La moyenne d'une série est \(\dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}\).
Quand les valeurs n'ont pas toutes la même importance (coefficients) ou se répètent (effectifs), on calcule une moyenne pondérée.
\[\text{moyenne pondérée} = \frac{\text{somme des (valeur} \times \text{coefficient)}}{\text{somme des coefficients}}\] Avec un tableau d'effectifs, les coefficients sont les effectifs.
Maths \(14\) (coefficient \(4\)), français \(11\) (coefficient \(3\)), histoire \(13\) (coefficient \(2\)), sport \(17\) (coefficient \(1\)). \[\text{moyenne} = \frac{14 \times 4 + 11 \times 3 + 13 \times 2 + 17 \times 1}{4 + 3 + 2 + 1} = \frac{132}{10} = 13{,}2\]
La médiane d'une série est une valeur qui partage la série rangée dans l'ordre croissant en deux groupes de même effectif : la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, la moitié sont supérieures ou égales.
\(4, 8, 2, 6, 10, 12\). Rangée : \(2, 4, 6, 8, 10, 12\) (\(6\) valeurs). Médiane : \(\dfrac{6 + 8}{2} = 7\).
, on calcule les effectifs cumulés pour trouver la valeur au rang du milieu.
L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Elle mesure la dispersion des valeurs.
Notes \(8, 12, 15, 6, 11\) : étendue \(= 15 - 6 = 9\).
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; la médiane ne l'est pas. Pour des salaires (quelques très hauts salaires), la médiane décrit mieux la situation « typique ».
Deux séries peuvent avoir la même moyenne et la même médiane, mais des étendues très différentes. Il faut regarder plusieurs indicateurs.
Contenu facultatif, non exigible.
Au lycée, tu utiliseras les quartiles et les diagrammes en boîte pour décrire plus finement la dispersion d'une série.
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Indicateur | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Moyenne | somme des valeurs \(\div\) nombre de valeurs |
| Moyenne pondérée | \(\dfrac{\sum \text{valeur} \times \text{coefficient}}{\sum \text{coefficients}}\) |
| Médiane | Ranger, puis prendre la valeur du milieu (ou la moyenne des deux du milieu) |
| Étendue | plus grande valeur \(-\) plus petite valeur |
| Moyenne / médiane | La moyenne est influencée par les valeurs extrêmes, pas la médiane |
Trouve la médiane de chaque série :
a) \(7, 3, 9, 5, 11\)
b) \(4, 8, 2, 6, 10, 12\)
c) \(15, 20, 10, 25, 30, 5\)
ranger, puis prendre la valeur du milieu (ou la moyenne des deux valeurs du milieu).
a) \(3, 5, 7, 9, 11\) (\(5\) valeurs) : la 3e valeur, médiane \(= 7\).
b) \(2, 4, 6, 8, 10, 12\) (\(6\) valeurs) : \(\dfrac{6 + 8}{2} = \mathbf{7}\).
c) \(5, 10, 15, 20, 25, 30\) : \(\dfrac{15 + 20}{2} = \mathbf{17{,}5}\).
Les notes d'un élève, avec leurs coefficients, sont : maths \(14\) (coefficient \(4\)), français \(11\) (coefficient \(3\)), histoire \(13\) (coefficient \(2\)), sport \(17\) (coefficient \(1\)). Calcule sa moyenne.
\[\frac{14 \times 4 + 11 \times 3 + 13 \times 2 + 17 \times 1}{4 + 3 + 2 + 1} = \frac{56 + 33 + 26 + 17}{10} = \frac{132}{10} = \mathbf{13{,}2}\]
Calcule l'étendue de chaque série :
a) \(5, 8, 2, 12, 7, 3, 10\)
b) \(-3, 0, 4, -7, 2\)
a) \(12 - 2 = \mathbf{10}\).
b) \(4 - (-7) = 4 + 7 = \mathbf{11}\).
Dans une enquête, \(35\,\%\) des personnes interrogées ont répondu « oui », soit \(140\) personnes. Combien de personnes ont été interrogées ?
\(35\,\%\) du total \(N\) valent \(140\) : \(\dfrac{35}{100} \times N = 140\). \(1\,\%\) du total : \(140 \div 35 = 4\) personnes ; \(100\,\%\) : \(4 \times 100 = \mathbf{400}\) personnes.
Vérification : \(35\,\%\) de \(400 = 140\) ✓.
Les temps d'un coureur sur \(100\) m sont : \(12{,}5\) s ; \(13{,}1\) s ; \(12{,}8\) s ; \(13{,}6\) s. Calcule son temps moyen.
\[\frac{12{,}5 + 13{,}1 + 12{,}8 + 13{,}6}{4} = \frac{52}{4} = \mathbf{13 \text{ s}}\]
Pour la série \(4, 7, 7, 9, 13\), calcule la moyenne, la médiane et l'étendue.
