Exercices supplémentaires

Partie a)

Stratégie : Pour une fraction de deux polynômes, on divise numérateur et dénominateur par la plus grande puissance du dénominateur.

On divise par \(x^2\) : \[\frac{3x^2 - x + 1}{x^2 + 4} = \frac{3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}}\]

Quand \(x \to +\infty\), les termes \(\frac{1}{x}\), \(\frac{1}{x^2}\), \(\frac{4}{x^2}\) tendent tous vers 0 : \[\lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{3 - 0 + 0}{1 + 0} = 3\]

Partie b)

Le terme dominant est \(2x^3\). Quand \(x \to -\infty\), \(x^3 \to -\infty\), donc \(2x^3 \to -\infty\). Les termes \(-5x+1\) sont négligeables.

\[\lim_{x \to -\infty} (2x^3 - 5x + 1) = -\infty\]

Étape 1 — Factoriser le numérateur \[\frac{x^2 + 3x}{x} = \frac{x(x + 3)}{x}\]

Étape 2 — Simplifier (pour \(x \neq 0\)) On peut simplifier par \(x\) car on s'approche de 0 sans jamais l'atteindre : \[\frac{x(x + 3)}{x} = x + 3 \quad \text{pour } x \neq 0\]

Étape 3 — Prendre la limite \[\lim_{x \to 0} (x + 3) = 0 + 3 = 3\]

La limite vaut 3. La forme initiale était indéterminée (\(\frac{0}{0}\)) mais la simplification a levé l'indétermination.

Limite en \(x = 2^+\) (approche par la droite)

Quand \(x \to 2^+\) (valeurs légèrement supérieures à 2) :

• Le numérateur \(x + 1 \to 3 > 0\)
• Le dénominateur \(x - 2 \to 0^+\) (positif et très petit)

Un nombre positif divisé par un nombre positif très petit donne \(+\infty\) : \[\lim_{x \to 2^+} \frac{x+1}{x-2} = +\infty\]

Limite en \(x = 2^-\) (approche par la gauche)

Quand \(x \to 2^-\) :

• Le numérateur \(x + 1 \to 3 > 0\)
• Le dénominateur \(x - 2 \to 0^-\) (négatif et très petit)

Positif divisé par négatif très petit : \(-\infty\) : \[\lim_{x \to 2^-} \frac{x+1}{x-2} = -\infty\]

La droite \(x = 2\) est une asymptote verticale.

Limite en \(x \to +\infty\)

On divise numérateur et dénominateur par \(x\) : \[\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \to \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1\]

La droite \(y = 1\) est une asymptote horizontale.

Étape 1 — Multiplier par la quantité conjuguée

On multiplie et divise par \(\sqrt{x+1} + \sqrt{x}\) : \[\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}\]

Étape 2 — Utiliser \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) \[= \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}\]

Étape 3 — Prendre la limite

Quand \(x \to +\infty\), le dénominateur \(\sqrt{x+1} + \sqrt{x} \to +\infty\), donc : \[\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = 0\]

Étape 1 — Calculer \(f(x) - 2x\)

Pour vérifier qu'une droite \(y = 2x\) est asymptote oblique, on calcule la différence et on vérifie qu'elle tend vers 0 : \[f(x) - 2x = \frac{2x^2 + 1}{x} - 2x = \frac{2x^2 + 1 - 2x^2}{x} = \frac{1}{x}\]

Étape 2 — Prendre la limite

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0\]

Puisque \(f(x) - 2x \to 0\) quand \(x \to \pm\infty\), la droite \(y = 2x\) est bien une asymptote oblique de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Partie a) — \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 5\)

On dérive terme par terme. Pour chaque terme \(ax^n\), la dérivée est \(anx^{n-1}\) : \[f'(x) = 3 \times 4x^3 - 2 \times 2x + 1 - 0\] \[f'(x) = 12x^3 - 4x + 1\]

Partie b) — \(g(x) = (2x + 1)^5\)

On utilise la règle de la dérivée d'une composée : si \(h(x) = u(x)^n\), alors \(h'(x) = n \cdot u'(x) \cdot u(x)^{n-1}\).

