1ère · Chapitre 7 · Géométrie

Produit scalaire

30 exercices corrigés

1 Définitions

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, est un nombre réel. On peut le calculer de plusieurs façons, selon les informations disponibles.

Avec les normes et l'angle

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls et forment un angle $\theta$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$ Si l'un des vecteurs est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Avec une projection

Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$ qui vaut $AB \times AH$ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont le même sens, et $-AB \times AH$ sinon.

Le produit scalaire AB · AC se calcule avec le projeté orthogonal H de C sur la droite (AB).

Avec les coordonnées

(repère orthonormé) : si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$

Exemple

$\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 1 + 2 \times 4 = 11$.

2 Propriétés

Règles de calcul

Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et tout réel $k$,

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ ;
$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ ;
$\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ (on note aussi $\vec{u}^{\,2}$).

Identités remarquables

$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \qquad \|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ On en déduit $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$.

3 Orthogonalité

Théorème

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Exemple

$A(1 ; 2)$, $B(4 ; 1)$, $C(2 ; 5)$. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 - 3 = 0$ : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

4 Calculer des longueurs et des angles

Angle entre deux vecteurs

$\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$.

Formule d'Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$, avec $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$ Si $\widehat{A} = 90°$, on retrouve le théorème de Pythagore.

Démonstration

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$, donc $BC^2 = AC^2 - 2\,\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + AB^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$.

Méthode — quelle formule choisir ?

on a les coordonnées : $xx' + yy'$ ;
on a des longueurs et un angle : $\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ ;
on a une figure avec un angle droit : la projection ;
on a trois longueurs : les identités remarquables (ou Al-Kashi).

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L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Forme	Expression
Normes et angle	$\vec{u} \cdot \vec{v} = \\|\vec{u}\\| \\|\vec{v}\\| \cos\theta$
Coordonnées	$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$
Projection	$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$
Carré scalaire	$\vec{u} \cdot \vec{u} = \\|\vec{u}\\|^2$
Orthogonalité	$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
Al-Kashi	$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$

Pièges à éviter

Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur.
La formule $xx' + yy'$ n'est valable que dans un repère orthonormé.
Avec la projection, attention au signe (sens de $\overrightarrow{AH}$).

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Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Avec les coordonnéesNiveau 1

Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ :
a) $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ $\quad$
b) $\vec{u}\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\quad$
c) $\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$

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a) $3 \times 1 + 2 \times 4 = \mathbf{11}$.

b) $-1 \times 2 + 5 \times 3 = \mathbf{13}$.

c) $4 \times 3 + (-2) \times 6 = \mathbf{0}$ : ces vecteurs sont orthogonaux.

Exercice 2—Orthogonaux ?Niveau 1

Les vecteurs suivants sont-ils orthogonaux ?
a) $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ $\quad$
b) $\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix}$ $\quad$
c) $\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix}$

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a) $2 \times (-3) + 3 \times 2 = 0$ : oui.

b) $1 \times (-5) + 5 \times 1 = 0$ : oui.

c) $3 \times 2 + (-1) \times 7 = -1 \ne 0$ : non.

Astuce

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$ sont toujours orthogonaux.

Exercice 3—Avec les normes et l'angleNiveau 1

On donne $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 4$ et l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ égal à $\dfrac{\pi}{3}$. Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$, puis $\|\vec{u} + \vec{v}\|$.

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$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 \times \cos\dfrac{\pi}{3} = 12 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{6}$. $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = 9 + 2 \times 6 + 16 = 37$, donc $\|\vec{u} + \vec{v}\| = \mathbf{\sqrt{37}} \approx 6{,}08$.

Exercice 4—Rectangle en $A$ ?Niveau 1

Soit $A(1 ; 3)$, $B(5 ; 1)$ et $C(4 ; 6)$. Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?

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$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 12 - 6 = \mathbf{6} \ne 0$. Le triangle n'est pas rectangle en $A$.

