0, puis $(n-1)$ zéros, puis 1 ». Exemple : $10^{-5}$ → « 0, puis 4 zéros, puis 1 » = 0,00001.

Exercice 2—Notation scientifique (grands nombres)Niveau 1

Écris en notation scientifique :
a) $76\,000$
b) $4\,500\,000$
c) $130\,000\,000$
d) $9{,}8 \times 10^5$ (déjà en not. sci.?)

Voir la correction›

Règle

pour la notation scientifique, on veut $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$. On déplace la virgule jusqu'à n'avoir qu'un seul chiffre non nul avant la virgule.

a) $76\,000$

On déplace la virgule de 4 rangs vers la gauche pour passer de $76\,000$ à $7{,}6$ : $76\,000 = \mathbf{7{,}6 \times 10^4}$

b) $4\,500\,000$

Déplacement de 6 rangs : $4\,500\,000 \to 4{,}5$ $4\,500\,000 = \mathbf{4{,}5 \times 10^6}$

c) $130\,000\,000$

Déplacement de 8 rangs : $130\,000\,000 \to 1{,}3$ $130\,000\,000 = \mathbf{1{,}3 \times 10^8}$

d) $9{,}8 \times 10^5$

Vérification : $9{,}8$ vérifie bien $1 \leq 9{,}8 < 10$ ✓.

➡️ Ce nombre est déjà en notation scientifique correcte.

Vérification rapide

On peut développer pour vérifier. Ex : $7{,}6 \times 10^4 = 7{,}6 \times 10\,000 = 76\,000$ ✓

Exercice 3—Notation scientifique (petits nombres)Niveau 1

Écris en notation scientifique :
a) $0{,}0034$
b) $0{,}000056$
c) $0{,}47$
d) $0{,}000000009$

Voir la correction›

Règle

pour les petits nombres (< 1), l'exposant est négatif. On déplace la virgule vers la droite.

a) $0{,}0034$

Déplacement de 3 rangs vers la droite pour avoir 3,4 : $0{,}0034 = \mathbf{3{,}4 \times 10^{-3}}$

b) $0{,}000056$

Déplacement de 5 rangs vers la droite : $0{,}000056 = \mathbf{5{,}6 \times 10^{-5}}$

c) $0{,}47$

Déplacement de 1 rang vers la droite : $0{,}47 = \mathbf{4{,}7 \times 10^{-1}}$

d) $0{,}000000009$

On compte les zéros après la virgule : 8 zéros, puis le 9. Déplacement de 9 rangs : $0{,}000000009 = \mathbf{9 \times 10^{-9}}$

Règle des signes

Nombre > 1 → exposant positif ; nombre < 1 → exposant négatif.

Exercice 4—Notation décimaleNiveau 1

Écris en notation décimale :
a) $3{,}2 \times 10^4$
b) $7 \times 10^{-3}$
c) $1{,}5 \times 10^{-5}$
d) $8{,}02 \times 10^7$

Voir la correction›

Règle

pour convertir $a \times 10^n$ en décimal, on déplace la virgule de $|n|$ rangs (à droite si $n > 0$, à gauche si $n < 0$).

a) $3{,}2 \times 10^4$

Déplacement de 4 rangs vers la droite : $3{,}2 \to 32\,000$ $3{,}2 \times 10^4 = \mathbf{32\,000}$

b) $7 \times 10^{-3}$

Déplacement de 3 rangs vers la gauche : $7 \to 0{,}007$ $7 \times 10^{-3} = \mathbf{0{,}007}$

c) $1{,}5 \times 10^{-5}$

Déplacement de 5 rangs vers la gauche : $1{,}5 \to 0{,}000015$ $1{,}5 \times 10^{-5} = \mathbf{0{,}000015}$

d) $8{,}02 \times 10^7$

Déplacement de 7 rangs vers la droite : $8{,}02 \to 80\,200\,000$ $8{,}02 \times 10^7 = \mathbf{80\,200\,000}$

Exercice 5—Propriétés des puissancesNiveau 1

Simplifie en une seule puissance :
a) $10^4 \times 10^{-2}$
b) $10^3 \div 10^7$
c) $(10^{-2})^3$

