4e · Chapitre 8 · Géométrie

Le théorème de Pythagore

30 exercices corrigés

1 Le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus long des trois côtés.

Dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit sur l'hypoténuse (25) est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés (16 + 9).

À retenir — le théorème de Pythagore

Si un triangle $ABC$ est rectangle en $C$, alors $\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]$ Autrement dit : (hypoténuse)$^2$ $=$ somme des carrés des deux autres côtés.

Méthode — rédiger

« Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, donc d'après le théorème de Pythagore : $AB^2 = AC^2 + BC^2$. » Puis on remplace par les longueurs connues et on calcule.

2 La racine carrée

Pour trouver une longueur dont on connaît le carré, on utilise la racine carrée.

Définition

La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. On la note $\sqrt{a}$. $\sqrt{25} = 5$ car $5^2 = 25$ ; $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ (touche $\sqrt{\ }$ de la calculatrice).

3 Calculer une longueur

Calculer l'hypoténuse

$ABC$ est rectangle en $C$, avec $AC = 4$ cm et $BC = 3$ cm. $AB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \qquad \text{donc} \qquad AB = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$

Calculer un autre côté

$ABC$ est rectangle en $C$, avec $AB = 13$ cm et $BC = 5$ cm. $AB^2 = AC^2 + BC^2 \quad \text{donne} \quad 169 = AC^2 + 25 \quad \text{donc} \quad AC^2 = 169 - 25 = 144$ $AC = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$

Attention

Quand on cherche un côté de l'angle droit, on soustrait (on enlève au carré de l'hypoténuse). Et l'on ne peut pas « couper » une racine : $\sqrt{9 + 16} = 5$, mais $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.

Valeur exacte ou approchée ?

Si le résultat n'est pas un nombre entier, on donne la valeur exacte ($\sqrt{74}$ cm) puis une valeur approchée ($\sqrt{74} \approx 8{,}6$ cm au dixième près).

4 Prouver qu'un triangle est rectangle (ou non)

À retenir — la réciproque

Dans un triangle $ABC$, si $AB^2 = AC^2 + BC^2$, alors le triangle est rectangle en $C$. La contraposée : si $AB^2 \neq AC^2 + BC^2$ (avec $[AB]$ le plus grand côté), alors le triangle n'est pas rectangle.

Méthode

Repérer le plus grand côté et calculer son carré.
Calculer séparément la somme des carrés des deux autres côtés.
Comparer, puis conclure avec la réciproque ou la contraposée.

Exemple

Triangle de côtés $8$ cm, $15$ cm et $17$ cm. $17^2 = 289$ et $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$. Les deux résultats sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle (l'angle droit est en face du côté de $17$ cm).

Triplets à connaître

$(3 ; 4 ; 5)$, $(6 ; 8 ; 10)$, $(5 ; 12 ; 13)$, $(8 ; 15 ; 17)$.

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L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Situation	Ce qu'on écrit
On sait que le triangle est rectangle en $C$	$AB^2 = AC^2 + BC^2$ (théorème de Pythagore)
On cherche l'hypoténuse	$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$
On cherche un côté de l'angle droit	$AC^2 = AB^2 - BC^2$
On veut prouver qu'il est rectangle	Plus grand côté au carré $=$ somme des deux autres carrés → réciproque
On veut prouver qu'il ne l'est pas	Les deux résultats sont différents → contraposée

Pièges à éviter

L'hypoténuse est en face de l'angle droit : c'est le plus long côté.
$\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$.
Pour la réciproque, calculer les deux membres séparément avant de comparer.
Donner la valeur exacte avant la valeur approchée.

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Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Application directeNiveau 1

Calcule la longueur manquante dans chaque triangle rectangle :
a) Cathètes $6$ et $8$ → hypoténuse ?
b) Cathètes $5$ et $12$ → hypoténuse ?
c) Hypoténuse $17$, côté de l'angle droit $8$ → autre côté de l'angle droit ?
d) Hypoténuse $\sqrt{50}$, côté de l'angle droit $5$ → autre côté de l'angle droit ?

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Théorème de Pythagore

dans un triangle rectangle, $\text{hypoténuse}^2 = \text{côté}_1^2 + \text{côté}_2^2$.

Stratégie

on identifie d'abord ce qu'on cherche (hypoténuse ou côté de l'angle droit), puis on applique la bonne formule :

Hypoténuse inconnue → $h = \sqrt{c_1^2 + c_2^2}$
Cathète inconnue → $c = \sqrt{h^2 - c_{\text{autre}}^2}$

a) Cathètes 6 et 8 → hypoténuse

On cherche l'hypoténuse $h$ : $\[h^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\]$ $h = \sqrt{100} = \mathbf{10 \text{ cm}}$

🔍 Vérification : $10$ est bien $>$ que $6$ et $8$ (l'hypoténuse doit être le plus grand côté). ✓

b) Cathètes 5 et 12 → hypoténuse

$\[h^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\]$ $h = \sqrt{169} = \mathbf{13 \text{ cm}}$

🔍 Vérification : $13 > 5$ et $13 > 12$. ✓ (triplet pythagoricien)

c) Hypoténuse 17, côté de l'angle droit 8 → autre côté de l'angle droit

L'hypoténuse est connue, on cherche l'autre côté de l'angle droit $c$. La relation devient : $8^2 + c^2 = 17^2 \quad\Rightarrow\quad c^2 = 17^2 - 8^2$ $c = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = \mathbf{15 \text{ cm}}$

🔍 Vérification : $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ ✓

d) Hypoténuse $\sqrt{50}$, côté de l'angle droit 5 → autre côté de l'angle droit

$c^2 = (\sqrt{50})^2 - 5^2 = 50 - 25 = 25$ $c = \sqrt{25} = \mathbf{5 \text{ cm}}$

À retenir

Les triplets pythagoriciens (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) reviennent très souvent dans les exercices — les mémoriser fait gagner du temps.