Exercice 5—Dans un carréNiveau 1

$ABCD$ est un carré de côté $4$. Calcule, à l'aide de projections :
a) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ $\quad$
b) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ $\quad$
c) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$

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a) Le projeté de $C$ sur $(AB)$ est $B$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AB = \mathbf{16}$.

b) $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont orthogonaux : $\mathbf{0}$.

c) $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -AB^2 = \mathbf{-16}$.

Exercice 6—NormesNiveau 1

a) Calcule la norme de $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$.
b) Calcule la distance $AB$ pour $A(-1 ; 2)$ et $B(2 ; 6)$.

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a) $\|\vec{u}\| = \sqrt{9 + 16} = \mathbf{5}$.

b) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $AB = \sqrt{9 + 16} = \mathbf{5}$.

Exercice 7—Avec les coordonnéesNiveau 1

Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ pour $\vec{u}(2 ; 3)$ et $\vec{v}(4 ; -1)$.

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$xx' + yy' = 8 - 3 = \mathbf{5}$.

Exercice 8—Orthogonaux ?Niveau 1

Les vecteurs $\vec{u}(3 ; -2)$ et $\vec{v}(4 ; 6)$ sont-ils orthogonaux ?

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$12 - 12 = 0$ : oui, ils sont orthogonaux.

Exercice 9—Avec l'angleNiveau 1

$\|\vec{u}\| = 4$, $\|\vec{v}\| = 5$ et l'angle entre eux mesure $60°$. Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

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$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos 60° = 4 \times 5 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{10}$.

Exercice 10—Triangle rectangle ?Niveau 1

Soient $A(1 ; 1)$, $B(4 ; 2)$ et $C(0 ; 4)$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?

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$\overrightarrow{AB}(3 ; 1)$, $\overrightarrow{AC}(-1 ; 3)$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -3 + 3 = 0$. Oui, rectangle en $A$.

Exercice 11—Dans un carréNiveau 1

$ABCD$ est un carré de côté $4$. Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$.

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🎯 Projection : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$ où $H$ est le projeté de $C$ sur $(AB)$.

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AB = \mathbf{16}$ (le projeté de $C$ est $B$). $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = \mathbf{0}$ (orthogonaux). $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -16$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Calculer un angleNiveau 2

Calcule l'angle formé par $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.

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$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 + 2 = 5$ ; $\|\vec{u}\| = \sqrt{5}$ ; $\|\vec{v}\| = \sqrt{10}$. $\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Donc $\theta = \mathbf{\dfrac{\pi}{4}}$ ($45°$).

Exercice 13—Al-KashiNiveau 2

Dans le triangle $ABC$, $AB = 5$, $AC = 7$ et $\widehat{A} = 60°$.
a) Calcule $BC$ (valeur exacte et arrondi au centième).
b) Calcule l'aire du triangle (on rappelle que l'aire vaut $\dfrac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin\widehat{A}$).

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a) $BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° = 25 + 49 - 35 = 39$, donc $BC = \mathbf{\sqrt{39}} \approx \mathbf{6{,}24}$.

b) $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{\dfrac{35\sqrt{3}}{4}} \approx 15{,}16$.

Exercice 14—ParamètreNiveau 2

Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} m \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ m - 5 \end{pmatrix}$ sont-ils orthogonaux ?

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$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2m + 3(m - 5) = 5m - 15 = 0$, donc $\mathbf{m = 3}$.

Exercice 15—Un triangle rectangleNiveau 2

Soit $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 1)$ et $C(2 ; 5)$.
a) Montre que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
b) Calcule son aire.

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a) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 - 3 = 0$. Rectangle en $A$. ✓

b) $AB = \sqrt{10}$, $AC = \sqrt{10}$ : $\mathcal{A} = \dfrac{\sqrt{10} \times \sqrt{10}}{2} = \mathbf{5}$.