Voir la correction›

Règles à appliquer

$a^m \times a^n = a^{m+n}$ (addition des exposants)
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (soustraction)
$(a^m)^n = a^{m \times n}$ (multiplication)

a) $10^4 \times 10^{-2}$

$10^4 \times 10^{-2} = 10^{4 + (-2)} = \mathbf{10^2 = 100}$

b) $10^3 \div 10^7$

$\dfrac{10^3}{10^7} = 10^{3 - 7} = \mathbf{10^{-4}}$

c) $(10^{-2})^3$

$(10^{-2})^3 = 10^{-2 \times 3} = \mathbf{10^{-6}}$

Piège

Ne pas confondre multiplication ($+$ exposants) et élévation à une puissance ($\times$ exposants). Exemple : $10^2 \times 10^3 = 10^5$ mais $(10^2)^3 = 10^6$.

Exercice 6—Ordre de grandeurNiveau 1

Classe du plus petit au plus grand : $2{,}5 \times 10^3 \quad ; \quad 4 \times 10^{-1} \quad ; \quad 8 \times 10^2 \quad ; \quad 1{,}2 \times 10^4$

Voir la correction›

Stratégie

on convertit tous les nombres en décimal pour comparer facilement, OU on compare directement les ordres de grandeur (l'exposant) — c'est plus rapide.

Étape 1 — Conversion (méthode décimale)

Notation scientifique	Décimal
$2{,}5 \times 10^3$	$2\,500$
$4 \times 10^{-1}$	$0{,}4$
$8 \times 10^2$	$800$
$1{,}2 \times 10^4$	$12\,000$

Étape 2 — Tri par ordre croissant

$\boxed{4 \times 10^{-1} < 8 \times 10^2 < 2{,}5 \times 10^3 < 1{,}2 \times 10^4}$

🔍 Vérification : exposants $-1 < 2 < 3 < 4$ ✓

Astuce rapide

Pour deux nombres en notation scientifique, on regarde d'abord l'exposant (le plus petit donne le plus petit nombre). À exposants égaux, on compare les mantisses.

Exercice 7—Calculer des puissancesNiveau 1

Calcule :
a) $10^4$ $\quad$
b) $10^{-3}$ $\quad$
c) $2^5$ $\quad$
d) $(-2)^3$

Voir la correction›

a) $\mathbf{10\,000}$ ; b) $\mathbf{0{,}001}$ ; c) $\mathbf{32}$ ; d) $\mathbf{-8}$.

Exercice 8—Notation scientifiqueNiveau 1

Écris en notation scientifique :
a) $45\,000$ $\quad$
b) $0{,}000\,72$ $\quad$
c) $380$

Voir la correction›

🎯 Un seul chiffre non nul avant la virgule.

a) $\mathbf{4{,}5 \times 10^4}$ ; b) $\mathbf{7{,}2 \times 10^{-4}}$ ; c) $\mathbf{3{,}8 \times 10^2}$.

Exercice 9—Écriture décimaleNiveau 1

Donne l'écriture décimale :
a) $3{,}1 \times 10^5$ $\quad$
b) $6 \times 10^{-3}$

Voir la correction›

a) $\mathbf{310\,000}$ ; b) $\mathbf{0{,}006}$.

Exercice 10—Règles de calculNiveau 1

Écris sous la forme d'une seule puissance :
a) $10^3 \times 10^5$ $\quad$
b) $\dfrac{10^7}{10^2}$ $\quad$
c) $(10^3)^2$ $\quad$
d) $2^3 \times 2^4$

Voir la correction›

a) $\mathbf{10^8}$ ; b) $\mathbf{10^5}$ ; c) $\mathbf{10^6}$ ; d) $\mathbf{2^7}$.