⚠️ Piège : pour un côté de l'angle droit inconnue on soustrait ($h^2 - c^2$), pas l'inverse. Erreur fréquente : faire $h^2 + c^2$ alors que $h$ est déjà l'hypoténuse.

Exercice 2—Triplets pythagoriciensNiveau 1

Vérifie si les triangles suivants sont rectangles :
a) $7$, $24$, $25$ cm
b) $8$, $10$, $12$ cm
c) $9$, $40$, $41$ cm

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Méthode (réciproque de Pythagore)

pour vérifier si un triangle est rectangle à partir de ses 3 côtés, on calcule séparément :

Le carré du plus grand côté (candidat hypoténuse)
La somme des carrés des deux autres
On compare : si égalité, le triangle est rectangle ; sinon non.

a) Côtés 7, 24, 25

Plus grand côté : 25 (candidat hypoténuse).

Membre	Calcul	Résultat
$(\text{plus grand})^2$	$25^2$	$625$
Somme des deux autres carrés	$7^2 + 24^2 = 49 + 576$	$625$

Comparaison : $625 = 625$ ✓

→ Par la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle (hypoténuse = 25, angle droit opposé à ce côté).

b) Côtés 8, 10, 12

Plus grand côté : 12.

Membre	Calcul	Résultat
$12^2$	$12 \times 12$	$144$
$8^2 + 10^2$	$64 + 100$	$164$

Comparaison : $144 \neq 164$.

→ Par la contraposée de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.

c) Côtés 9, 40, 41

Plus grand côté : 41.

Membre	Calcul	Résultat
$41^2$	$41 \times 41$	$1\,681$
$9^2 + 40^2$	$81 + 1\,600$	$1\,681$

Comparaison : $1\,681 = 1\,681$ ✓

→ Le triangle est rectangle (triplet $(9, 40, 41)$).

Astuce

Toujours commencer par identifier le plus grand côté ; c'est lui qui doit jouer le rôle d'hypoténuse dans le test.

⚠️ Piège : ne pas confondre la réciproque (« si $a^2+b^2 = c^2$ alors rectangle ») avec le théorème direct (« si rectangle alors $a^2 + b^2 = c^2$ »). Quand on connaît seulement les longueurs, c'est toujours la réciproque qui s'applique.

Exercice 3—Valeurs exactes et approchéesNiveau 1

Calcule (valeur exacte puis arrondie au mm) :
a) L'hypoténuse d'un triangle rectangle avec côtés de l'angle droit $3$ et $4$ cm.
b) L'hypoténuse avec côtés de l'angle droit $5$ et $7$ cm.
c) Un côté de l'angle droit si hypoténuse $= 10$ et l'autre côté de l'angle droit $= 6$ cm.

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Règle

on donne la valeur exacte sous forme de racine quand elle est irrationnelle, et la valeur approchée au rang demandé pour avoir une mesure utilisable.

a) Cathètes 3 et 4 cm

$\[h^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\]$ $h = \sqrt{25} = \mathbf{5 \text{ cm}}$ (valeur exacte — résultat entier, pas d'arrondi nécessaire).

b) Cathètes 5 et 7 cm

$\[h^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74\]$ $h = \sqrt{74} \text{ cm} \quad\text{(valeur exacte)}$

Valeur approchée au mm (= au dixième de cm) : la calculatrice donne $\sqrt{74} = 8{,}602\ldots$

$h \approx \mathbf{8{,}6 \text{ cm}}$ (au mm).

c) Hypoténuse 10, côté de l'angle droit 6 → autre côté de l'angle droit

$\[c^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\]$ $c = \sqrt{64} = \mathbf{8 \text{ cm}}$ (valeur exacte — encore un triplet (6, 8, 10) !).

🔍 Vérification : $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ ✓

Astuce

(6, 8, 10) = (3, 4, 5) × 2. Tous les multiples d'un triplet pythagoricien sont aussi des triplets pythagoriciens.

Exercice 4—Diagonale d'un rectangleNiveau 1

Un rectangle mesure $9$ cm sur $12$ cm. Calcule la longueur de sa diagonale.

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Stratégie

un rectangle est constitué de deux triangles rectangles séparés par sa diagonale. Cette diagonale est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par deux côtés adjacents (longueur et largeur).

Étape 1 — Identifier le triangle rectangle

Soit $ABCD$ le rectangle avec $AB = 12$ cm et $BC = 9$ cm. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ (angle d'un rectangle), et $AC$ est la diagonale.

