1ère · Chapitre 10 · Probabilités et statistiques

Variables aléatoires

30 exercices corrigés

1 Variable aléatoire et loi de probabilité

Définition

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire (un gain, un nombre de succès, une somme…). L'événement « $X$ prend la valeur $a$ » se note $\{X = a\}$.

Loi de probabilité

Donner la loi de $X$, c'est donner les valeurs $x_1, \ldots, x_n$ prises par $X$ et les probabilités $p_i = P(X = x_i)$, en général dans un tableau. On a toujours $p_1 + \cdots + p_n = 1$.

Exemple

On lance un dé. On gagne $5$ € si on obtient $6$, $1$ € si on obtient $4$ ou $5$, et on perd $2$ € sinon. Le gain $X$ suit la loi :

$x_i$	$-2$	$1$	$5$
$P(X = x_i)$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{6}$

2 Espérance

Définition

L'espérance de $X$ est $E(X) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n$ C'est la moyenne des valeurs de $X$ que l'on obtiendrait en répétant l'expérience un très grand nombre de fois.

Exemple

(suite) : $E(X) = \dfrac{1}{2} \times (-2) + \dfrac{1}{3} \times 1 + \dfrac{1}{6} \times 5 = -1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}$. En moyenne, on gagne environ $0{,}17$ € par partie.

Jeu équitable

Un jeu est équitable si l'espérance du gain est nulle ; il est favorable au joueur si $E(X) > 0$, défavorable si $E(X) < 0$.

3 Variance et écart type

Définitions

La variance mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance : $V(X) = p_1(x_1 - E(X))^2 + \cdots + p_n(x_n - E(X))^2$ L'écart type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ (il a la même unité que $X$).

Formule de König-Huygens

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$, où $E(X^2) = p_1 x_1^2 + \cdots + p_n x_n^2$. Elle simplifie souvent les calculs.

Transformation affine

Pour des réels $a$ et $b$, $E(aX + b) = aE(X) + b \qquad V(aX + b) = a^2V(X) \qquad \sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)$

Méthode — étudier un jeu

Définir la variable (souvent le gain net, mise déduite), donner sa loi avec un arbre ou un tableau, calculer l'espérance, puis conclure (équitable, favorable…). L'écart type renseigne sur le risque.

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L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Formule
Loi	Tableau des $x_i$ et des $p_i$, avec $\sum p_i = 1$
Espérance	$E(X) = \sum p_i x_i$
Variance	$V(X) = \sum p_i (x_i - E(X))^2 = E(X^2) - E(X)^2$
Écart type	$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
Affine	$E(aX + b) = aE(X) + b$ ; $V(aX + b) = a^2V(X)$
Jeu équitable	$E(\text{gain}) = 0$

Pièges à éviter

Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.
Le gain net tient compte de la mise.
$V(aX + b) = a^2V(X)$ : la constante $b$ ne change pas la dispersion.

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Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Un jeu de déNiveau 1

On lance un dé équilibré. On gagne $5$ € si on obtient $6$, $1$ € si on obtient $4$ ou $5$, et on perd $2$ € sinon. On note $X$ le gain.
a) Donne la loi de $X$.
b) Calcule $E(X)$. Le jeu est-il favorable au joueur ?

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a) « Perdre » correspond à $1$, $2$ ou $3$ : probabilité $\dfrac{1}{2}$ ; « gagner $1$ € » : $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ ; « gagner $5$ € » : $\dfrac{1}{6}$.

$x_i$	$-2$	$1$	$5$
$P(X = x_i)$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{6}$

b) $E(X) = -1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{6}} \approx 0{,}17$ € $> 0$ : le jeu est (légèrement) favorable au joueur.

Exercice 2—Compléter une loiNiveau 1

Une variable aléatoire $X$ suit la loi suivante :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0{,}1$	$0{,}3$	$a$	$0{,}2$

a) Calcule $a$.
b) Calcule $E(X)$ et $P(X \geqslant 2)$.