Exercice 11—Exposants négatifsNiveau 1

Donne l'écriture décimale :
a) $2^{-1}$ $\quad$
b) $10^{-2}$ $\quad$
c) $5^{-2}$

Voir la correction›

a) $\dfrac{1}{2} = \mathbf{0{,}5}$ ; b) $\mathbf{0{,}01}$ ; c) $\dfrac{1}{25} = \mathbf{0{,}04}$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Multiplication en notation scientifiqueNiveau 2

Calcule en notation scientifique :
a) $(2 \times 10^3) \times (4 \times 10^5)$
b) $(3{,}5 \times 10^7) \times (2 \times 10^{-3})$
c) $(6 \times 10^{-4}) \times (5 \times 10^{-2})$

Voir la correction›

Règle

$(a \times 10^m) \times (b \times 10^n) = (a \times b) \times 10^{m+n}$. Si $a \times b \geq 10$, on réajuste.

a) $(2 \times 10^3) \times (4 \times 10^5)$

$= (2 \times 4) \times 10^{3+5} = 8 \times 10^8$

Vérification : $8$ vérifie $1 \leq 8 < 10$ ✓ → $\mathbf{8 \times 10^8}$.

b) $(3{,}5 \times 10^7) \times (2 \times 10^{-3})$

$= (3{,}5 \times 2) \times 10^{7+(-3)} = 7 \times 10^4 = \mathbf{7 \times 10^4}$

c) $(6 \times 10^{-4}) \times (5 \times 10^{-2})$

$= (6 \times 5) \times 10^{-4-2} = 30 \times 10^{-6}$

⚠️ Mais $30 \geq 10$ → réajustement nécessaire : $30 = 3 \times 10^1$. $30 \times 10^{-6} = 3 \times 10^1 \times 10^{-6} = \mathbf{3 \times 10^{-5}}$

Toujours vérifier

Que la mantisse est dans $[1; 10[$ après calcul. Sinon on réajuste.

Exercice 13—Division en notation scientifiqueNiveau 2

Calcule en notation scientifique :
a) $\dfrac{8 \times 10^6}{4 \times 10^2}$
b) $\dfrac{3 \times 10^{-2}}{6 \times 10^3}$

Voir la correction›

Règle

$\dfrac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \dfrac{a}{b} \times 10^{m-n}$.

a) $\dfrac{8 \times 10^6}{4 \times 10^2}$

$= \dfrac{8}{4} \times 10^{6-2} = 2 \times 10^4 = \mathbf{2 \times 10^4}$

b) $\dfrac{3 \times 10^{-2}}{6 \times 10^3}$

$= \dfrac{3}{6} \times 10^{-2-3} = 0{,}5 \times 10^{-5}$

⚠️ Mantisse $0{,}5 < 1$ → réajustement : $0{,}5 = 5 \times 10^{-1}$. $0{,}5 \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-1} \times 10^{-5} = \mathbf{5 \times 10^{-6}}$

Important

La mantisse doit toujours vérifier $1 \leq a < 10$. Si elle est inférieure à 1, on décale en diminuant l'exposant.

Exercice 14—Addition et soustractionNiveau 2

Calcule :
a) $3{,}4 \times 10^5 + 6 \times 10^4$
b) $7{,}2 \times 10^{-3} - 8 \times 10^{-4}$

Voir la correction›

Règle

pour additionner/soustraire des nombres en notation scientifique, on doit les avoir au même exposant. On choisit le plus grand exposant, puis on convertit l'autre.

a) $3{,}4 \times 10^5 + 6 \times 10^4$

On met tout en $10^4$ : $3{,}4 \times 10^5 = 34 \times 10^4$ $34 \times 10^4 + 6 \times 10^4 = (34 + 6) \times 10^4 = 40 \times 10^4$

Réajustement : $40 \times 10^4 = \mathbf{4 \times 10^5}$.

b) $7{,}2 \times 10^{-3} - 8 \times 10^{-4}$

On met tout en $10^{-4}$ : $7{,}2 \times 10^{-3} = 72 \times 10^{-4}$ $72 \times 10^{-4} - 8 \times 10^{-4} = (72 - 8) \times 10^{-4} = 64 \times 10^{-4}$

Réajustement : $64 \times 10^{-4} = \mathbf{6{,}4 \times 10^{-3}}$.

Astuce

On choisit toujours le plus petit exposant comme référence pour éviter les nombres décimaux dans les mantisses.

Exercice 15—Sciences : masses et distancesNiveau 2

La masse de la Terre est $6 \times 10^{24}$ kg. La masse de la Lune est $7{,}3 \times 10^{22}$ kg.
a) Quelle est la masse totale Terre + Lune ?
b) Combien de fois la Terre est-elle plus massive que la Lune ?