Ici \(u(x) = 2x + 1\), donc \(u'(x) = 2\), et \(n = 5\) : \[g'(x) = 5 \times 2 \times (2x + 1)^4 = 10(2x + 1)^4\]

Étape 1 — Calculer \(f(x_0)\) \[f(1) = 1 - 3 + 2 = 0\] Le point de tangence est \(A(1\,;\,0)\).

Étape 2 — Calculer \(f'(x_0)\) (pente de la tangente) \[f'(x) = 2x - 3\] \[f'(1) = 2(1) - 3 = -1\]

La pente de la tangente est \(-1\).

Étape 3 — Écrire l'équation de la tangente L'équation d'une tangente en \((x_0, f(x_0))\) est : \[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\] \[y = -1(x - 1) + 0\] \[y = -x + 1\]

Étape 1 — Calculer la dérivée \[f'(x) = 6x^2 - 6x - 12\]

Étape 2 — Résoudre \(f'(x) = 0\) \[6x^2 - 6x - 12 = 0\] \[x^2 - x - 2 = 0\] \[(x - 2)(x + 1) = 0\] \[x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -1\]

Étape 3 — Signe de \(f'(x)\)

Étape 4 — Identifier les extrema

• En \(x = -1\) : \(f'\) change de \(+\) à \(-\) → maximum local \[f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 4 = -2 - 3 + 12 + 4 = 11\]

• En \(x = 2\) : \(f'\) change de \(-\) à \(+\) → minimum local \[f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 4 = 16 - 12 - 24 + 4 = -16\]

Étape 1 — Calculer la vitesse (dérivée de la position) \[v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9\]

Étape 2 — Résoudre \(v(t) = 0\) \[3t^2 - 12t + 9 = 0\] \[t^2 - 4t + 3 = 0\] \[(t - 1)(t - 3) = 0\] \[t = 1 \text{ s} \quad \text{ou} \quad t = 3 \text{ s}\]

Étape 3 — Analyser les mouvements

• \(t = 0\) : \(s(0) = 0\) m
• \(t = 1\) : \(s(1) = 1 - 6 + 9 = 4\) m (arrêt, le mobile a avancé de 4 m)
• \(t = 3\) : \(s(3) = 27 - 54 + 27 = 0\) m (arrêt, le mobile est revenu à l'origine)
• \(t = 4\) : \(s(4) = 64 - 96 + 36 = 4\) m

Étape 4 — Distance totale parcourue Le mobile va de 0 à 4 (distance = 4), revient de 4 à 0 (distance = 4), repart de 0 à 4 (distance = 4) : \[d_{\text{totale}} = 4 + 4 + 4 = 12 \text{ m}\]

(Attention : distance parcourue ≠ déplacement total qui vaut \(s(4) - s(0) = 4\) m.)

Étape 1 — Calculer la dérivée \[f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}\]

Étape 2 — Étudier le signe de \(f'(x)\)

Le dénominateur \(x^2 > 0\) pour tout \(x \neq 0\). Le signe de \(f'(x)\) dépend du numérateur : \[x^2 - 1 \quad \text{est négatif pour } |x| < 1 \text{ et positif pour } |x| > 1\]

Sur \(]0\,;\,+\infty[\) :

• Pour \(0 < x < 1\) : \(x^2 < 1 \Rightarrow x^2 - 1 < 0 \Rightarrow f'(x) < 0\) → décroissante
• Pour \(x > 1\) : \(x^2 > 1 \Rightarrow x^2 - 1 > 0 \Rightarrow f'(x) > 0\) → croissante

Étape 3 — Minimum en \(x = 1\) \[f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2\]

La fonction atteint son minimum 2 en \(x = 1\).

Rappels fondamentaux : \(\ln(e^x) = x\) et \(e^{\ln x} = x\) (fonctions réciproques).