Calcule la moyenne des notes : \(12\) ; \(15\) ; \(9\) ; \(14\) ; \(10\).
\(\dfrac{12 + 15 + 9 + 14 + 10}{5} = \dfrac{60}{5} = \mathbf{12}\).
Donne la médiane de chaque série :
a) \(3\) ; \(7\) ; \(8\) ; \(12\) ; \(15\) \(\quad\)
b) \(4\) ; \(6\) ; \(9\) ; \(11\)
🎯 On range d'abord la série dans l'ordre croissant.
a) \(5\) valeurs : la \(3^\text{e}\), soit \(\mathbf{8}\).
b) \(4\) valeurs : entre la \(2^\text{e}\) et la \(3^\text{e}\), soit \(\dfrac{6 + 9}{2} = \mathbf{7{,}5}\).
Calcule l'étendue de la série \(12\) ; \(15\) ; \(9\) ; \(14\) ; \(10\).
\(15 - 9 = \mathbf{6}\).
Inès a eu \(10\) (coefficient \(2\)), \(14\) (coefficient \(3\)) et \(16\) (coefficient \(1\)). Calcule sa moyenne.
\(\dfrac{10 \times 2 + 14 \times 3 + 16 \times 1}{2 + 3 + 1} = \dfrac{78}{6} = \mathbf{13}\).
Dans une classe de \(20\) élèves, \(7\) ont un seul enfant dans leur famille. Quelle est la fréquence correspondante, en pourcentage ?
\(\dfrac{7}{20} = 0{,}35\), soit \(\mathbf{35\,\%}\).
Voici les notes d'une classe de \(25\) élèves :
| Note | 5 | 8 | 10 | 12 | 15 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 5 | 7 | 6 | 3 | 2 |
a) Calcule la fréquence de chaque note, en pourcentage.
b) Calcule la moyenne.
c) Trouve la médiane.
d) Calcule l'étendue.
a) On divise chaque effectif par \(25\) :
| Note | 5 | 8 | 10 | 12 | 15 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Fréquence | 8 % | 20 % | 28 % | 24 % | 12 % | 8 % |
b) Moyenne pondérée par les effectifs : \[\frac{5 \times 2 + 8 \times 5 + 10 \times 7 + 12 \times 6 + 15 \times 3 + 18 \times 2}{25} = \frac{10 + 40 + 70 + 72 + 45 + 36}{25} = \frac{273}{25} = \mathbf{10{,}92}\]
c) \(25\) valeurs : la médiane est la 13e. Effectifs cumulés : \(2, 7, 14, 20, 23, 25\). La 13e note est entre la 8e et la 14e, c'est un \(10\) : médiane \(= 10\).
d) \(18 - 5 = \mathbf{13}\).
La classe A (\(30\) élèves) a une moyenne de \(11{,}5\) ; la classe B (\(25\) élèves) a une moyenne de \(12{,}4\). Quelle est la moyenne des deux classes réunies ?
on calcule la somme des notes de chaque classe.
\[\text{moyenne} = \frac{655}{55} \approx \mathbf{11{,}9}\]
Ce n'est pas la moyenne des deux moyennes (\(11{,}95\)), car les classes n'ont pas le même effectif.
Voici \(10\) salaires annuels (en milliers d'euros) : \(20, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 30, 35, 150\).
a) Calcule la moyenne et la médiane.
b) Laquelle décrit le mieux le salaire « typique » ? Justifie.
a) Somme : \(383\). Moyenne : \(\dfrac{383}{10} = \mathbf{38{,}3}\) k€. Médiane (\(10\) valeurs rangées) : \(\dfrac{25 + 26}{2} = \mathbf{25{,}5}\) k€.
b) La médiane : la moyenne est « tirée vers le haut » par un seul salaire très élevé (\(150\) k€). \(9\) salariés sur \(10\) gagnent moins que la moyenne.
Les durées (en minutes) du trajet domicile-collège de \(30\) élèves sont :
\(5, 10, 15, 10, 20, 25, 10, 15, 30, 5, 20, 15, 10, 35, 20, 15, 10, 25, 5, 20, 15, 30, 10, 20, 15, 5, 25, 10, 20, 15\)
a) Construis le tableau des effectifs.
b) Calcule la moyenne (au dixième).
c) Trouve la médiane.
d) Calcule l'étendue.
e) Commente les résultats.
a)
| Durée (min) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 7 | 7 | 6 | 3 | 2 | 1 | 30 |
b) \(\dfrac{5 \times 4 + 10 \times 7 + 15 \times 7 + 20 \times 6 + 25 \times 3 + 30 \times 2 + 35 \times 1}{30} = \dfrac{485}{30} \approx \mathbf{16{,}2 \text{ min}}\)
c) \(30\) valeurs : la médiane est la moyenne des 15e et 16e. Effectifs cumulés : \(4, 11, 18, 24, \ldots\) : les 15e et 16e valeurs valent \(15\). Médiane \(= 15\) min.
d) \(35 - 5 = \mathbf{30}\) min.
e) La moitié des élèves met \(15\) minutes ou moins. La moyenne est un peu plus grande que la médiane à cause de quelques longs trajets (\(30\) et \(35\) min). L'étendue (\(30\) min) montre que les situations sont très variées.