Étape 2 — Appliquer Pythagore dans $ABC$

$\[AC^2 = AB^2 + BC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225\]$

Étape 3 — Conclusion

$AC = \sqrt{225} = \mathbf{15 \text{ cm}}$

🔍 Vérification : $(9, 12, 15) = (3, 4, 5) \times 3$ — c'est bien un triplet pythagoricien. ✓

Astuce

La diagonale d'un rectangle de côtés $a$ et $b$ vaut toujours $\sqrt{a^2 + b^2}$. Les deux diagonales d'un rectangle ont la même longueur.

Exercice 5—Carré et diagonaleNiveau 1

Un carré a un côté de $5$ cm. Calcule sa diagonale (valeur exacte et approchée).

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Stratégie

la diagonale d'un carré coupe le carré en deux triangles rectangles isocèles (les deux côtés de l'angle droit ont la même longueur = côté du carré).

Étape 1 — Appliquer Pythagore

Soit $d$ la diagonale du carré de côté $a = 5$ cm : $\[d^2 = a^2 + a^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\]$

Étape 2 — Valeur exacte (simplifier la racine)

$d = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = \mathbf{5\sqrt{2} \text{ cm}}$

Étape 3 — Valeur approchée

Avec $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ : $d \approx 5 \times 1{,}414 = \mathbf{7{,}07 \text{ cm}}$ (au centième)

soit environ $\mathbf{7{,}1 \text{ cm}}$ au dixième.

Règle générale à mémoriser

La diagonale d'un carré de côté $a$ vaut toujours $d = a\sqrt{2}$.

⚠️ Piège : ne pas écrire $\sqrt{50} = 25\sqrt{2}$ ! On a $\sqrt{50} = \sqrt{25}\times\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ (on extrait la racine du facteur carré parfait).

Exercice 6—Identifier l'hypoténuseNiveau 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ :
a) Quelle est l'hypoténuse ?
b) Si $AB = 9$ cm et $AC = 15$ cm, calcule $BC$.
c) Vérifie que $AC$ est bien l'hypoténuse.

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Règle

l'hypoténuse d'un triangle rectangle est toujours le côté opposé à l'angle droit (et c'est aussi le plus long).

a) Identifier l'hypoténuse

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ → l'angle droit est au sommet $B$. Le côté opposé à $B$ est celui qui ne contient pas $B$ : c'est $[AC]$.

➡️ Hypoténuse = $\mathbf{[AC]}$.

b) Écrire Pythagore avec la bonne formule

Le théorème s'écrit : (hypoténuse)² = (côté de l'angle droit 1)² + (côté de l'angle droit 2)².

Ici les côtés de l'angle droit sont $[AB]$ et $[BC]$, donc : $\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]$

On isole l'inconnue $BC$ : $\[BC^2 = AC^2 - AB^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144\]$ $BC = \sqrt{144} = \mathbf{12 \text{ cm}}$

c) Vérification que [AC] est bien l'hypoténuse

Côtés du triangle : $AB = 9$, $BC = 12$, $AC = 15$.

Le plus grand est bien $AC = 15$ → cohérent avec l'angle droit en $B$. ✓

🔍 Vérification finale (Pythagore) : $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ ✓

Le triplet (9, 12, 15)

Est encore un multiple de (3, 4, 5) — ici × 3.

Exercice 7—Calculer l'hypoténuseNiveau 1

Un triangle est rectangle ; les côtés de l'angle droit mesurent $6$ cm et $8$ cm. Calcule l'hypoténuse.

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$h^2 = 6^2 + 8^2 = 100$, donc $h = \mathbf{10}$ cm.

Exercice 8—Calculer un côté de l'angle droitNiveau 1

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure $13$ cm et un côté $12$ cm. Calcule le troisième côté.

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$c^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$, donc $c = \mathbf{5}$ cm.

Exercice 9—Valeur approchéeNiveau 1

Les côtés de l'angle droit mesurent $4$ cm et $7$ cm. Calcule l'hypoténuse (valeur exacte, puis au mm près).

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$h^2 = 16 + 49 = 65$, $h = \sqrt{65} \approx \mathbf{8{,}1}$ cm.

Exercice 10—Rectangle ?Niveau 1

Le triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 9$ cm, $BC = 12$ cm et $AC = 15$ cm. Est-il rectangle ?

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Plus grand côté : $AC^2 = 225$ ; $AB^2 + BC^2 = 81 + 144 = 225$. Égalité : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle en $B$.

Exercice 11—Pas rectangleNiveau 1

Le triangle $DEF$ a pour côtés $5$ cm, $7$ cm et $9$ cm. Est-il rectangle ?

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$9^2 = 81$ et $5^2 + 7^2 = 74$. $81 \ne 74$ : le triangle n'est pas rectangle.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Hauteur d'un triangle isocèleNiveau 2

Un triangle isocèle $ABC$ a $AB = AC = 10$ cm et $BC = 12$ cm. Calcule la hauteur $AH$ issue de $A$ sur $[BC]$.

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Stratégie

dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal a une double propriété : elle est perpendiculaire à la base ET passe par son milieu (c'est aussi la médiane et la médiatrice). On peut donc isoler un triangle rectangle pour appliquer Pythagore.