Partie a) : \(\ln(e^3) = 3\) (le logarithme « annule » l'exponentielle)

Partie b) : \(\ln(1) = 0\) car \(e^0 = 1\)

Partie c) : \(e^{\ln 5} = 5\) (l'exponentielle « annule » le logarithme)

Partie d) : \(\ln(e^{-2}) = -2\)

Partie a) — \(\ln(x + 2) = 3\)

Étape 1 : Appliquer l'exponentielle des deux membres (opération inverse du logarithme) : \[x + 2 = e^3\]

Étape 2 : Résoudre : \[x = e^3 - 2 \approx 20{,}09 - 2 = 18{,}09\]

Condition de validité : \(x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2\). On a \(18{,}09 > -2\) ✓

Partie b) — \(\ln(x^2 - 3) = \ln(x + 1)\)

Étape 1 : Si \(\ln(A) = \ln(B)\), alors \(A = B\) (le logarithme est une bijection) : \[x^2 - 3 = x + 1\] \[x^2 - x - 4 = 0\]

Étape 2 : Discriminant \(\Delta = 1 + 16 = 17\) : \[x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}\]

Étape 3 : Vérifier les conditions de validité (\(x^2 - 3 > 0\) et \(x + 1 > 0\)) :

• \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx 2{,}56\) : \(x_1 + 1 > 0\) ✓ et \(x_1^2 - 3 > 0\) ✓ → solution valide
• \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \approx -1{,}56\) : \(x_2 + 1 \approx -0{,}56 < 0\) → le logarithme n'est pas défini → rejeté

Partie a) — \(f(x) = \ln(3x + 1)\)

On utilise la dérivée de \(\ln(u)\) : \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\).

Ici \(u = 3x + 1\) et \(u' = 3\) : \[f'(x) = \frac{3}{3x + 1}\]

Partie b) — \(g(x) = x \ln x\)

On utilise la règle de dérivation du produit : \((uv)' = u'v + uv'\).

Avec \(u = x\) (donc \(u' = 1\)) et \(v = \ln x\) (donc \(v' = \frac{1}{x}\)) : \[g'(x) = 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} = \ln x + 1\]

Étape 1 — Calculer l'intensité pour 80 dB \[80 = 10 \log(I / 10^{-12})\] \[8 = \log(I / 10^{-12})\] \[I / 10^{-12} = 10^8\] \[I = 10^8 \times 10^{-12} = 10^{-4} \text{ W/m}^2\]

Étape 2 — Augmentation pour une intensité doublée Si \(I' = 2I\), le nouveau niveau est : \[L' = 10 \log(2I / I_0) = 10 [\log(2) + \log(I / I_0)] = L + 10\log(2)\] \[\Delta L = 10\log(2) \approx 10 \times 0{,}301 \approx 3 \text{ dB}\]

Doubler l'intensité sonore augmente le niveau de seulement 3 dB, ce qui est peu perceptible à l'oreille humaine.

Étape 1 — Conditions de validité

L'expression sous le logarithme doit être strictement positive : \[x^2 + 2x > 0 \Rightarrow x(x + 2) > 0 \Rightarrow x < -2 \text{ ou } x > 0\]

Étape 2 — Utiliser la monotonie de ln

Le logarithme est croissant, donc \(\ln(A) > \ln(B) \Leftrightarrow A > B\) (pour \(A, B > 0\)) : \[x^2 + 2x > 3\] \[x^2 + 2x - 3 > 0\] \[(x + 3)(x - 1) > 0\]

Étape 3 — Résoudre l'inéquation du second degré Le produit est positif pour \(x < -3\) ou \(x > 1\).

Étape 4 — Intersecter avec les conditions de validité

Conditions : \(x < -2\) ou \(x > 0\) Solutions de l'inéquation : \(x < -3\) ou \(x > 1\)

Intersection :

• \(x < -3\) satisfait \(x < -2\) ✓
• \(x > 1\) satisfait \(x > 0\) ✓

Solution finale : \(x \in ]-\infty\,;\,-3[ \cup ]1\,;\,+\infty[\)

Rappel des règles : \(e^a \times e^b = e^{a+b}\), \(\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}\), \((e^a)^n = e^{an}\).