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a) $0{,}1 + 0{,}3 + a + 0{,}2 = 1$, donc $a = \mathbf{0{,}4}$.

b) $E(X) = 0 + 0{,}3 + 0{,}8 + 0{,}6 = \mathbf{1{,}7}$ ; $P(X \geqslant 2) = 0{,}4 + 0{,}2 = \mathbf{0{,}6}$.

Exercice 3—Espérance et varianceNiveau 1

$X$ prend les valeurs $-1$, $2$ et $5$ avec les probabilités $0{,}5$, $0{,}3$ et $0{,}2$. Calcule $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$ (au centième).

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$E(X) = -0{,}5 + 0{,}6 + 1 = \mathbf{1{,}1}$. $E(X^2) = 0{,}5 \times 1 + 0{,}3 \times 4 + 0{,}2 \times 25 = 6{,}7$. $V(X) = 6{,}7 - 1{,}1^2 = \mathbf{5{,}49}$ et $\sigma(X) = \sqrt{5{,}49} \approx \mathbf{2{,}34}$.

Exercice 4—Deux lancers de pièceNiveau 1

On lance deux fois une pièce équilibrée. $X$ est le nombre de « Pile » obtenus.
a) Donne la loi de $X$ (on pourra faire un arbre).
b) Calcule $E(X)$.

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a) Issues équiprobables PP, PF, FP, FF :

$x_i$	$0$	$1$	$2$
$P(X = x_i)$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$

b) $E(X) = 0 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{4} = \mathbf{1}$.

Exercice 5—La loterieNiveau 1

Un billet de loterie rapporte $10$ € avec la probabilité $\dfrac{1}{10}$ ; sinon, on perd la mise de $1$ €. On note $G$ le gain algébrique. Calcule $E(G)$ et conclus.

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$G = 10$ avec la probabilité $0{,}1$ et $G = -1$ avec la probabilité $0{,}9$. $E(G) = 1 - 0{,}9 = \mathbf{0{,}1}$ € $> 0$ : la loterie est (légèrement) favorable au joueur… ce qui est rare dans la réalité !

Exercice 6—Interpréter une espéranceNiveau 1

Le nombre de buts $X$ marqués par une équipe lors d'un match a pour espérance $E(X) = 1{,}5$.
a) Que signifie ce nombre ?
b) Environ combien de buts l'équipe marquera-t-elle en $100$ matchs ?

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a) Sur un grand nombre de matchs, l'équipe marque en moyenne $1{,}5$ but par match.

b) Environ $100 \times 1{,}5 = \mathbf{150}$ buts.

Exercice 7—EspéranceNiveau 1

Une variable aléatoire $X$ a pour loi :

$x_i$	$-2$	$1$	$5$
$P(X = x_i)$	$0{,}5$	$0{,}3$	$0{,}2$

Calcule $E(X)$.

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$E(X) = -2 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}3 + 5 \times 0{,}2 = -1 + 0{,}3 + 1 = \mathbf{0{,}3}$.

Exercice 8—Compléter une loiNiveau 1

$X$ prend les valeurs $0, 1, 2, 3$ avec $P(X = 0) = 0{,}1$, $P(X = 1) = 0{,}4$, $P(X = 3) = 0{,}2$. Calcule $P(X = 2)$, puis $E(X)$.

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La somme vaut $1$ : $P(X = 2) = 1 - 0{,}7 = \mathbf{0{,}3}$. $E(X) = 0 + 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}6 = \mathbf{1{,}6}$.

Exercice 9—VarianceNiveau 1

$X$ vaut $0$ ou $2$, avec probabilité $\dfrac{1}{2}$ chacun. Calcule $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.

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$E(X) = \mathbf{1}$ ; $V(X) = \dfrac{1}{2}(0 - 1)^2 + \dfrac{1}{2}(2 - 1)^2 = \mathbf{1}$ ; $\sigma(X) = \mathbf{1}$.

Exercice 10—Un jeu de déNiveau 1

On lance un dé : on gagne $4$ € si l'on obtient $6$, sinon on perd $1$ €. Calcule l'espérance du gain. Le jeu est-il favorable ?

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$E = 4 \times \dfrac{1}{6} - 1 \times \dfrac{5}{6} = -\dfrac{1}{6} \approx \mathbf{-0{,}17}$ € : défavorable au joueur.