Étape 1 — Position du pied de la hauteur

$H$ est le pied de la hauteur issue de $A$. Comme le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ ($AB = AC$), $H$ est le milieu de $[BC]$.

$BH = HC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 \text{ cm}$

Étape 2 — Identifier le triangle rectangle

Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ (par définition de la hauteur).

Hypoténuse : $AB = 10$ cm
Cathètes : $AH$ (inconnue) et $BH = 6$ cm

Étape 3 — Appliquer Pythagore

$\[AB^2 = AH^2 + BH^2\]$ $\[AH^2 = AB^2 - BH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\]$ $AH = \sqrt{64} = \mathbf{8 \text{ cm}}$

🔍 Vérification : $8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2$ ✓ (encore un triplet (6, 8, 10) !)

Astuce

Aire du triangle isocèle = $\dfrac{BC \times AH}{2} = \dfrac{12 \times 8}{2} = 48$ cm². Très utile pour ce type de configurations.

Exercice 13—Distance entre deux pointsNiveau 2

Dans un repère, $A(1; 2)$ et $B(5; 5)$. Calcule $AB$ en utilisant Pythagore.

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Stratégie

dans un repère, on peut construire un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le segment $[AB]$ et les côtés de l'angle droit sont parallèles aux axes (horizontale et verticale). La côté de l'angle droit horizontale a pour longueur $|\Delta x|$ et la verticale $|\Delta y|$.

Formule de distance : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Étape 1 — Calcul des différences de coordonnées

$\Delta x = x_B - x_A = 5 - 1 = 4$
$\Delta y = y_B - y_A = 5 - 2 = 3$

Étape 2 — Appliquer Pythagore

$AB^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ $AB = \sqrt{25} = \mathbf{5}$

🔍 Vérification : encore le triplet (3, 4, 5). ✓

Astuce

Le signe de $\Delta x$ et $\Delta y$ n'a pas d'importance car on les met au carré. Mais on peut aussi prendre la valeur absolue : $|5-1| = 4$.

Exercice 14—Diagonale d'un losangeNiveau 2

Un losange a ses diagonales de $6$ cm et $8$ cm. Calcule le côté du losange.

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Stratégie

dans un losange, les diagonales ont deux propriétés clés :

Elles sont perpendiculaires entre elles.
Elles se coupent en leur milieu.

Ces deux propriétés créent 4 triangles rectangles identiques dont les côtés de l'angle droit sont les demi-diagonales et l'hypoténuse est un côté du losange.

Étape 1 — Calcul des demi-diagonales

$\dfrac{d_1}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \text{ cm} \quad ; \quad \dfrac{d_2}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \text{ cm}$

Étape 2 — Appliquer Pythagore dans un des 4 triangles rectangles

Soit $c$ le côté du losange (= hypoténuse) : $\[c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\]$ $c = \sqrt{25} = \mathbf{5 \text{ cm}}$

🔍 Vérification : tous les côtés du losange ont la même longueur, donc périmètre = $4 \times 5 = 20$ cm. ✓

Formule générale

Pour un losange de diagonales $d_1$ et $d_2$, le côté vaut $c = \sqrt{\left(\dfrac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2}$.

Exercice 15—Réciproque et démonstrationNiveau 2

Un triangle $DEF$ a $DE = 8$ cm, $EF = 15$ cm, $DF = 17$ cm.
a) Vérifie la réciproque de Pythagore.
b) Conclure sur la nature du triangle.
c) Quel est l'angle droit ?

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Méthode (réciproque de Pythagore)

on identifie le plus grand côté, on calcule séparément son carré et la somme des carrés des deux autres, puis on compare.

a) Identifier le plus grand côté et tester l'égalité

Côtés : $DE = 8$, $EF = 15$, $DF = 17$. Le plus grand est $DF = 17$.

Membre	Calcul	Résultat
$DF^2$	$17 \times 17$	$289$
$DE^2 + EF^2$	$64 + 225$	$289$

Comparaison : $289 = 289$ ✓

b) Conclure sur la nature du triangle

L'égalité $DF^2 = DE^2 + EF^2$ est vérifiée. Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $DEF$ est rectangle.

c) Localiser l'angle droit

L'angle droit est toujours opposé à l'hypoténuse. Ici l'hypoténuse est $[DF]$ (le plus grand côté), donc l'angle droit se trouve au sommet qui n'est ni $D$ ni $F$ : c'est $\mathbf{E}$.

➡️ Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$.

Triplet à retenir

$(8, 15, 17)$ est un triplet pythagoricien classique.

Exercice 16—EscalierNiveau 2

Un escalier a des marches de $20$ cm de hauteur et $25$ cm de profondeur. Quelle est la longueur de chaque marche (diagonale d'une marche) ? Arrondir au mm.

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Stratégie

chaque marche d'un escalier vue de profil forme un triangle rectangle :

un côté de l'angle droit verticale = hauteur de la marche (20 cm)
un côté de l'angle droit horizontale = profondeur de la marche (25 cm)
l'hypoténuse = la "ligne de foulée" (longueur diagonale)

Étape 1 — Schématiser et identifier le triangle rectangle

Triangle rectangle d'angle droit à l'intersection (coin) des deux dimensions, côtés de l'angle droit : 20 cm et 25 cm.