Partie a) : \(e^2 \times e^5 = e^{2+5} = e^7\)

Partie b) : \(\dfrac{e^7}{e^3} = e^{7-3} = e^4\)

Partie c) : \((e^{2x})^3 = e^{2x \times 3} = e^{6x}\)

Partie a) — \(e^{2x} = e^{x+3}\)

La fonction exponentielle est injective (si \(e^A = e^B\) alors \(A = B\)) : \[2x = x + 3\] \[x = 3\]

Partie b) — \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\)

Substitution : On pose \(u = e^x\) (avec \(u > 0\)). Alors \(e^{2x} = u^2\) : \[u^2 - 5u + 6 = 0\] \[(u - 2)(u - 3) = 0\] \[u = 2 \quad \text{ou} \quad u = 3\]

Retour à \(x\) :

• \(e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2\)
• \(e^x = 3 \Rightarrow x = \ln 3\)

Les solutions sont \(x = \ln 2\) et \(x = \ln 3\).

Étape 1 — Expression du capital À chaque année, le capital est multiplié par \(1{,}03\). On peut l'écrire avec l'exponentielle : \[C(t) = 5000 \times (1{,}03)^t = 5000 \times e^{t \ln(1{,}03)}\]

Étape 2 — Résoudre \(C(t) = 10\,000\)

\[5000 \times (1{,}03)^t = 10\,000\] \[(1{,}03)^t = 2\] \[t \ln(1{,}03) = \ln(2)\] \[t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx \frac{0{,}6931}{0{,}02956} \approx 23{,}4 \text{ ans}\]

Le capital double en environ 23 ans et 5 mois.

Étape 1 — Trouver \(k\)

\(N(0) = 1000 \Rightarrow N_0 = 1000\)

\(N(2) = 1000 e^{2k} = 4000 \Rightarrow e^{2k} = 4\)

\[2k = \ln 4 \Rightarrow k = \frac{\ln 4}{2} = \ln 2 \approx 0{,}693 \text{ h}^{-1}\]

Étape 2 — Temps de doublement

On cherche \(t_d\) tel que \(N(t_d) = 2N_0\) : \[e^{kt_d} = 2 \Rightarrow t_d = \frac{\ln 2}{k} = \frac{\ln 2}{\ln 2} = 1 \text{ heure}\]

La population double toutes les 1 heure.

Vérification : À \(t = 2\) h (deux doublements), \(N = 1000 \times 2^2 = 4000\) ✓

Étape 1 — Identifier les deux facteurs \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\) avec \(u(x) = e^{x^2 - 1}\) et \(v(x) = \ln(x)\).

Étape 2 — Calculer chaque dérivée

Pour \(u = e^{x^2 - 1}\) : dérivée d'une composition \(e^g\) avec \(g = x^2 - 1\) et \(g' = 2x\) : \[u'(x) = 2x \cdot e^{x^2 - 1}\]

Pour \(v = \ln(x)\) : \[v'(x) = \frac{1}{x}\]

Étape 3 — Appliquer la règle du produit \[f'(x) = u'v + uv' = 2x e^{x^2-1} \cdot \ln(x) + e^{x^2-1} \cdot \frac{1}{x}\]

Étape 4 — Factoriser \[f'(x) = e^{x^2-1}\left(2x\ln(x) + \frac{1}{x}\right)\]

Partie a) — \(\displaystyle\int_0^3 (2x + 1)\, dx\)

Étape 1 : Trouver une primitive de \(2x + 1\). La primitive de \(2x\) est \(x^2\) et la primitive de \(1\) est \(x\) : \[F(x) = x^2 + x\]

Étape 2 : Appliquer la formule \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\) : \[F(3) - F(0) = (9 + 3) - (0 + 0) = 12\]

Partie b) — \(\displaystyle\int_1^4 \sqrt{x}\, dx\)

Une primitive de \(\sqrt{x}\) est \(F(x) = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}\). On le vérifie en dérivant : \(F'(x) = \dfrac{2}{3}\left(\sqrt{x} + x \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{2}\sqrt{x} = \sqrt{x}\) ✓ \[F(4) - F(1) = \frac{2}{3} \times 4 \times 2 - \frac{2}{3} \times 1 = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}\]

Étape 1 — Vérifier le signe de \(f\) \(f(x) = x^2 \geq 0\) sur \([1 ; 3]\). L'aire est directement donnée par l'intégrale.