Voir la correction›

Stratégie

pour additionner, on aligne les exposants. Pour comparer (combien de fois), on divise.

a) Masse totale

Mettons tout en $10^{22}$ : $6 \times 10^{24} = 600 \times 10^{22}$ $\text{Total} = 600 \times 10^{22} + 7{,}3 \times 10^{22} = 607{,}3 \times 10^{22}$

Réajustement en notation scientifique : $\mathbf{6{,}073 \times 10^{24} \text{ kg}}$.

b) Rapport Terre/Lune

$\dfrac{M_{\text{Terre}}}{M_{\text{Lune}}} = \dfrac{6 \times 10^{24}}{7{,}3 \times 10^{22}} = \dfrac{6}{7{,}3} \times 10^{24-22} = 0{,}822 \times 10^2 = 82{,}2$

➡️ La Terre est environ 82 fois plus massive que la Lune.

🔍 Vérification : $82 \times 7{,}3 \times 10^{22} = 598{,}6 \times 10^{22} \approx 6 \times 10^{24}$ ✓

Information astronomique

Ce rapport explique pourquoi la Lune tourne autour de la Terre et non l'inverse.

Exercice 16—Vitesse de la lumièreNiveau 2

La lumière parcourt $3 \times 10^8$ m/s. En quelle distance parcourt-elle :
a) 1 minute ?
b) 1 an ? (une année = $3{,}15 \times 10^7$ s)

Voir la correction›

Stratégie

distance = vitesse × temps. On veille à convertir le temps dans la bonne unité.

a) Distance en 1 minute

$1$ minute $= 60$ secondes. $d = 3 \times 10^8 \times 60 = 180 \times 10^8 = \mathbf{1{,}8 \times 10^{10} \text{ m}}$

➡️ Soit 18 milliards de mètres, ou 18 millions de km en 1 minute.

b) Distance en 1 an

Avec $1 \text{ an} = 3{,}15 \times 10^7$ s : $d = (3 \times 10^8) \times (3{,}15 \times 10^7) = (3 \times 3{,}15) \times 10^{8+7}$ $= 9{,}45 \times 10^{15} \text{ m}$

➡️ C'est la définition de l'année-lumière : $1 \text{ a.l.} \approx \mathbf{9{,}46 \times 10^{15} \text{ m}}$.

L'année-lumière

Est une unité de distance, pas de temps !

Exercice 17—Taille des atomesNiveau 2

Un atome d'hydrogène a un rayon de $5{,}3 \times 10^{-11}$ m.
a) Combien d'atomes peut-on aligner sur $1$ cm ?
b) Donne la réponse en notation scientifique.

Voir la correction›

Stratégie

nombre d'atomes = longueur totale / diamètre d'un atome. Attention aux unités !

Étape 1 — Convertir 1 cm en mètres

$1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$

Étape 2 — Diamètre d'un atome

Diamètre = $2 \times \text{rayon} = 2 \times 5{,}3 \times 10^{-11} = 10{,}6 \times 10^{-11} = 1{,}06 \times 10^{-10}$ m.

Étape 3 — Nombre d'atomes alignés

$N = \dfrac{10^{-2}}{1{,}06 \times 10^{-10}} = \dfrac{1}{1{,}06} \times 10^{-2-(-10)} \approx 0{,}943 \times 10^8$

Réajustement : $\approx \mathbf{9{,}4 \times 10^7}$ atomes.

Exercice 18—ComparaisonNiveau 2

La vitesse du son est $340$ m/s. La vitesse de la lumière est $3 \times 10^8$ m/s. Combien de fois la lumière va-t-elle plus vite que le son ?

Voir la correction›

Stratégie

on divise les deux vitesses. Pour faciliter, on met le son en notation scientifique.

Étape 1 — Notation scientifique pour le son

$v_{\text{son}} = 340 = 3{,}4 \times 10^2 \text{ m/s}$

Étape 2 — Calcul du rapport

$\dfrac{v_{\text{lumière}}}{v_{\text{son}}} = \dfrac{3 \times 10^8}{3{,}4 \times 10^2} = \dfrac{3}{3{,}4} \times 10^{8-2}$ $\approx 0{,}882 \times 10^6 \approx \mathbf{8{,}82 \times 10^5} \approx \mathbf{882\,000}$

➡️ La lumière va environ 882 000 fois plus vite que le son.