Étape 2 — Appliquer Pythagore

Soit $\ell$ la longueur diagonale : $\ell^2 = 20^2 + 25^2 = 400 + 625 = 1\,025$

Étape 3 — Calcul de la racine

$\ell = \sqrt{1\,025} \approx 32{,}015\ldots \text{ cm}$

Arrondi au mm (= au dixième de cm) : $\ell \approx \mathbf{32{,}0 \text{ cm}}$

🔍 Vérification de cohérence : la diagonale doit être plus grande que chacune des côtés de l'angle droit. $32{,}0 > 25 > 20$ ✓

Application concrète

Cette longueur sert pour le poseur de carrelage ou le menuisier qui doit couper un nez-de-marche.

Exercice 17—Hauteur d'un mâtNiveau 2

Un mât est maintenu par un câble de $13$ m attaché à son sommet et fixé au sol à $5$ m du pied du mât. Quelle est la hauteur du mât ?

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Stratégie

on modélise la situation par un triangle rectangle :

la côté de l'angle droit verticale = hauteur du mât (inconnue $h$)
la côté de l'angle droit horizontale = distance du pied au sol (5 m)
l'hypoténuse = le câble tendu (13 m)

L'angle droit est entre le mât et le sol (le mât est vertical, le sol horizontal).

Étape 1 — Écrire le théorème de Pythagore

$\text{(câble)}^2 = h^2 + \text{(distance)}^2$ $\[13^2 = h^2 + 5^2\]$

Étape 2 — Isoler $h^2$

$\[h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\]$

Étape 3 — Conclusion

$h = \sqrt{144} = \mathbf{12 \text{ m}}$

🔍 Vérification : $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ✓ (triplet (5, 12, 13))

➡️ Le mât mesure 12 mètres de hauteur.

Piège

Ici on cherche une côté de l'angle droit (la hauteur), pas l'hypoténuse. Donc on soustrait : $13^2 - 5^2$ et non $13^2 + 5^2$.

Exercice 18—Zone accessibleNiveau 2

Un pompier utilise une échelle de $10$ m appuyée contre un mur. Le pied est à $3$ m du mur. À quelle hauteur l'échelle atteint-elle le mur ?

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Stratégie

on identifie les éléments du triangle rectangle (le mur est vertical, le sol horizontal → angle droit au pied du mur) :

Hypoténuse : l'échelle = 10 m
Cathète horizontale : distance pied-mur = 3 m
Cathète verticale (inconnue) : hauteur $h$ atteinte sur le mur

Étape 1 — Écrire Pythagore

$\text{(échelle)}^2 = h^2 + \text{(distance)}^2$ $\[10^2 = h^2 + 3^2\]$

Étape 2 — Isoler $h^2$

$\[h^2 = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91\]$

Étape 3 — Valeur exacte et approchée

Valeur exacte : $h = \sqrt{91}$ m (impossible à simplifier car 91 = 7 × 13 n'a pas de facteur carré).

Valeur approchée : $\sqrt{91} \approx 9{,}539\ldots$

$h \approx \mathbf{9{,}54 \text{ m}}$ (au centimètre)

🔍 Vérification de cohérence : $h$ doit être inférieur à la longueur de l'échelle (l'échelle est l'hypoténuse, le plus long côté). $9{,}54 < 10$ ✓

Application

Un pompier place toujours l'échelle de manière à respecter un angle d'environ 75° avec le sol. Ici $\cos(\alpha) = \dfrac{3}{10}$ → $\alpha \approx 72{,}5°$, ce qui est correct.

Exercice 19—Triangle rectangle isocèleNiveau 2

Un triangle rectangle isocèle a une hypoténuse de $10$ cm. Calcule la longueur des côtés de l'angle droit.

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Stratégie

dans un triangle rectangle isocèle, les deux côtés de l'angle droit ont la même longueur. On les note toutes les deux $a$, ce qui simplifie l'équation de Pythagore.

Étape 1 — Écrire Pythagore avec deux côtés de l'angle droit égales

$\[h^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\]$

Ici $h = 10$ cm : $\[10^2 = 2a^2\]$ $\[100 = 2a^2\]$

Étape 2 — Isoler $a^2$

$a^2 = \dfrac{100}{2} = 50$

Étape 3 — Valeur exacte de $a$ (simplifier la racine)

$a = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \text{ cm}$

Étape 4 — Valeur approchée

Avec $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ : $a \approx 5 \times 1{,}414 = \mathbf{7{,}07 \text{ cm}}$ (au centième)

🔍 Vérification : $a^2 + a^2 = 50 + 50 = 100 = 10^2$ ✓

Formule générale

Pour un triangle rectangle isocèle d'hypoténuse $h$, chaque côté de l'angle droit vaut $a = \dfrac{h}{\sqrt{2}} = \dfrac{h\sqrt{2}}{2}$. Réciproquement, l'hypoténuse vaut $h = a\sqrt{2}$ (cf. diagonale d'un carré).