Exercice 11—Deux piècesNiveau 1

On lance deux pièces ; $X$ est le nombre de « pile ». Donne la loi de $X$ et son espérance.

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$k$	$0$	$1$	$2$
$P(X = k)$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$

$E(X) = 0 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{4} = \mathbf{1}$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Somme de deux désNiveau 2

On lance deux dés équilibrés ; $S$ est la somme obtenue.
a) Donne la loi de $S$ à l'aide d'un tableau à double entrée.
b) Calcule $E(S)$.

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a) Sur les $36$ issues équiprobables :

$s$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$36 \times P(S = s)$	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

b) La loi est symétrique autour de $7$, donc $E(S) = \mathbf{7}$ (on peut vérifier : $\dfrac{252}{36} = 7$).

Exercice 13—Un jeu payantNiveau 2

Pour jouer, on paie $2$ €. On lance un dé : avec $6$, on reçoit $10$ € ; avec $5$, on reçoit $4$ € ; sinon on ne reçoit rien. $G$ est le gain net.
a) Donne la loi de $G$ et calcule $E(G)$.
b) Quelle somme faudrait-il recevoir avec le $6$ (au lieu de $10$ €) pour que le jeu soit équitable ?

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a) $G = 8$ (proba $\dfrac{1}{6}$), $G = 2$ (proba $\dfrac{1}{6}$), $G = -2$ (proba $\dfrac{4}{6}$). $E(G) = \dfrac{8 + 2 - 8}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{3}} \approx 0{,}33$ €.

b) Avec une somme $x$ pour le $6$ : $E(G) = \dfrac{(x - 2) + 2 - 8}{6} = \dfrac{x - 8}{6} = 0$ pour $\mathbf{x = 8}$ €.

Exercice 14—Transformation affineNiveau 2

$X$ a pour espérance $3$ et pour variance $4$. On pose $Y = 2X - 1$. Calcule $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$.

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$E(Y) = 2 \times 3 - 1 = \mathbf{5}$ ; $V(Y) = 2^2 \times 4 = \mathbf{16}$ ; $\sigma(Y) = \mathbf{4}$.

Exercice 15—Tirages sans remiseNiveau 2

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ bleues. On tire deux boules sans remise ; $X$ est le nombre de boules rouges tirées.
a) Donne la loi de $X$.
b) Calcule $E(X)$.

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a) $P(X = 2) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}$ ; $P(X = 0) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{10}$ ; $P(X = 1) = 1 - \dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{6}{10}$.

b) $E(X) = 0 + 0{,}6 + 2 \times 0{,}3 = \mathbf{1{,}2}$.

Exercice 16—L'assuranceNiveau 2

Une assurance coûte $50$ € par an. Chaque assuré a une probabilité de $0{,}02$ d'avoir un sinistre, que l'assureur rembourse $2\,000$ €. On note $G$ le gain de l'assureur pour un contrat.
a) Donne la loi de $G$.
b) Calcule $E(G)$. Combien l'assureur peut-il espérer gagner sur $10\,000$ contrats ?

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a) $G = 50 - 2\,000 = -1\,950$ avec la probabilité $0{,}02$, et $G = 50$ avec la probabilité $0{,}98$.

b) $E(G) = -1\,950 \times 0{,}02 + 50 \times 0{,}98 = -39 + 49 = \mathbf{10}$ €. Sur $10\,000$ contrats : environ $\mathbf{100\,000}$ €.

Exercice 17—Même espérance, risques différentsNiveau 2

Jeu A : on gagne $0$ € ou $10$ € avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ chacun. Jeu B : on gagne $5$ € à coup sûr. Compare les espérances et les écarts types des deux gains.

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A : $E = 5$ ; $V = 0{,}5 \times 25 + 0{,}5 \times 25 = 25$, $\sigma = \mathbf{5}$.
B : $E = 5$ ; $\sigma = \mathbf{0}$.

Même espérance, mais le jeu A est beaucoup plus risqué (gain très variable).

Exercice 18—Une loi proportionnelleNiveau 2

$X$ prend les valeurs $1$, $2$ et $3$, et $P(X = k)$ est proportionnelle à $k$.
a) Montre que $P(X = k) = \dfrac{k}{6}$.
b) Calcule $E(X)$.