Application

C'est pourquoi on voit l'éclair avant d'entendre le tonnerre.

Exercice 19—Budget et notation scientifiqueNiveau 2

Le PIB de la France est environ $2{,}8 \times 10^{12}$ €. La France a $68$ millions d'habitants.
a) Écris le nombre d'habitants en notation scientifique.
b) Calcule le PIB par habitant.

Voir la correction›

Stratégie

on exprime tout en notation scientifique pour faire la division.

a) Habitants en notation scientifique

$68$ millions = $68 \times 10^6 = \mathbf{6{,}8 \times 10^7}$ habitants.

b) PIB par habitant

$\dfrac{\text{PIB}}{\text{habitants}} = \dfrac{2{,}8 \times 10^{12}}{6{,}8 \times 10^7} = \dfrac{2{,}8}{6{,}8} \times 10^{12-7}$ $\approx 0{,}412 \times 10^5 = 4{,}12 \times 10^4 \approx \mathbf{41\,200 \text{ €/habitant}}$

🔍 Vérification : $41\,200 \times 68 \times 10^6 = 41\,200 \times 6{,}8 \times 10^7 = 280\,160 \times 10^7 \approx 2{,}8 \times 10^{12}$ ✓

Réalité économique

C'est le PIB par habitant — pas le revenu moyen (qui est inférieur).

Exercice 20—Calculer en notation scientifiqueNiveau 2

Calcule et donne le résultat en notation scientifique :
a) $(3 \times 10^4) \times (2 \times 10^5)$ $\quad$
b) $\dfrac{8 \times 10^6}{4 \times 10^2}$

Voir la correction›

a) $(3 \times 2) \times 10^{4+5} = \mathbf{6 \times 10^9}$.

b) $\dfrac{8}{4} \times 10^{6-2} = \mathbf{2 \times 10^4}$.

Exercice 21—ComparerNiveau 2

Quel est le plus grand nombre : $3{,}2 \times 10^5$ ou $9 \times 10^4$ ?

Voir la correction›

$9 \times 10^4 = 90\,000$ et $3{,}2 \times 10^5 = 320\,000$ : c'est $\mathbf{3{,}2 \times 10^5}$.

Exercice 22—Les préfixesNiveau 2

Écris en mètres avec une puissance de $10$ :
a) $1$ km $\quad$
b) $1$ µm $\quad$
c) $5$ nm

Voir la correction›

a) $\mathbf{10^3}$ m ; b) $\mathbf{10^{-6}}$ m ; c) $\mathbf{5 \times 10^{-9}}$ m.

Exercice 23—La lumière du SoleilNiveau 2

Le Soleil est à environ $1{,}5 \times 10^8$ km de la Terre. La lumière parcourt $3 \times 10^5$ km par seconde. Combien de temps met-elle pour nous parvenir ? (en secondes, puis en minutes et secondes)

Voir la correction›

$t = \dfrac{1{,}5 \times 10^8}{3 \times 10^5} = 0{,}5 \times 10^3 = \mathbf{500}$ s, soit $8$ min $20$ s.

Exercice 24—Les photosNiveau 2

Une photo occupe $4$ Mo, soit $4 \times 10^6$ octets. Quelle place occupent $2\,000$ photos ? (en octets, puis en Go, avec $1$ Go $= 10^9$ octets)

Voir la correction›

$2\,000 \times 4 \times 10^6 = 8 \times 10^9$ octets, soit $\mathbf{8}$ Go.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Démonstration de $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$Niveau 3

En utilisant la propriété $a^m \times a^n = a^{m+n}$, démontre que $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Voir la correction›

Stratégie

on part de la propriété connue $a^m \times a^n = a^{m+n}$ et on cherche la valeur de $a^{-n}$ qui rend cette propriété cohérente.

Étape 1 — Application de la propriété

Pour tout $n$ entier positif, on doit avoir : $a^n \times a^{-n} = a^{n + (-n)} = a^0$

Étape 2 — Valeur de $a^0$

Par convention (et pour la cohérence des propriétés) : $a^0 = 1$ pour tout $a \neq 0$.

