\(\pi \text{ rad} = 180°\), donc \(\text{mesure en rad} = \text{mesure en degrés} \times \dfrac{\pi}{180}\).
| Degrés | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90°\) | \(180°\) | \(360°\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(2\pi\) |
À chaque réel \(x\), on associe le point \(M\) du cercle obtenu en parcourant un arc de longueur \(|x|\) à partir de \(I(1 ; 0)\), dans le sens direct si \(x > 0\). Les réels \(x\) et \(x + 2\pi\) donnent le même point.
Si \(M\) est le point du cercle trigonométrique associé au réel \(x\), alors \(\cos x\) est l'abscisse de \(M\) et \(\sin x\) est son ordonnée.
Pour tout réel \(x\),
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) |
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(0\) |
On les retrouve par symétrie sur le cercle :
\(\cos\dfrac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
On repère sur le cercle les points d'abscisse \(a\) (ou d'ordonnée \(a\)), puis on lit les réels correspondants dans l'intervalle. Sur \([0 ; 2\pi[\), \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) donne \(x = \dfrac{\pi}{3}\) ou \(x = \dfrac{5\pi}{3}\).
Les fonctions cosinus et sinus sont \(2\pi\)-périodiques ; cosinus est paire et sinus est impaire. Leurs courbes sont des « vagues » (sinusoïdes).
Contenu facultatif, non exigible.
En terminale, tu dériveras les fonctions cosinus et sinus et tu étudieras leurs variations.
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Radian | \(\pi \text{ rad} = 180°\) ; un tour \(= 2\pi\) |
| Point associé | \(M(\cos x ; \sin x)\) sur le cercle de rayon \(1\) |
| Relation | \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) |
| Périodicité | \(x\) et \(x + 2k\pi\) donnent le même point |
| \(-x\) | \(\cos(-x) = \cos x\), \(\sin(-x) = -\sin x\) |
| \(\pi - x\) | \(\cos(\pi - x) = -\cos x\), \(\sin(\pi - x) = \sin x\) |
| \(\pi + x\) | \(\cos\) et \(\sin\) changent de signe |
Convertis en radians :
a) \(90°\)
b) \(150°\)
c) \(270°\)
d) \(-30°\)
degrés \(\times\dfrac{\pi}{180}\) = radians. On simplifie la fraction.
Étape 1 — Appliquer la formule \[90° \to \dfrac{90\pi}{180} = \boxed{\dfrac{\pi}{2}}, \qquad 150° \to \dfrac{150\pi}{180} = \boxed{\dfrac{5\pi}{6}}\] \[270° \to \dfrac{270\pi}{180} = \boxed{\dfrac{3\pi}{2}}, \qquad -30° \to \dfrac{-30\pi}{180} = \boxed{-\dfrac{\pi}{6}}\]
Calcule sans calculatrice :
a) \(\cos\dfrac{\pi}{3}\) \(\quad\)
b) \(\sin\dfrac{5\pi}{6}\) \(\quad\)
c) \(\cos\dfrac{3\pi}{4}\) \(\quad\)
d) \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\)
a) \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\).
b) \(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\) : \(\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\).
c) \(\dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4}\) : \(\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\cos\dfrac{\pi}{4} = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\).
d) \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = \mathbf{-\dfrac{1}{2}}\).
Si \(\cos\theta = \dfrac{3}{5}\) et \(\theta \in [0;\dfrac{\pi}{2}]\), calcule \(\sin\theta\).
\(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) ; le quadrant fixe le signe.
Étape 1 — Isoler \(\sin^2\theta\) \[\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\]
Étape 2 — Choisir le signe (\(\theta\in[0;\frac\pi2]\) → \(\sin\theta\geq0\)) \[\boxed{\sin\theta = \dfrac{4}{5}}\]
🔍 Vérification : \(\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2 = \frac{9+16}{25}=1\) ✓
Calcule en utilisant la périodicité :
a) \(\cos(5\pi)\)
b) \(\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right)\)
c) \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\)
(\(2\pi\)) et parité (\(\cos\) pair) pour se ramener à un angle connu.
a) \(\cos(5\pi)\) : \(5\pi=4\pi+\pi\), on retire \(4\pi=2\times2\pi\) \[\cos(5\pi) = \cos(\pi) = \boxed{-1}\]
b) \(\sin\dfrac{13\pi}{6}\) : \(\dfrac{13\pi}{6}=2\pi+\dfrac{\pi}{6}\) \[\sin\dfrac{13\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \boxed{\dfrac{1}{2}}\]
c) \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\) : cosinus pair \[\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \boxed{\dfrac{1}{2}}\]
Résous sur \([0;2\pi[\) :
a) \(\cos x = \dfrac{1}{2}\)
b) \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
trouver l'angle de référence puis placer toutes les solutions par symétrie.
a) \(\cos x=\frac12\) (solutions symétriques par rapport à l'axe horizontal : \(\alpha\) et \(2\pi-\alpha\)) \[\boxed{x = \dfrac{\pi}{3} \ \text{ou} \ x = \dfrac{5\pi}{3}}\]
b) \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\) (sinus négatif → 3ᵉ et 4ᵉ quadrants) \[\boxed{x = \dfrac{5\pi}{4} \ \text{ou} \ x = \dfrac{7\pi}{4}}\]
Pour \(\cos x=a\) les solutions sont \(\pm\alpha\) ; pour \(\sin x=a\) elles sont \(\alpha\) et \(\pi-\alpha\). Ne pas mélanger.