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a) $P(X = k) = ck$ et $c(1 + 2 + 3) = 1$, donc $c = \dfrac{1}{6}$ ✓

b) $E(X) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{4}{6} + \dfrac{9}{6} = \mathbf{\dfrac{14}{6} = \dfrac{7}{3}}$.

Exercice 19—Le dé et la simulationNiveau 2

$X$ est le résultat d'un dé équilibré.
a) Calcule $E(X)$ et $V(X)$.
b) Un programme simule $10\,000$ lancers et calcule la moyenne des résultats. Quelle valeur s'attend-on à obtenir ?

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a) $E(X) = \dfrac{1 + 2 + \cdots + 6}{6} = \mathbf{3{,}5}$ ; $E(X^2) = \dfrac{91}{6}$, donc $V(X) = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} = \mathbf{\dfrac{35}{12}} \approx 2{,}92$.

b) Une moyenne proche de $3{,}5$ (l'espérance est la moyenne « à long terme »).

Exercice 20—Transformation affineNiveau 2

$E(X) = 3$ et $V(X) = 2$. Calcule $E(2X + 5)$ et $V(2X + 5)$.

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🎯 $E(aX + b) = aE(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2 V(X)$.

$E = 2 \times 3 + 5 = \mathbf{11}$ ; $V = 4 \times 2 = \mathbf{8}$.

Exercice 21—La loterieNiveau 2

$100$ billets à $2$ € sont vendus ; un billet gagne $50$ €, cinq billets gagnent $10$ €. On note $G$ le gain net d'un joueur qui achète un billet. Donne la loi de $G$ et calcule $E(G)$.

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$g$	$48$	$8$	$-2$
$P(G = g)$	$0{,}01$	$0{,}05$	$0{,}94$

$E(G) = 0{,}48 + 0{,}4 - 1{,}88 = \mathbf{-1}$ € : en moyenne, le joueur perd $1$ € par billet.

Exercice 22—Variable de BernoulliNiveau 2

$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $0{,}3$. Calcule $E(X)$ et $V(X)$.

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$E(X) = p = \mathbf{0{,}3}$ ; $V(X) = p(1 - p) = \mathbf{0{,}21}$.

Exercice 23—Somme de deux désNiveau 2

On lance deux dés ; $S$ est la somme. Calcule $P(S = 7)$ et $E(S)$.

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$6$ issues donnent $7$ sur $36$ : $P(S = 7) = \mathbf{\dfrac{1}{6}}$. Chaque dé a pour espérance $3{,}5$ : $E(S) = \mathbf{7}$.

Exercice 24—QCM et pénalitéNiveau 2

Une question de QCM a $4$ réponses dont une seule juste : $+1$ point si la réponse est juste, $-x$ points sinon. Un élève répond au hasard. Quelle pénalité $x$ rend l'espérance de sa note nulle ?

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$E = 1 \times \dfrac{1}{4} - x \times \dfrac{3}{4} = 0 \iff x = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$ point.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Loi avec paramètreNiveau 3

$X$ prend les valeurs $-1$, $0$ et $2$ avec $P(X = -1) = p$, $P(X = 0) = 0{,}5$ et $P(X = 2) = 0{,}5 - p$ ($0 \leqslant p \leqslant 0{,}5$).
a) Exprime $E(X)$ en fonction de $p$.
b) Pour quelle valeur de $p$ a-t-on $E(X) = 0$ ? Calcule alors $V(X)$.

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a) $E(X) = -p + 0 + 2(0{,}5 - p) = \mathbf{1 - 3p}$.

b) $1 - 3p = 0$ pour $p = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$. Alors $V(X) = E(X^2) = \dfrac{1}{3} \times 1 + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) \times 4 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = \mathbf{1}$.

Exercice 26—Variable de BernoulliNiveau 3

$X$ prend la valeur $1$ avec la probabilité $p$ et $0$ avec la probabilité $1 - p$.
a) Montre que $E(X) = p$ et $V(X) = p(1 - p)$.
b) Pour quelle valeur de $p$ la variance est-elle maximale ?