Deux groupes de \(10\) élèves ont passé le même test. Groupe A : moyenne \(14\), étendue \(8\). Groupe B : moyenne \(14\), étendue \(4\).
a) Quel groupe a des résultats plus homogènes ?
b) Peut-on affirmer que tous les élèves du groupe B ont eu \(14\) ?
a) Le groupe B : son étendue est plus petite, ses notes sont plus regroupées.
b) Non : une étendue de \(4\) signifie qu'il y a \(4\) points d'écart entre la meilleure et la moins bonne note (par exemple de \(12\) à \(16\)). Les notes ne sont donc pas toutes égales à \(14\).
Voici les pointures des \(25\) élèves d'une classe :
| Pointure | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 5 | 8 | 6 | 3 |
a) Calcule les effectifs cumulés, puis la médiane.
b) Calcule la moyenne.
c) Calcule l'étendue.
a) Effectifs cumulés : \(3, 8, 16, 22, 25\). La médiane est la 13e valeur (\(25\) valeurs). Elle se trouve entre la 9e et la 16e : médiane \(= 38\).
b) \(\dfrac{36 \times 3 + 37 \times 5 + 38 \times 8 + 39 \times 6 + 40 \times 3}{25} = \dfrac{951}{25} = \mathbf{38{,}04}\).
c) \(40 - 36 = \mathbf{4}\).
Une moyenne est calculée avec un devoir maison (coefficient \(1\)) et un contrôle (coefficient \(3\)). Léa a eu \(15\) au devoir maison et sa moyenne est \(12\). Quelle note a-t-elle eue au contrôle ?
On note \(x\) la note du contrôle : \[\frac{15 \times 1 + x \times 3}{1 + 3} = 12 \qquad \text{donc} \qquad 15 + 3x = 48 \qquad 3x = 33 \qquad x = \mathbf{11}\]
Vérification : \(\dfrac{15 + 33}{4} = 12\) ✓.
Tom a eu \(12\), \(8\), \(15\), \(9\) et \(16\).
a) Calcule sa moyenne.
b) Quelle note doit-il avoir au 6e contrôle pour avoir \(13\) de moyenne ?
a) \(\dfrac{12 + 8 + 15 + 9 + 16}{5} = \dfrac{60}{5} = \mathbf{12}\).
b) Pour \(13\) de moyenne sur \(6\) notes, il faut un total de \(6 \times 13 = 78\). Note nécessaire : \(78 - 60 = \mathbf{18}\).
On a demandé à \(20\) élèves combien ils ont de frères et sœurs :
| Nombre | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | \(3\) | \(7\) | \(6\) | \(4\) |
a) Calcule la moyenne.
b) Détermine la médiane.
a) \(\dfrac{0 \times 3 + 1 \times 7 + 2 \times 6 + 3 \times 4}{20} = \dfrac{31}{20} = \mathbf{1{,}55}\).
b) Effectifs cumulés : \(3\) ; \(10\) ; \(16\) ; \(20\). La \(10^\text{e}\) valeur est \(1\) et la \(11^\text{e}\) est \(2\) : médiane \(\mathbf{1{,}5}\).
Sur quatre contrôles, Hugo a eu \(12\), \(15\) et \(11\). Quelle note doit-il avoir au quatrième pour obtenir \(13\) de moyenne ?
Total nécessaire : \(4 \times 13 = 52\). Déjà obtenu : \(38\). Il lui faut \(\mathbf{14}\).
Températures (°C) relevées à midi pendant une semaine : \(-2\) ; \(3\) ; \(5\) ; \(-1\) ; \(4\) ; \(6\) ; \(6\). Calcule la moyenne, la médiane et l'étendue.
Série rangée : \(-2\) ; \(-1\) ; \(3\) ; \(4\) ; \(5\) ; \(6\) ; \(6\). Moyenne : \(\dfrac{21}{7} = \mathbf{3}\) °C ; médiane (\(4^\text{e}\) valeur) : \(\mathbf{4}\) °C ; étendue : \(6 - (-2) = \mathbf{8}\) °C.
La classe A (\(20\) élèves) a \(11\) de moyenne ; la classe B (\(30\) élèves) a \(13\) de moyenne. Calcule la moyenne des \(50\) élèves. Pourquoi n'est-ce pas \(12\) ?