Étape 2 — Calculer l'intégrale \[\text{Aire} = \int_1^3 x^2\, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \approx 8{,}67 \text{ unités}^2\]

Étape 1 — Trouver une primitive La primitive de \(e^{2x}\) est \(\dfrac{e^{2x}}{2}\) (car on divise par le coefficient devant \(x\)) : \[F(x) = \frac{e^{2x}}{2}\]

Étape 2 — Appliquer la formule \[\int_0^1 e^{2x}\, dx = F(1) - F(0) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^0}{2} = \frac{e^2 - 1}{2} \approx \frac{7{,}389 - 1}{2} \approx 3{,}19\]

Étape 1 — Trouver les intersections \[x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0\] Les courbes se croisent en \(x = -1\) et \(x = 2\).

Étape 2 — Identifier quelle courbe est au-dessus Pour \(x \in [-1 ; 2]\), tester \(x = 0\) : \(f(0) = 0\) et \(g(0) = 2\). Donc \(g > f\) sur \([-1 ; 2]\).

Étape 3 — Calculer l'aire \[\text{Aire} = \int_{-1}^{2} [g(x) - f(x)]\, dx = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\, dx\]

\[= \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}\]

En \(x = 2\) : \(\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} = 2 + 4 - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}\)

En \(x = -1\) : \(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = \frac{3 - 12 + 2}{6} = \frac{-7}{6}\)

\[\text{Aire} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4{,}5 \text{ unités}^2\]

Étape 1 — La distance est l'intégrale de la vitesse \[d = \int_0^2 v(t)\, dt = \int_0^2 (3e^{-t} + 2)\, dt\]

Étape 2 — Trouver les primitives

• Primitive de \(3e^{-t}\) : \(-3e^{-t}\) (on divise par le coefficient −1 devant \(t\))
• Primitive de \(2\) : \(2t\)

\[d = \left[-3e^{-t} + 2t\right]_0^2\]

Étape 3 — Calculer En \(t = 2\) : \(-3e^{-2} + 4 \approx -3 \times 0{,}135 + 4 = -0{,}406 + 4 = 3{,}594\)

En \(t = 0\) : \(-3e^0 + 0 = -3\)

\[d = 3{,}594 - (-3) = 6{,}594 \approx 6{,}6 \text{ m}\]

Calcul des premiers termes

• \(u_1 = 2 \times 3 - 1 = 5\)
• \(u_2 = 2 \times 5 - 1 = 9\)
• \(u_3 = 2 \times 9 - 1 = 17\)

Vérifier si arithmétique : les différences \(u_1 - u_0 = 2\), \(u_2 - u_1 = 4\), \(u_3 - u_2 = 8\) ne sont pas constantes. Non arithmétique.

Vérifier si géométrique : les rapports \(\frac{u_1}{u_0} = \frac{5}{3}\), \(\frac{u_2}{u_1} = \frac{9}{5}\) ne sont pas constants. Non géométrique.

Remarque : On peut transformer la suite en posant \(v_n = u_n - 1\). Alors \(v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 2 = 2(u_n - 1) = 2v_n\). La suite \((v_n)\) est géométrique de raison 2. Avec \(v_0 = u_0 - 1 = 2\) : \[v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1} \Rightarrow u_n = 2^{n+1} + 1\]

Étape 1 — Trouver la raison Dans une suite arithmétique : \(u_n = u_0 + nr\).

\(u_7 - u_3 = (7-3)r = 4r\), donc : \[4r = 23 - 11 = 12 \Rightarrow r = 3\]

Étape 2 — Trouver \(u_0\) \[u_3 = u_0 + 3r \Rightarrow 11 = u_0 + 9 \Rightarrow u_0 = 2\]

Étape 3 — Calculer la somme des 11 premiers termes La formule de la somme d'une suite arithmétique : \(S = \dfrac{n \times (u_{\text{premier}} + u_{\text{dernier}})}{2}\).