Sur le cercle trigonométrique, place les points associés aux réels \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(-\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{7\pi}{6}\) et \(\dfrac{5\pi}{2}\). Pour chacun, donne le signe de son cosinus et de son sinus.
| Réel | Position | \(\cos\) | \(\sin\) |
|---|---|---|---|
| \(\dfrac{2\pi}{3}\) (\(120°\)) | en haut à gauche | \(-\) | \(+\) |
| \(-\dfrac{\pi}{4}\) (\(-45°\)) | en bas à droite | \(+\) | \(-\) |
| \(\dfrac{7\pi}{6}\) (\(210°\)) | en bas à gauche | \(-\) | \(-\) |
| \(\dfrac{5\pi}{2} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}\) | au point \(J(0 ; 1)\) | \(0\) | \(+\) (\(= 1\)) |
a) Convertis en radians : \(60°\) et \(135°\).
b) Convertis en degrés : \(\dfrac{5\pi}{6}\).
🎯 \(180° = \pi\) rad.
a) \(60° = \mathbf{\dfrac{\pi}{3}}\) ; \(135° = \mathbf{\dfrac{3\pi}{4}}\). b) \(\dfrac{5 \times 180}{6} = \mathbf{150°}\).
Donne : \(\cos\dfrac{\pi}{3}\), \(\sin\dfrac{\pi}{4}\), \(\cos\pi\), \(\sin\dfrac{\pi}{6}\).
\(\mathbf{\dfrac{1}{2}}\) ; \(\mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\) ; \(\mathbf{-1}\) ; \(\mathbf{\dfrac{1}{2}}\).
On sait que \(\cos x = \dfrac{3}{5}\) et \(x \in \left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\). Calcule \(\sin x\).
\(\sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\) ; \(x \in \left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\) donc \(\sin x \geqslant 0\) : \(\sin x = \mathbf{\dfrac{4}{5}}\).
Donne la mesure principale (dans \(]-\pi ; \pi]\)) de :
a) \(\dfrac{17\pi}{6}\) \(\quad\)
b) \(-\dfrac{7\pi}{4}\)
a) \(\dfrac{17\pi}{6} - 2\pi = \mathbf{\dfrac{5\pi}{6}}\). b) \(-\dfrac{7\pi}{4} + 2\pi = \mathbf{\dfrac{\pi}{4}}\).
Calcule \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\) en remarquant que \(\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}\).
\(\cos(\pi - x) = -\cos x\), donc \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3} = \mathbf{-\dfrac{1}{2}}\).
En utilisant les angles associés, calcule :
a) \(\cos\dfrac{5\pi}{6}\) \(\quad\)
b) \(\sin\dfrac{7\pi}{6}\) \(\quad\)
c) \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\) \(\quad\)
d) \(\sin\dfrac{2\pi}{3}\)
a) \(\cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{6} = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\).
b) \(\sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = \mathbf{-\dfrac{1}{2}}\).
c) \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4} = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\).
d) \(\sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\).
On sait que \(\sin x = -\dfrac{4}{5}\) et que \(x \in \left[-\dfrac{\pi}{2} ; 0\right]\). Calcule \(\cos x\).
\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}\), donc \(\cos x = \dfrac{3}{5}\) ou \(\cos x = -\dfrac{3}{5}\). Sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2} ; 0\right]\), le point est en bas à droite : \(\cos x \geqslant 0\). Donc \(\cos x = \mathbf{\dfrac{3}{5}}\).
Pour chaque réel, trouve le réel de \(]-\pi ; \pi]\) associé au même point du cercle :
a) \(\dfrac{17\pi}{4}\) \(\quad\)
b) \(-\dfrac{11\pi}{6}\) \(\quad\)
c) \(\dfrac{25\pi}{3}\)
🎯 On ajoute ou on retire des multiples de \(2\pi\).
a) \(\dfrac{17\pi}{4} = 4\pi + \dfrac{\pi}{4}\) : \(\mathbf{\dfrac{\pi}{4}}\).
b) \(-\dfrac{11\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{\pi}{6}\) : \(\mathbf{\dfrac{\pi}{6}}\).
c) \(\dfrac{25\pi}{3} = 8\pi + \dfrac{\pi}{3}\) : \(\mathbf{\dfrac{\pi}{3}}\).