Donc : $a^n \times a^{-n} = 1$

Étape 3 — Déduction

Cette égalité signifie que $a^{-n}$ est l'inverse multiplicatif de $a^n$ : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \;\square$

Cohérence

Cette définition n'est pas arbitraire ; c'est la seule qui préserve les règles des puissances.

Exercice 26—Calcul complexeNiveau 3

Simplifie complètement : $E = \frac{(3 \times 10^4)^2 \times (2 \times 10^{-3})^3}{6 \times 10^5}$

Voir la correction›

Stratégie

on simplifie chaque morceau séparément, puis on combine.

Étape 1 — Numérateur : $(3 \times 10^4)^2$

$(3 \times 10^4)^2 = 3^2 \times (10^4)^2 = 9 \times 10^8$

Étape 2 — Numérateur : $(2 \times 10^{-3})^3$

$(2 \times 10^{-3})^3 = 2^3 \times (10^{-3})^3 = 8 \times 10^{-9}$

Étape 3 — Produit au numérateur

$(9 \times 10^8) \times (8 \times 10^{-9}) = 72 \times 10^{8-9} = 72 \times 10^{-1} = 7{,}2$

Étape 4 — Division par le dénominateur

$E = \dfrac{7{,}2}{6 \times 10^5} = \dfrac{7{,}2}{6} \times 10^{-5} = 1{,}2 \times 10^{-5}$

$\boxed{E = 1{,}2 \times 10^{-5}}$

🔍 Vérification : $1{,}2 \times 10^{-5} \times 6 \times 10^5 = 7{,}2 \times 10^0 = 7{,}2$ ✓

Exercice 27—Puissances et équationsNiveau 3

Résous :
a) $2^x = 64$
b) $10^x = 0{,}001$
c) $3 \times 10^x = 0{,}003$

Voir la correction›

Stratégie

on exprime les deux membres comme des puissances de la même base, puis on identifie les exposants.

a) $2^x = 64$

On décompose 64 en puissance de 2 : $64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6$. $2^x = 2^6 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{x = 6}$

b) $10^x = 0{,}001$

On décompose $0{,}001 = \dfrac{1}{1\,000} = 10^{-3}$. $10^x = 10^{-3} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{x = -3}$

c) $3 \times 10^x = 0{,}003$

D'abord on isole $10^x$ en divisant les deux membres par 3 : $10^x = \dfrac{0{,}003}{3} = 0{,}001 = 10^{-3}$ $\Rightarrow \mathbf{x = -3}$

Principe

Si $a^x = a^y$ (avec $a > 0$ et $a \neq 1$), alors $x = y$. C'est la base de la résolution des équations exponentielles.

Exercice 28—Étoiles et astronomieNiveau 3

L'étoile Proxima Centauri est à $4{,}24$ années-lumière. Une année-lumière vaut $9{,}46 \times 10^{15}$ m.
a) Quelle est la distance en mètres ?
b) En notation scientifique (3 chiffres significatifs).
c) Le voyager 1 avance à $17$ km/s = $1{,}7 \times 10^4$ m/s. En combien d'années atteindrait-il Proxima Centauri ?

Voir la correction›

Stratégie

on multiplie distance et années-lumière, puis on divise par la vitesse pour obtenir le temps, et enfin on convertit en années.

a) Distance en mètres

$d = 4{,}24 \times (9{,}46 \times 10^{15}) = (4{,}24 \times 9{,}46) \times 10^{15}$ $\approx 40{,}11 \times 10^{15} \text{ m}$

b) Notation scientifique (3 chiffres significatifs)

$d \approx 4{,}01 \times 10^{16} \text{ m}$

c) Temps pour Voyager 1

Temps = distance / vitesse : $t = \dfrac{4{,}01 \times 10^{16}}{1{,}7 \times 10^4} = \dfrac{4{,}01}{1{,}7} \times 10^{16-4}$ $\approx 2{,}36 \times 10^{12} \text{ s}$

Conversion en années (avec $1 \text{ an} = 3{,}15 \times 10^7$ s) : $t = \dfrac{2{,}36 \times 10^{12}}{3{,}15 \times 10^7} \approx 0{,}749 \times 10^5 \approx \mathbf{7{,}5 \times 10^4 \text{ ans} \approx 75\,000 \text{ ans}} \,!$

Perspective

75 000 ans pour rejoindre l'étoile la plus proche... C'est pourquoi le voyage interstellaire reste de la science-fiction avec les technologies actuelles.