Exercice 16—Avec trois longueursNiveau 2

On sait que $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 3$ et $\|\vec{u} - \vec{v}\| = 4$.
a) Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
b) Calcule $\|\vec{u} + \vec{v}\|$.

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a) $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ : $16 = 4 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + 9$, donc $\vec{u} \cdot \vec{v} = \mathbf{-1{,}5}$.

b) $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = 4 + 2 \times (-1{,}5) + 9 = 10$, donc $\|\vec{u} + \vec{v}\| = \mathbf{\sqrt{10}}$.

Exercice 17—Un angle d'un triangleNiveau 2

Un triangle a pour côtés $a = BC = 7$, $b = AC = 5$ et $c = AB = 8$. Calcule l'angle $\widehat{A}$.

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Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$, donc $\cos\widehat{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$ $\widehat{A} = \mathbf{60°}$.

Exercice 18—DévelopperNiveau 2

On sait que $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 1$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$. Calcule $(\vec{u} + 2\vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$.

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$(\vec{u} + 2\vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{v} + 2\vec{v} \cdot \vec{u} - 2\vec{v} \cdot \vec{v} = 4 - 1 + 2 - 2 = \mathbf{3}$

Exercice 19—ProjectionNiveau 2

Dans un triangle $ABC$, on a $AB = 6$. Le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(AB)$ appartient au segment $[AB]$ et $AH = 2$.
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
b) Calcule $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$.

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a) $H \in [AB]$, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ont le même sens : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH = 6 \times 2 = \mathbf{12}$.

b) Le projeté de $C$ sur $(AB)$ est toujours $H$, et $BH = 6 - 2 = 4$ : $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = BA \times BH = \mathbf{24}$.

Exercice 20—Calculer un angleNiveau 2

Calcule l'angle entre $\vec{u}(3 ; 4)$ et $\vec{v}(4 ; 3)$, au dixième de degré.

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$\cos\theta = \dfrac{12 + 12}{5 \times 5} = 0{,}96$, donc $\theta \approx \mathbf{16{,}3°}$.

Exercice 21—Al-KashiNiveau 2

Dans un triangle $ABC$, $AC = 5$, $AB = 7$ et $\widehat{BAC} = 60°$. Calcule $BC$.

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$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos 60° = 49 + 25 - 35 = 39$, $BC = \sqrt{39} \approx \mathbf{6{,}24}$.

Exercice 22—Un angle à partir des côtésNiveau 2

Un triangle a pour côtés $7$, $8$ et $13$. Calcule son plus grand angle.

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Le plus grand angle est opposé au plus grand côté : $\cos\gamma = \dfrac{7^2 + 8^2 - 13^2}{2 \times 7 \times 8} = \dfrac{-56}{112} = -\dfrac{1}{2}$, donc $\gamma = \mathbf{120°}$.

Exercice 23—ParamètreNiveau 2

Détermine $m$ pour que $\vec{u}(m ; 2)$ et $\vec{v}(3 ; -6)$ soient orthogonaux.

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$3m - 12 = 0 \iff \mathbf{m = 4}$.

Exercice 24—Norme d'une sommeNiveau 2

On sait que $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 4$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -2$. Calcule $\|\vec{u} + \vec{v}\|$.

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$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 = 9 - 4 + 16 = 21$, donc $\|\vec{u} + \vec{v}\| = \mathbf{\sqrt{21}}$.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Le théorème de la médianeNiveau 3

$I$ est le milieu de $[AB]$ et $M$ un point quelconque.
a) En écrivant $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}$, montre que $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \dfrac{AB^2}{2}$.
b) Application : $AB = 6$ et $MI = 4$. Calcule $MA^2 + MB^2$.

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a) $\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}$ et $IA = \dfrac{AB}{2}$. $MA^2 = MI^2 + 2\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IA} + IA^2 \qquad MB^2 = MI^2 - 2\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IA} + IA^2$ En additionnant : $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + 2IA^2 = 2MI^2 + \dfrac{AB^2}{2}$. $\square$

b) $2 \times 16 + \dfrac{36}{2} = 32 + 18 = \mathbf{50}$.