Résous sur \([0 ; 2\pi[\) :
a) \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) \(\quad\)
b) \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
a) \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\), donc \(\cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}\) et \(\cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}\). \(S = \left\{\mathbf{\dfrac{2\pi}{3} ; \dfrac{4\pi}{3}}\right\}\).
b) \(\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). \(S = \left\{\mathbf{\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{2\pi}{3}}\right\}\).
Résous \(\sin x > \dfrac{1}{2}\) sur \([0;2\pi[\).
repérer sur le cercle l'arc où \(\sin x>\frac12\).
Étape 1 — Bornes : \(\sin x=\frac12\) en \(x=\frac\pi6\) et \(x=\frac{5\pi}6\).
Étape 2 — Sélectionner l'arc où le sinus (l'ordonnée) dépasse \(\frac12\) : entre ces deux valeurs. \[\boxed{S = \left]\dfrac\pi6\,;\,\dfrac{5\pi}6\right[}\]
\(\sin x>\frac12\) correspond à la portion de cercle au-dessus de la droite horizontale \(y=\frac12\).
Trace la courbe de \(f(x) = 2\sin(x) + 1\) sur \([0;2\pi]\).
\(2\sin x+1\) = sinusoïde d'amplitude \(2\) décalée de \(+1\) verticalement.
Étape 1 — Amplitude et décalage
\(f(x)=2\sin x + 1\) : amplitude \(2\), valeur moyenne \(1\) → min \(=-1\), max \(=3\).
Étape 2 — Zéros \[2\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -\dfrac12 \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{7\pi}6 \ \text{ou} \ x = \dfrac{11\pi}6}\]
Étape 3 — Allure
| \(x\) | \(0\) | \(\frac\pi2\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}2\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(1\) | \(3\) | \(1\) | \(-1\) | \(1\) |
Sinusoïde oscillant entre \(-1\) et \(3\), période \(2\pi\).
Sur un cercle de rayon \(R\), un angle de \(\theta\) radians intercepte un arc de longueur \(R\theta\).
a) Une roue de \(30\) cm de rayon tourne de \(2{,}5\) rad. Quelle distance parcourt un point de la jante ?
b) De quel angle (en rad, puis en degrés) doit-elle tourner pour avancer de \(1\) m ?
a) \(30 \times 2{,}5 = \mathbf{75}\) cm.
b) \(\theta = \dfrac{100}{30} = \dfrac{10}{3} \approx \mathbf{3{,}33}\) rad, soit \(\dfrac{10}{3} \times \dfrac{180}{\pi} \approx \mathbf{191°}\).
Résous \(\cos x \geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) sur \(]-\pi ; \pi]\).
Les points du cercle d'abscisse \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) correspondent à \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(-\dfrac{\pi}{4}\). Les points d'abscisse supérieure sont sur l'arc de droite, entre ces deux points. \(S = \mathbf{\left[-\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{4}\right]}\).
Résous \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) sur \([0 ; 2\pi[\).
Sur le cercle, deux points ont pour abscisse \(\dfrac{1}{2}\) : \(\mathcal{S} = \mathbf{\left\{\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{5\pi}{3}\right\}}\).
Résous \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) sur \(]-\pi ; \pi]\).
Deux points d'ordonnée \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) : \(\mathcal{S} = \mathbf{\left\{-\dfrac{\pi}{4} ; -\dfrac{3\pi}{4}\right\}}\).
Sur un cercle de rayon \(5\) cm, calcule la longueur de l'arc intercepté par un angle de \(\dfrac{\pi}{3}\) rad.
\(\ell = r\theta = 5 \times \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3} \approx \mathbf{5{,}24}\) cm.
Résous \(\cos x \geqslant 0\) sur \([0 ; 2\pi[\).
Abscisse positive : moitié droite du cercle. \(\mathcal{S} = \mathbf{\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right] \cup \left[\dfrac{3\pi}{2} ; 2\pi\right[}\).
Simplifie \(A = \cos(x + \pi) + \cos(-x) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\).
\(\cos(x + \pi) = -\cos x\) ; \(\cos(-x) = \cos x\) ; \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x\). \(A = -\cos x + \cos x + \cos x = \mathbf{\cos x}\).
On sait que \(\cos x = -0{,}6\) et \(x \in \left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]\).
a) Calcule \(\sin x\).
b) Déduis-en \(\sin(\pi - x)\), \(\cos(\pi + x)\) et \(\sin(-x)\).
a) \(\sin^2 x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\) ; sur \(\left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]\), \(\sin x \geqslant 0\), donc \(\sin x = \mathbf{0{,}8}\).
b) \(\sin(\pi - x) = \sin x = \mathbf{0{,}8}\) ; \(\cos(\pi + x) = -\cos x = \mathbf{0{,}6}\) ; \(\sin(-x) = -\sin x = \mathbf{-0{,}8}\).