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a) $E(X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p$ ; $E(X^2) = p$, donc $V(X) = p - p^2 = p(1 - p)$ ✓

b) $p(1 - p) = -p^2 + p$ est un trinôme maximal en $p = -\dfrac{1}{2 \times (-1)} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$ (variance $\dfrac{1}{4}$).

Exercice 27—QCM avec pénalitéNiveau 3

Un QCM a $2$ questions à $4$ réponses (une seule juste). Une bonne réponse rapporte $1$ point, une mauvaise en retire $0{,}5$. Un élève répond au hasard ; $N$ est sa note.
a) Donne la loi de $N$ et calcule $E(N)$.
b) Quelle pénalité $x$ (au lieu de $0{,}5$) rendrait l'espérance de la note nulle ?

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a) Deux justes : $\dfrac{1}{16}$, note $2$ ; une juste : $2 \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{16}$, note $0{,}5$ ; aucune : $\dfrac{9}{16}$, note $-1$. $E(N) = \dfrac{2 + 3 - 9}{16} = \mathbf{-0{,}25}$.

b) Par question, l'espérance est $\dfrac{1}{4} \times 1 - \dfrac{3}{4}x$, nulle pour $\mathbf{x = \dfrac{1}{3}}$.

Exercice 28—Au plus trois lancersNiveau 3

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir « Pile », en s'arrêtant de toute façon après $3$ lancers. $X$ est le nombre de lancers effectués.
a) Donne la loi de $X$.
b) Calcule $E(X)$.

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a) $X = 1$ si Pile au 1er lancer : $\dfrac{1}{2}$. $X = 2$ si Face puis Pile : $\dfrac{1}{4}$. $X = 3$ sinon (FF puis n'importe quoi) : $\dfrac{1}{4}$.

b) $E(X) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} = \mathbf{1{,}75}$.

Exercice 29—Démontrer König-HuygensNiveau 3

$X$ prend les valeurs $x_1$, $x_2$, $x_3$ avec les probabilités $p_1$, $p_2$, $p_3$ ; on note $m = E(X)$. Développe $V(X) = \sum p_i (x_i - m)^2$ et montre que $V(X) = E(X^2) - m^2$.

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$V(X) = \sum p_i(x_i^2 - 2mx_i + m^2) = \sum p_i x_i^2 - 2m\sum p_i x_i + m^2\sum p_i$ Or $\sum p_i x_i = m$ et $\sum p_i = 1$ : $V(X) = E(X^2) - 2m^2 + m^2 = E(X^2) - m^2$. $\square$

Exercice 30—Synthèse : le stand de la fête foraineNiveau 3

Une urne contient $10$ boules : $1$ dorée, $3$ argentées et $6$ blanches. On paie $2$ € pour tirer une boule : une boule dorée rapporte $10$ €, une argentée $3$ €, une blanche rien. $G$ est le gain net du joueur.
a) Donne la loi de $G$.
b) Calcule $E(G)$ et $\sigma(G)$ (au centième).
c) Sur $500$ parties, quel bénéfice l'organisateur peut-il espérer ?
d) Quel montant devrait rapporter la boule dorée pour que le jeu soit équitable ?

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a) $G = 8$ (proba $0{,}1$), $G = 1$ (proba $0{,}3$), $G = -2$ (proba $0{,}6$).

b) $E(G) = 0{,}8 + 0{,}3 - 1{,}2 = \mathbf{-0{,}1}$ € ; $E(G^2) = 6{,}4 + 0{,}3 + 2{,}4 = 9{,}1$ ; $V(G) = 9{,}1 - 0{,}01 = 9{,}09$ ; $\sigma(G) \approx \mathbf{3{,}01}$ €.

c) Le joueur perd en moyenne $0{,}10$ € par partie : l'organisateur peut espérer environ $500 \times 0{,}1 = \mathbf{50}$ €.

d) Avec $x$ € pour la boule dorée : $0{,}1(x - 2) + 0{,}3 - 1{,}2 = 0$, soit $0{,}1x = 1{,}1$ et $\mathbf{x = 11}$ €.