Exercice 29—Géométrie et notation scientifiqueNiveau 3

La surface de la Terre est $5{,}1 \times 10^{14}$ m². L'océan Pacifique représente $30\%$ de la surface terrestre.
a) Quelle est la surface du Pacifique ?
b) Si la profondeur moyenne est $4\,300$ m, estime son volume.
c) Convertis en km³.

Voir la correction›

Stratégie

on calcule successivement la surface du Pacifique (proportion), le volume (multiplication par profondeur), puis on convertit.

a) Surface du Pacifique (30 % de la Terre)

$\mathcal{S}_{\text{Pacifique}} = 0{,}30 \times 5{,}1 \times 10^{14} = 1{,}53 \times 10^{14} \text{ m}^2$

b) Volume du Pacifique

Profondeur moyenne = $4\,300$ m = $4{,}3 \times 10^3$ m. $V = \mathcal{S} \times \text{profondeur} = (1{,}53 \times 10^{14}) \times (4{,}3 \times 10^3)$ $= (1{,}53 \times 4{,}3) \times 10^{14+3} \approx 6{,}58 \times 10^{17} \text{ m}^3$

c) Conversion en km³

$1 \text{ km} = 10^3$ m, donc $1 \text{ km}^3 = (10^3)^3 = 10^9$ m³. $V = \dfrac{6{,}58 \times 10^{17}}{10^9} = \mathbf{6{,}58 \times 10^8 \text{ km}^3}$

➡️ Le Pacifique contient environ 658 millions de km³ d'eau !

Réalité

Le volume réel du Pacifique est de l'ordre de $7 \times 10^8$ km³ — notre estimation est très bonne.

Exercice 30—Synthèse : informatiqueNiveau 3

Un disque dur de $1$ To (téraoctet $= 10^{12}$ octets) contient des fichiers musicaux de $5$ Mo (mégaoctets = $10^6$ octets) chacun.
a) Combien de fichiers peut-il contenir ?
b) Si chaque fichier dure $4$ min, combien d'heures de musique peut-on stocker ?
c) Exprime la capacité en octets et en bits (1 octet = 8 bits).

Voir la correction›

Stratégie

on travaille en puissances de 10. Capacité totale / taille fichier = nombre de fichiers, puis on convertit temps.

a) Nombre de fichiers

$N = \dfrac{1 \text{ To}}{5 \text{ Mo}} = \dfrac{10^{12}}{5 \times 10^6} = \dfrac{1}{5} \times 10^{12-6} = 0{,}2 \times 10^6 = 2 \times 10^5$

➡️ Soit 200 000 fichiers (et non 1 million comme l'erreur courante).

🔍 Vérification : $200\,000 \times 5 \text{ Mo} = 1\,000\,000 \text{ Mo} = 10^6 \text{ Mo} = 1 \text{ To}$ ✓

b) Heures de musique

Durée totale en minutes : $2 \times 10^5 \times 4 = 8 \times 10^5$ minutes.

Conversion en heures : $\div 60$. $t = \dfrac{8 \times 10^5}{60} = \dfrac{8}{60} \times 10^5 \approx 0{,}133 \times 10^5 = 1{,}33 \times 10^4 \text{ h}$

➡️ Soit environ 13 300 heures de musique, ou environ 1,5 année d'écoute non-stop !

c) Capacité en octets et en bits

Capacité en octets : $1 \text{ To} = \mathbf{10^{12} \text{ octets}}$
Capacité en bits : $10^{12} \times 8 = \mathbf{8 \times 10^{12} \text{ bits}}$ (8 000 milliards de bits)

Cohérence informatique

Un bit = 0 ou 1 ; un octet = 8 bits ; un kilo-octet = 1024 octets en informatique strict (ko binaire), mais $10^3$ en notation décimale standard.

Notation scientifique	Décimal
\(2{,}5 \times 10^3\)	\(2\,500\)
\(4 \times 10^{-1}\)	\(0{,}4\)
\(8 \times 10^2\)	\(800\)
\(1{,}2 \times 10^4\)	\(12\,000\)