Résous sur \(\mathbb{R}\) : \[2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0\]
poser \(u=\cos x\).
Étape 1 — Substitution \(u=\cos x\) \[2u^2 - 3u + 1 = 0 \Rightarrow (2u-1)(u-1) = 0 \Rightarrow u=\tfrac12 \text{ ou } u=1\]
Étape 2 — Revenir à \(x\) \[\cos x = \tfrac12 \Rightarrow x = \pm\tfrac\pi3 + 2k\pi \ ; \qquad \cos x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi\] \[\boxed{x = \pm\dfrac\pi3 + 2k\pi \ \text{ou} \ x = 2k\pi, \ k\in\mathbb{Z}}\]
Ici \(u=\frac12\) et \(u=1\) sont bien dans \([-1;1]\), donc acceptables. Une valeur hors de \([-1;1]\) serait à rejeter.
Résous sur \([0 ; 2\pi[\) l'équation \(2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\). (On pourra poser \(X = \sin x\).)
On résout \(2X^2 + X - 1 = 0\) : \(\Delta = 1 + 8 = 9\), donc \(X = \dfrac{-1 - 3}{4} = -1\) ou \(X = \dfrac{-1 + 3}{4} = \dfrac{1}{2}\).
\(S = \left\{\mathbf{\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6} ; \dfrac{3\pi}{2}}\right\}\).
Soit \(f(x) = \sin x \times \cos x\) pour \(x \in \mathbb{R}\).
a) Montre que \(f\) est impaire.
b) Montre que \(f(x + \pi) = f(x)\) pour tout réel \(x\). Que peut-on en déduire ?
a) \(f(-x) = \sin(-x)\cos(-x) = (-\sin x)\cos x = -f(x)\) : \(f\) est impaire.
b) \(f(x + \pi) = \sin(x + \pi)\cos(x + \pi) = (-\sin x)(-\cos x) = \sin x\cos x = f(x)\). La fonction \(f\) est \(\pi\)-périodique : sa courbe se répète tous les \(\pi\) (il suffit de l'étudier sur un intervalle de longueur \(\pi\)).
Combien l'équation \(\sin x = k\) a-t-elle de solutions dans \([0 ; 2\pi[\) pour :
a) \(k = 0{,}3\) \(\quad\)
b) \(k = 1\) \(\quad\)
c) \(k = -1{,}2\) \(\quad\)
d) \(k = 0\) ?
Justifie à l'aide du cercle trigonométrique.
On compte les points du cercle d'ordonnée \(k\) (intersection avec la droite horizontale \(y = k\)).
a) \(0 < 0{,}3 < 1\) : la droite coupe le cercle en \(2\) points, donc \(2\) solutions.
b) La droite \(y = 1\) touche le cercle seulement en \(J\) : \(1\) solution (\(\dfrac{\pi}{2}\)).
c) \(-1{,}2 < -1\) : la droite ne coupe pas le cercle, aucune solution.
d) \(\sin x = 0\) : points \(I\) et le point d'abscisse \(-1\), soit \(2\) solutions (\(0\) et \(\pi\)).
Une grande roue a un rayon de \(20\) m et son centre est à \(22\) m du sol. Une nacelle part du point le plus bas. Après avoir tourné d'un angle \(\theta\) (en radians), elle est à la hauteur \(h(\theta) = 22 - 20\cos\theta\) (en m).
a) Calcule \(h(0)\), \(h\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) et \(h(\pi)\). Interprète.
b) Pour quels angles \(\theta \in [0 ; 2\pi[\) la nacelle est-elle à \(32\) m de haut ?
c) La roue fait un tour en \(10\) minutes. Exprime \(\theta\) en fonction du temps \(t\) (en min), puis donne la hauteur au bout de \(2{,}5\) min.
a) \(h(0) = 22 - 20 = \mathbf{2}\) m (point le plus bas) ; \(h\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \mathbf{22}\) m (hauteur du centre) ; \(h(\pi) = 22 + 20 = \mathbf{42}\) m (point le plus haut).
b) \(22 - 20\cos\theta = 32\) donne \(\cos\theta = -\dfrac{1}{2}\), soit \(\theta = \mathbf{\dfrac{2\pi}{3}}\) ou \(\theta = \mathbf{\dfrac{4\pi}{3}}\).
c) \(2\pi\) rad en \(10\) min : \(\theta = \dfrac{2\pi}{10}t = \dfrac{\pi t}{5}\). Pour \(t = 2{,}5\) : \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\), et \(h = \mathbf{22}\) m.