Avec 11 termes (de \(u_0\) à \(u_{10}\)) : \[u_{10} = 2 + 10 \times 3 = 32\] \[S = \frac{11 \times (2 + 32)}{2} = \frac{11 \times 34}{2} = 11 \times 17 = 187\]

Étape 1 — Exprimer la suite Le capital suit une suite géométrique de raison \(q = 1{,}04\) : \[C_n = 2000 \times 1{,}04^n\]

Étape 2 — Capital après 10 ans \[C_{10} = 2000 \times 1{,}04^{10} \approx 2000 \times 1{,}4802 \approx 2960 \text{ €}\]

Étape 3 — Dépasser 3 000 € \[2000 \times 1{,}04^n > 3000\] \[1{,}04^n > 1{,}5\] \[n \ln(1{,}04) > \ln(1{,}5)\] \[n > \frac{\ln(1{,}5)}{\ln(1{,}04)} \approx \frac{0{,}405}{0{,}0392} \approx 10{,}34\]

Le capital dépasse 3 000 € à partir de \(n = 11\) ans.

Étape 1 — Trouver la limite fixe (point fixe) Si la suite converge vers une limite \(L\), alors \(L = \dfrac{L + 4}{2} \Rightarrow 2L = L + 4 \Rightarrow L = 4\).

Étape 2 — Montrer que la suite est majorée par 4

Par récurrence : si \(u_n \leq 4\), alors : \[u_{n+1} = \frac{u_n + 4}{2} \leq \frac{4 + 4}{2} = 4\]

Pour \(u_0 = 0 \leq 4\) ✓. Par récurrence, \(u_n \leq 4\) pour tout \(n\). ✓

Étape 3 — Montrer que la suite est croissante

\[u_{n+1} - u_n = \frac{u_n + 4}{2} - u_n = \frac{4 - u_n}{2}\]

Comme \(u_n \leq 4\), on a \(4 - u_n \geq 0\), donc \(u_{n+1} - u_n \geq 0\). La suite est croissante. ✓

Étape 4 — Conclure Toute suite croissante et majorée est convergente (théorème de la limite monotone). Ici la limite est \(L = 4\).

Somme d'une suite géométrique de premier terme 1 et raison 3

La formule de la somme de \(n+1\) termes d'une suite géométrique \((q \neq 1)\) est : \[S_n = \sum_{k=0}^{n} 3^k = \frac{3^{n+1} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{n+1} - 1}{2}\]

Comme la raison \(q = 3 > 1\), cette somme tend vers \(+\infty\) quand \(n \to +\infty\).

Avec la raison \(q = \frac{1}{3}\)

La somme \(S_n' = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{3}\right)^k = \frac{1 - (1/3)^{n+1}}{1 - 1/3} = \frac{1 - (1/3)^{n+1}}{2/3} = \frac{3}{2}\left[1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right]\)

Comme \(\left|\frac{1}{3}\right| < 1\), on a \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} \to 0\) quand \(n \to +\infty\), donc : \[\lim_{n \to +\infty} S_n' = \frac{3}{2}(1 - 0) = \frac{3}{2}\]

La somme \(S'_n\) se rapproche de \(\dfrac{3}{2}\) quand on ajoute de plus en plus de termes.

\[P(X = 3) = \binom{6}{3} \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^3 = 20 \times \dfrac{1}{64} = \dfrac{20}{64} = \mathbf{0{,}3125}\]

a) On répète \(8\) fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de succès « pile » (\(p = 0{,}6\)). \(X\) compte les succès : \(X \sim \mathcal{B}(8\,;\,0{,}6)\).

b) \(P(X = 8) = 0{,}6^8 \approx \mathbf{0{,}0168}\).

« Au moins un pile » est le contraire de « aucun pile » : \(P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}4^8 \approx \mathbf{0{,}9993}\).