Exercice 20—Diagonale d'un carréNiveau 2

Calcule la diagonale d'un carré de $5$ cm de côté (au mm près).

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$d^2 = 5^2 + 5^2 = 50$, $d = \sqrt{50} \approx \mathbf{7{,}1}$ cm.

Exercice 21—La télévisionNiveau 2

Un écran mesure $120$ cm de large et $68$ cm de haut. Calcule sa diagonale (au cm près).

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$d^2 = 120^2 + 68^2 = 14\,400 + 4\,624 = 19\,024$, $d \approx \mathbf{138}$ cm.

Exercice 22—L'échelleNiveau 2

Une échelle de $4$ m est posée contre un mur, son pied à $1$ m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur (au cm près) ?

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$h^2 = 4^2 - 1^2 = 15$, $h = \sqrt{15} \approx \mathbf{3{,}87}$ m.

Exercice 23—Le losangeNiveau 2

Les diagonales d'un losange mesurent $10$ cm et $24$ cm. Calcule la longueur d'un côté.

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Les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires : chaque côté est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés $5$ et $12$. $c^2 = 25 + 144 = 169$, $c = \mathbf{13}$ cm.

Exercice 24—La rampeNiveau 2

Une rampe monte de $0{,}5$ m sur une distance horizontale de $6$ m. Quelle est sa longueur (au cm près) ?

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$L^2 = 6^2 + 0{,}5^2 = 36{,}25$, $L \approx \mathbf{6{,}02}$ m.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Médiane dans un triangle rectangleNiveau 3

Dans le triangle rectangle $ABC$ (angle droit en $C$), $M$ est le milieu de $[AB]$. Montre que $MC = \dfrac{AB}{2}$ (le milieu de l'hypoténuse est équidistant des trois sommets).

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Stratégie

on démontre par la propriété du cercle circonscrit au triangle rectangle. Cette propriété affirme que le milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est le centre du cercle qui passe par les trois sommets.

Étape 1 — Définition du cercle circonscrit

Dans tout triangle, les médiatrices des trois côtés se coupent en un même point appelé centre du cercle circonscrit. Ce centre est équidistant des trois sommets (distance = rayon $R$).

Étape 2 — Cas particulier du triangle rectangle

Propriété fondamentale : dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est exactement le milieu de l'hypoténuse.

Justification (théorème de l'angle inscrit / Thalès cercle) : un triangle rectangle est inscriptible dans un demi-cercle dont l'hypoténuse est le diamètre. Donc le centre du demi-cercle = milieu du diamètre = milieu de l'hypoténuse.

Étape 3 — Application à notre triangle

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, l'hypoténuse est $[AB]$. Soit $M$ le milieu de $[AB]$.

D'après la propriété : $M$ est le centre du cercle circonscrit à $ABC$, donc : $\[MA = MB = MC = R\]$

Or par définition du milieu : $MA = MB = \dfrac{AB}{2}$, donc $R = \dfrac{AB}{2}$.

Conclusion : $\boxed{MC = \dfrac{AB}{2}} \qquad \square$

Réciproque utile

Si dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est égale à la moitié du côté opposé, alors ce triangle est rectangle (en ce sommet). C'est un test efficace.

Exercice 26—Démonstration par les airesNiveau 3

Démontre le théorème de Pythagore en utilisant le grand carré de côté $(a+b)$ contenant 4 triangles rectangles et un carré central.

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Stratégie

on calcule l'aire du grand carré de deux manières différentes, puis on identifie les expressions. C'est une démonstration géométrique classique attribuée aux mathématiciens grecs/indiens.

Étape 1 — Construction de la figure

On considère un grand carré de côté $(a + b)$. À l'intérieur, on place 4 triangles rectangles identiques aux quatre coins :

chaque triangle a pour côtés de l'angle droit $a$ et $b$
chaque triangle a pour hypoténuse $c$

Les hypoténuses des 4 triangles forment un carré intérieur de côté $c$.

Étape 2 — Aire du grand carré (méthode 1 : par la formule)

Le grand carré a un côté de $(a+b)$, donc son aire est : $\mathcal{A}_{\text{grand}} = (a+b)^2$

En développant (identité remarquable) : $\mathcal{A}_{\text{grand}} = a^2 + 2ab + b^2$

Étape 3 — Aire du grand carré (méthode 2 : par décomposition)

Le grand carré est composé de :

4 triangles rectangles d'aire $\dfrac{ab}{2}$ chacun → total $4 \times \dfrac{ab}{2} = 2ab$
1 carré central de côté $c$, donc d'aire $c^2$

$\mathcal{A}_{\text{décomp}} = 2ab + c^2$

Étape 4 — Égalité des deux expressions de l'aire

Comme les deux méthodes calculent la même aire : $\[a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2\]$

En soustrayant $2ab$ des deux côtés : $\boxed{a^2 + b^2 = c^2} \qquad \square$

C'est exactement le théorème de Pythagore !

Note historique

Cette démonstration géométrique est l'une des plus élégantes. Il en existe plus de 350 différentes du théorème de Pythagore, dont une attribuée au président américain James Garfield.