Exercice 26—Un ensemble de pointsNiveau 3

On donne $A(-2 ; 0)$ et $B(2 ; 0)$. On cherche les points $M(x ; y)$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
a) Montre que cette condition s'écrit $x^2 + y^2 = 4$.
b) Reconnais l'ensemble de ces points.

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a) $\overrightarrow{MA}\begin{pmatrix} -2 - x \\ -y \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix} 2 - x \\ -y \end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (-2 - x)(2 - x) + y^2 = x^2 - 4 + y^2$ La condition équivaut à $x^2 + y^2 = 4$.

b) Ce sont les points à la distance $2$ de l'origine : le cercle de centre $O$ et de rayon $2$, c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$.

Exercice 27—L'orthocentreNiveau 3

On donne $A(0 ; 0)$, $B(4 ; 0)$ et $C(1 ; 3)$.
a) Justifie que la hauteur issue de $C$ a pour équation $x = 1$.
b) Montre que le point $H(1 ; 1)$ vérifie $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ et $\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.
c) Que représente $H$ pour le triangle ?

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a) $(AB)$ est l'axe des abscisses ; la hauteur issue de $C$ lui est perpendiculaire et passe par $C(1 ; 3)$ : c'est la droite $x = 1$.

b) $\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}$ : $-3 + 3 = 0$ ✓. $\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ : $-3 + 3 = 0$ ✓.

c) $H$ est sur les trois hauteurs ($x_H = 1$, $(AH) \perp (BC)$, $(BH) \perp (AC)$) : c'est l'orthocentre du triangle.

Exercice 28—NavigationNiveau 3

Un bateau parcourt $8$ km vers l'est, puis $5$ km dans une direction qui fait un angle de $110°$ avec sa première trajectoire (angle mesuré au point de virage, dans le triangle formé). Quelle est la distance (au centième de km) entre son point de départ et son point d'arrivée ?

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Le triangle formé a deux côtés de $8$ km et $5$ km et un angle de $110°$ entre eux. Al-Kashi : $d^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \times 8 \times 5 \times \cos 110° \approx 64 + 25 + 27{,}36 = 116{,}36$ $d \approx \mathbf{10{,}79}$ km.

Exercice 29—Une autre formuleNiveau 3

a) Montre que $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{4}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$.
b) Application : $\|\vec{u} + \vec{v}\| = 5$ et $\|\vec{u} - \vec{v}\| = 3$. Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

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a) $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = (\|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2) - (\|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2) = 4\,\vec{u} \cdot \vec{v}$. $\square$

b) $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{25 - 9}{4} = \mathbf{4}$.

Exercice 30—SynthèseNiveau 3

On donne $A(0 ; 0)$, $B(6 ; 0)$ et $C(2 ; 4)$ dans un repère orthonormé.
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ avec les coordonnées.
b) Déduis-en une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ (au dixième de degré).
c) Détermine le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(AB)$ et retrouve le résultat du a).
d) Calcule $BC$ et vérifie la formule d'Al-Kashi.

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a) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \mathbf{12}$.

b) $AB = 6$, $AC = \sqrt{20}$ : $\cos\widehat{BAC} = \dfrac{12}{6\sqrt{20}} = \dfrac{2}{\sqrt{20}} \approx 0{,}447$, donc $\widehat{BAC} \approx \mathbf{63{,}4°}$.

c) $(AB)$ est l'axe des abscisses : $H(2 ; 0)$, et $AH = 2$ dans le même sens que $\overrightarrow{AB}$. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 \times 2 = 12$ ✓

d) $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \end{pmatrix}$, $BC^2 = 32$. Al-Kashi : $AB^2 + AC^2 - 2\,\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 36 + 20 - 24 = 32$ ✓