\(X \sim \mathcal{B}(200\,;\,0{,}15)\). \[E(X) = np = \mathbf{30} \qquad V(X) = np(1 - p) = 30 \times 0{,}85 = \mathbf{25{,}5} \qquad \sigma(X) = \sqrt{25{,}5} \approx \mathbf{5{,}05}\]

💡 Sur un grand nombre de groupes de \(200\) clients, il y a en moyenne \(30\) paiements par chèque par groupe.

🎯 Avec \(n\) lancers, \(P(\text{au moins un succès}) = 1 - 0{,}8^n\).

\[1 - 0{,}8^n \geqslant 0{,}99 \iff 0{,}8^n \leqslant 0{,}01 \iff n \ln 0{,}8 \leqslant \ln 0{,}01 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8} \approx 20{,}6\]

Il faut au moins \(21\) fléchettes.

🔍 \(1 - 0{,}8^{20} \approx 0{,}9885 < 0{,}99\) et \(1 - 0{,}8^{21} \approx 0{,}9908 \geqslant 0{,}99\) ✓

a) \(X \sim \mathcal{B}\left(3\,;\,\dfrac{1}{6}\right)\) :

🔍 \(125 + 75 + 15 + 1 = 216\) ✓

b) \(G = 5X - 2\). Par linéarité : \(E(G) = 5E(X) - 2 = 5 \times 3 \times \dfrac{1}{6} - 2 = 2{,}5 - 2 = \mathbf{0{,}5}\) €. \(E(G) > 0\) : le jeu est favorable au joueur (il gagne en moyenne \(0{,}50\) € par partie).

Rappels :

• \(n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n\)
• \(\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) (coefficient binomial)

Partie a) : \(5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120\)

Partie b) : \[\binom{7}{2} = \frac{7!}{2! \times 5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = \frac{42}{2} = 21\]

Partie c) : \[\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \times 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210\]

Nombre total de comités

Un comité est une sélection sans ordre de 3 personnes parmi 8 : \[\binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56\]

Comités avec Alice et Bob obligatoirement

Si Alice et Bob sont déjà dans le comité, il faut choisir le 3ème membre parmi les 6 restants : \[\binom{6}{1} = 6\]

Il y a 6 comités contenant Alice et Bob.

Formule du binôme de Newton : \[(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\]

Avec \(a = 1\), \(b = x\), \(n = 4\) : \[(1 + x)^4 = \binom{4}{0} + \binom{4}{1}x + \binom{4}{2}x^2 + \binom{4}{3}x^3 + \binom{4}{4}x^4\]

Calcul des coefficients : \[\binom{4}{0} = 1,\quad \binom{4}{1} = 4,\quad \binom{4}{2} = 6,\quad \binom{4}{3} = 4,\quad \binom{4}{4} = 1\]

Résultat : \[(1 + x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4\]

Mots de 3 lettres différentes (arrangements)

Un mot est une sélection ordonnée (l'ordre importe : ABC ≠ BAC).

Le nombre d'arrangements de 3 éléments parmi 4 est : \[A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 24\]

Interprétation : 4 choix pour la 1ère lettre, 3 pour la 2ème, 2 pour la 3ème → \(4 \times 3 \times 2 = 24\).

Permutations de 4 lettres

Une permutation utilise toutes les lettres dans un ordre quelconque : \[P_4 = 4! = 24\]

Il y a 24 permutations de 4 lettres distinctes.

Étape 1 — Nombre de combinaisons

On choisit 6 numéros parmi 49, sans tenir compte de l'ordre : \[\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \times 43!} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{720} = 13\,983\,816\]

Il y a 13 983 816 combinaisons possibles.

Étape 2 — Probabilité avec 1 grille \[P(\text{jackpot avec 1 grille}) = \frac{1}{13\,983\,816} \approx 7{,}15 \times 10^{-8}\]

Étape 3 — Probabilité avec 10 grilles

Les 10 grilles sont différentes, donc les événements sont disjoints (au plus une peut être gagnante) : \[P(\text{jackpot avec 10 grilles}) = \frac{10}{13\,983\,816} \approx 7{,}15 \times 10^{-7} \approx 0{,}000072\%\]

Même avec 10 grilles, la probabilité de gagner le jackpot est extrêmement faible (moins d'une chance sur un million).