Exercice 27—Pythagore en 3DNiveau 3

Un parallélépipède rectangle mesure $3$ cm × $4$ cm × $12$ cm.
a) Calcule la diagonale de la base ($3 \times 4$).
b) Calcule la grande diagonale du parallélépipède.

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Stratégie (Pythagore en 3D)

la grande diagonale d'un parallélépipède (= pavé droit) se calcule en appliquant Pythagore deux fois successivement :

D'abord dans la base (2D) pour trouver la diagonale de la base.
Ensuite dans un plan vertical contenant cette diagonale et une arête verticale.

Étape 1 — a) Diagonale de la base (3 cm × 4 cm)

La base est un rectangle. Sa diagonale $d$ est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par deux côtés adjacents : $\[d^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\]$ $d = \sqrt{25} = \mathbf{5 \text{ cm}}$

Étape 2 — b) Identifier le second triangle rectangle

La grande diagonale $D$ du pavé relie deux sommets opposés. Dans le plan vertical contenant cette diagonale, on construit un triangle rectangle :

Cathète horizontale = diagonale de la base = 5 cm
Cathète verticale = hauteur du pavé = 12 cm
Hypoténuse = grande diagonale $D$

Étape 3 — Appliquer Pythagore une seconde fois

$\[D^2 = d^2 + h^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\]$ $D = \sqrt{169} = \mathbf{13 \text{ cm}}$

🔍 Vérification par la formule générale : $D = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \;\;✓$

Formule générale (Pythagore 3D)

Pour un pavé droit de dimensions $a$, $b$, $h$, la grande diagonale vaut $D = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}$.

⚠️ Piège : ne pas confondre la diagonale de la base (en 2D) et la grande diagonale du pavé (en 3D) — elles n'ont pas la même longueur !

Exercice 28—Périmètre d'un triangle rectangleNiveau 3

Un triangle rectangle a une hypoténuse de $13$ cm et un côté de l'angle droit de $5$ cm.
a) Calcule l'autre côté de l'angle droit.
b) Calcule le périmètre.
c) Calcule l'aire.

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Stratégie

on calcule d'abord le côté de l'angle droit manquante grâce à Pythagore, puis on utilise les formules classiques du périmètre et de l'aire d'un triangle rectangle.

a) Calcul de l'autre côté de l'angle droit

Hypoténuse $= 13$, côté de l'angle droit connue $= 5$. On cherche l'autre côté de l'angle droit $c$ : $\[13^2 = 5^2 + c^2\]$ $\[c^2 = 169 - 25 = 144\]$ $c = \sqrt{144} = \mathbf{12 \text{ cm}}$

🔍 Vérification : $(5, 12, 13)$ est un triplet pythagoricien. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ✓

b) Calcul du périmètre

Le périmètre est la somme des trois côtés : $\mathcal{P} = 5 + 12 + 13 = \mathbf{30 \text{ cm}}$

c) Calcul de l'aire

Pour un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit jouent le rôle de base et hauteur (puisqu'elles sont perpendiculaires). Donc : $\mathcal{A} = \dfrac{\text{côté}_1 \times \text{côté}_2}{2} = \dfrac{5 \times 12}{2} = \dfrac{60}{2} = \mathbf{30 \text{ cm}^2}$

Coïncidence amusante

Ici $\mathcal{P} = 30$ cm et $\mathcal{A} = 30$ cm². Les deux ont la même valeur numérique mais pas la même unité !

⚠️ Piège unités : périmètre en cm, aire en cm² — ne jamais oublier les unités carrées pour une aire.

Exercice 29—Problème de navigationNiveau 3

Un bateau part du port A, navigue $30$ km vers le nord, puis $40$ km vers l'est.
a) Quelle est la distance directe entre le port A et la position finale B ?
b) Si le bateau rentre directement de B à A, quelle est la distance totale du trajet (A→nord→est→B→A) ?

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Stratégie

nord et est sont perpendiculaires entre eux (rose des vents). Le déplacement du bateau forme donc deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, dont l'hypoténuse est la distance directe entre le départ et l'arrivée.

a) Distance directe entre A et B

Le triangle formé a :

Cathète "nord" = 30 km
Cathète "est" = 40 km
Hypoténuse = $AB$ (à calculer)

Par Pythagore : $AB^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1\,600 = 2\,500$ $AB = \sqrt{2\,500} = \mathbf{50 \text{ km}}$

🔍 Vérification : $(30, 40, 50) = (3, 4, 5) \times 10$ — triplet pythagoricien. ✓

b) Distance totale du trajet aller-retour

Trajet : A → nord (30 km) → est (40 km) → B → retour direct A (50 km). $\mathcal{D}_{\text{totale}} = 30 + 40 + 50 = \mathbf{120 \text{ km}}$

Interprétation

Le bateau parcourt $30 + 40 = 70$ km en zigzag à l'aller, mais seulement 50 km au retour direct. Le retour direct "économise" $70 - 50 = 20$ km, ce qui illustre l'inégalité triangulaire : la ligne droite est toujours le plus court chemin.

Exercice 30—Synthèse : construction d'une figure complexeNiveau 3

Un terrain a la forme d'un pentagone. On connaît les coordonnées des sommets : $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(8;6)$, $D(4;10)$, $E(0;6)$.
a) Calcule le périmètre du terrain (tous les côtés).
b) Identifie les angles droits éventuels en utilisant la réciproque de Pythagore.