\(\dfrac{20 \times 11 + 30 \times 13}{50} = \dfrac{610}{50} = \mathbf{12{,}2}\). Les classes n'ont pas le même effectif : la classe B « pèse » plus lourd.
Dans une petite entreprise, les salaires mensuels (en €) sont : \(1\,500\) ; \(1\,600\) ; \(1\,700\) ; \(1\,800\) ; \(8\,000\).
a) Calcule la moyenne et la médiane.
b) Laquelle représente le mieux le salaire « habituel » ?
a) Moyenne : \(\dfrac{14\,600}{5} = \mathbf{2\,920}\) € ; médiane : \(\mathbf{1\,700}\) €.
b) La médiane : la moyenne est tirée vers le haut par une seule valeur très élevée.
Un journaliste écrit : « La taille moyenne des joueurs de l'équipe est \(185\) cm, donc la moitié des joueurs mesurent plus de \(185\) cm. »
a) Cette affirmation est-elle forcément vraie ? Donne un contre-exemple.
b) Quel indicateur aurait-il dû utiliser ?
a) Non. Contre-exemple : \(180, 180, 180, 185, 200\). La moyenne vaut \(\dfrac{925}{5} = 185\) cm, mais un seul joueur sur cinq mesure plus de \(185\) cm.
b) La médiane : par définition, la moitié des valeurs lui sont supérieures ou égales.
Points marqués par deux basketteurs en \(5\) matchs :
a) Calcule la moyenne et la médiane de chaque joueur.
b) Calcule l'étendue de chaque joueur.
c) Quel joueur est le plus régulier ?
a)
b) A : \(14 - 10 = \mathbf{4}\) ; B : \(20 - 2 = \mathbf{18}\).
c) Même moyenne, même médiane, mais le joueur A est beaucoup plus régulier (étendue bien plus petite).
Les tailles (en cm) de \(30\) élèves sont regroupées en classes :
| Taille | \([140 ; 150[\) | \([150 ; 160[\) | \([160 ; 170[\) | \([170 ; 180[\) |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 10 | 12 | 4 |
a) Pour estimer la moyenne, on remplace chaque classe par son centre (par exemple \(145\) pour la première). Estime la taille moyenne.
b) Dans quelle classe se trouve la médiane ?
a) Centres : \(145\), \(155\), \(165\), \(175\). \[\frac{145 \times 4 + 155 \times 10 + 165 \times 12 + 175 \times 4}{30} = \frac{580 + 1\,550 + 1\,980 + 700}{30} = \frac{4\,810}{30} \approx \mathbf{160{,}3 \text{ cm}}\] (C'est une estimation : on ne connaît pas les tailles exactes.)
b) La médiane est la moyenne des 15e et 16e valeurs. Effectifs cumulés : \(4, 14, 26, 30\). Les 15e et 16e élèves sont dans la classe \(\mathbf{[160 ; 170[}\).
On ajoute \(2\) points à chaque note d'une série de notes.
a) Comment changent la moyenne, la médiane et l'étendue ? Vérifie avec la série \(8, 10, 13, 15\).
b) Et si on double chaque note ?
a) Toutes les valeurs augmentent de \(2\) : la moyenne et la médiane augmentent de \(2\) ; l'étendue ne change pas (l'écart entre la plus grande et la plus petite reste le même). Avec \(8, 10, 13, 15\) : moyenne \(11{,}5\), médiane \(11{,}5\), étendue \(7\). Après : \(10, 12, 15, 17\) : moyenne \(13{,}5\), médiane \(13{,}5\), étendue \(7\) ✓.
b) En doublant chaque note, la moyenne, la médiane et l'étendue sont doublées : \(16, 20, 26, 30\) donnent moyenne \(23\), médiane \(23\), étendue \(14\).
Trouve une série de \(5\) nombres entiers qui a pour moyenne \(10\), pour médiane \(8\) et pour étendue \(12\).
on place d'abord la médiane au milieu, puis on ajuste.
Une solution : \(\mathbf{4 ; 6 ; 8 ; 16 ; 16}\) (somme \(50\), médiane \(8\), étendue \(16 - 4 = 12\)). D'autres solutions existent, par exemple \(5 ; 5 ; 8 ; 15 ; 17\).
Températures maximales (en °C) relevées pendant une semaine :
a) Calcule la moyenne, la médiane et l'étendue pour chaque ville.
b) Compare les deux villes : qu'est-ce qui les rapproche ? Qu'est-ce qui les distingue ?
a)
b) Les deux villes ont la même moyenne et la même médiane, mais l'étendue de la ville B est deux fois plus grande : ses températures varient beaucoup plus d'un jour à l'autre.