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Stratégie

pour chaque côté du pentagone, on calcule la longueur grâce à la formule de distance dans un repère ($d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$). Pour les angles droits, on vérifie soit visuellement (côtés alignés avec les axes), soit par la réciproque de Pythagore en construisant un triangle.

Étape 1 — Calcul des cinq côtés du pentagone

Sommets : $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(8;6)$, $D(4;10)$, $E(0;6)$.

Côté	$\Delta x$	$\Delta y$	Calcul	Longueur
$AB$	$8-0=8$	$0-0=0$	$\sqrt{64+0}$	$\mathbf{8}$
$BC$	$8-8=0$	$6-0=6$	$\sqrt{0+36}$	$\mathbf{6}$
$CD$	$4-8=-4$	$10-6=4$	$\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$	$\mathbf{4\sqrt{2} \approx 5{,}66}$
$DE$	$0-4=-4$	$6-10=-4$	$\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$	$\mathbf{4\sqrt{2} \approx 5{,}66}$
$EA$	$0-0=0$	$0-6=-6$	$\sqrt{0+36}$	$\mathbf{6}$

Étape 2 — Calcul du périmètre

$\mathcal{P} = 8 + 6 + 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 6 = 20 + 8\sqrt{2}$

Valeur approchée : $8\sqrt{2} \approx 11{,}31$, donc : $\mathcal{P} \approx 20 + 11{,}31 = \mathbf{31{,}3 \text{ m}}$ (au dm)

Étape 3 — Identification des angles droits

On analyse chaque sommet en regardant les deux côtés qui s'y rencontrent :

Angle en $A$ : côtés $[AB]$ (horizontal, le long de l'axe des $x$) et $[AE]$ (vertical, le long de l'axe des $y$) → axes perpendiculaires → angle droit ✓
Angle en $B$ : côtés $[BA]$ (horizontal) et $[BC]$ (vertical de $(8;0)$ à $(8;6)$) → perpendiculaires → angle droit ✓
Angle en $C$ : côtés $[CB]$ (vertical) et $[CD]$ (oblique, descend vers $(4;10)$ avec un vecteur $(-4; +4)$) → pas perpendiculaires → pas d'angle droit
Angle en $D$ : côtés $[DC]$ (vecteur $(4;-4)$) et $[DE]$ (vecteur $(-4;-4)$) → produit scalaire = $4 \times (-4) + (-4) \times (-4) = -16 + 16 = 0$ ⚠️ → en fait, les vecteurs sont perpendiculaires !

🔍 Vérification par Pythagore dans le triangle $CDE$ :

$CD = 4\sqrt{2}$, $DE = 4\sqrt{2}$
$CE = \sqrt{(8-0)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{64} = 8$
$CD^2 + DE^2 = 32 + 32 = 64 = CE^2$ ✓

→ Par la réciproque, le triangle $CDE$ est rectangle en $D$ → angle droit en $D$ ✓

Angle en $E$ : côtés $[ED]$ (oblique, vecteur $(4;4)$) et $[EA]$ (vertical, vecteur $(0;-6)$) → pas perpendiculaires → pas d'angle droit

Conclusion : les angles droits du pentagone se trouvent en $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ et $\mathbf{D}$.

Astuce visuelle

La figure ressemble à une "maison" — base rectangulaire $ABCE$ surmontée d'un "toit" triangulaire $CDE$ (triangle rectangle isocèle en $D$).

Membre	Calcul	Résultat
\((\text{plus grand})^2\)	\(25^2\)	\(625\)
Somme des deux autres carrés	\(7^2 + 24^2 = 49 + 576\)	\(625\)

Membre	Calcul	Résultat
\(12^2\)	\(12 \times 12\)	\(144\)
\(8^2 + 10^2\)	\(64 + 100\)	\(164\)

Membre	Calcul	Résultat
\(41^2\)	\(41 \times 41\)	\(1\,681\)
\(9^2 + 40^2\)	\(81 + 1\,600\)	\(1\,681\)

Membre	Calcul	Résultat
\(DF^2\)	\(17 \times 17\)	\(289\)
\(DE^2 + EF^2\)	\(64 + 225\)	\(289\)

Côté	\(\Delta x\)	\(\Delta y\)	Calcul	Longueur
\(AB\)	\(8-0=8\)	\(0-0=0\)	\(\sqrt{64+0}\)	\(\mathbf{8}\)
\(BC\)	\(8-8=0\)	\(6-0=6\)	\(\sqrt{0+36}\)	\(\mathbf{6}\)
\(CD\)	\(4-8=-4\)	\(10-6=4\)	\(\sqrt{16+16}=\sqrt{32}\)	\(\mathbf{4\sqrt{2} \approx 5{,}66}\)
\(DE\)	\(0-4=-4\)	\(6-10=-4\)	\(\sqrt{16+16}=\sqrt{32}\)	\(\mathbf{4\sqrt{2} \approx 5{,}66}\)
\(EA\)	\(0-0=0\)	\(0-6=-6\)	\(\sqrt{0+36}\)	\(\mathbf{6}\)