Bac blanc — Sujet 1
Durée : 4 heures — Coefficient : 16 Calculatrice autorisée Total : 20 points
EXERCICE 1 (5 pts) — Suites et Récurrences
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A — Suite arithmético-géométrique
Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 12\) pour tout entier \(n \geq 0\).
1.a. Montrer que la suite \((v_n)\) définie par \(v_n = u_n - 30\) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. (1 pt)
1.b. Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\). (0,5 pt)
1.c. Déterminer la limite de \((u_n)\). (0,5 pt)
1.d. Un chercheur modélise la concentration (en mg/L) d'un médicament dans le sang par la suite \((u_n)\) où \(u_n\) est la concentration après la \(n\)-ième prise journalière. À partir de quelle prise la concentration dépasse-t-elle \(25\) mg/L ? (0,5 pt)
Partie B — Suite récurrente et convergence
Soit la suite \((w_n)\) définie par \(w_0 = 0\) et \(w_{n+1} = \dfrac{w_n + 1}{2}\) pour tout entier \(n \geq 0\).
2.a. Montrer par récurrence que pour tout \(n \geq 0\), \(0 \leq w_n \leq 1\). (0,5 pt)
2.b. Montrer que la suite \((w_n)\) est croissante. (0,5 pt)
2.c. Conclure que \((w_n)\) converge et déterminer sa limite. (0,5 pt)
2.d. Calculer \(w_0, w_1, w_2, w_3, w_4\) et représenter ces termes sur une frise numérique. (0,5 pt)
EXERCICE 2 (6 pts) — Fonctions et Équations Différentielles
Partie A — Étude d'une fonction
Soit \(f(x) = (2x - 1) e^{-x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).
1.a. Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)\). (0,5 pt)
1.b. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\). (1 pt)
1.c. Calculer \(f''(x)\) et montrer que la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet un point d'inflexion en \(x = \dfrac{5}{2}\). (0,75 pt)
1.d. Écrire l'équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(x = 0\). (0,5 pt)
Partie B — Calcul d'aire
2.a. Calculer \(\displaystyle I = \int_0^2 (2x - 1) e^{-x}\,\mathrm{d}x\) par intégration par parties. (1 pt)
2.b. Interpréter géométriquement la valeur de \(I\). (0,25 pt)
Partie C — Équation différentielle
On considère l'équation différentielle \((E) : y' + y = 2 e^{-x}\).
3.a. Résoudre l'équation homogène associée \(y' + y = 0\). (0,5 pt)
3.b. Vérifier que \(f(x) = (2x - 1) e^{-x}\) est une solution particulière de \((E)\). (0,5 pt)
3.c. En déduire la solution générale de \((E)\), puis la solution vérifiant \(y(0) = 2\). (1 pt)
EXERCICE 3 (4 pts) — Probabilités conditionnelles et loi binomiale
Une usine fabrique des boulons sur deux machines : la machine A produit \(60\,\%\) des boulons, la machine B le reste. \(3\,\%\) des boulons de la machine A et \(5\,\%\) de ceux de la machine B sont défectueux.
On prélève un boulon au hasard. On note \(A\) l'événement « le boulon vient de la machine A », \(B\) l'événement « le boulon vient de la machine B » et \(D\) l'événement « le boulon est défectueux ».
1. Construire un arbre pondéré et montrer que \(P(D) = 0{,}038\). (1 pt)
2. Le boulon prélevé est défectueux. Quelle est la probabilité qu'il vienne de la machine A ? Arrondir au millième. (0,75 pt)
3. On prélève \(50\) boulons. Le stock est assez grand pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note \(X\) le nombre de boulons défectueux.
3.a. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. (0,5 pt)
3.b. Calculer \(P(X = 0)\), puis \(P(X \geq 2)\). Arrondir au millième. (1 pt)
4. Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\), puis majorer \(P(X \geq 6)\) à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. (0,75 pt)
EXERCICE 4 (5 pts) — Géométrie dans l'Espace
Dans le repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k})\), on donne : \[A(2\,;\,0\,;\,1)\,,\,B(0\,;\,4\,;\,1)\,,\,C(2\,;\,4\,;\,3)\,,\,D(2\,;\,0\,;\,5)\]
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\). (0,5 pt)
2. Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires, et en déduire que \(A\), \(B\), \(C\) définissent un plan. (0,5 pt)
3. Montrer que \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\). (1 pt)
4. Déterminer l'équation cartésienne du plan \((ABC)\). (0,5 pt)
5. Le point \(D\) appartient-il au plan \((ABC)\) ? (0,5 pt)
6. Soit \(\Delta\) la droite passant par \(D\) et orthogonale au plan \((ABC)\). Donner une représentation paramétrique de \(\Delta\), puis déterminer les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal de \(D\) sur \((ABC)\). En déduire la distance \(DH\). (0,75 pt)
7. Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\), \(AB\) et \(AC\), puis \(\cos\widehat{BAC}\). En déduire l'aire du triangle \(ABC\), puis le volume du tétraèdre \(ABCD\). On rappelle que \(V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\). (0,75 pt)
BARÈME INDICATIF
| Exercice | Points |
|---|---|
| Exercice 1 | 5 |
| Exercice 2 | 6 |
| Exercice 3 | 4 |
| Exercice 4 | 5 |
| Total | 20 |
Corrigé Exercice 1
pour une suite arithmético-géométrique \(u_{n+1} = a\,u_n + b\), on introduit la suite auxiliaire \(v_n = u_n - \ell\) où \(\ell = \dfrac{b}{1-a}\) est le point fixe (\(\ell = \frac{12}{1-0{,}6} = 30\)) ; \((v_n)\) est alors géométrique. Pour la suite récurrente (partie B), on prouve l'encadrement et la monotonie par récurrence, puis on conclut par le théorème de convergence monotone.
Partie A
Question 1.a — Vérifier que \((v_n)\) est géométrique
On calcule \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) : \[v_{n+1} = u_{n+1} - 30 = (0{,}6\,u_n + 12) - 30 = 0{,}6\,u_n - 18\] \[= 0{,}6\,(u_n - 30) = 0{,}6\,v_n\]
Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(q = 0{,}6\).
Premier terme : \(v_0 = u_0 - 30 = 5 - 30 = \mathbf{-25}\).
Question 1.b — Expression de \(v_n\) puis \(u_n\)
\[v_n = v_0 \times q^n = -25 \times 0{,}6^n\] \[u_n = v_n + 30 = \mathbf{30 - 25 \times 0{,}6^n}\]
Question 1.c — Limite de \((u_n)\)
Comme \(|0{,}6| < 1\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 0{,}6^n = 0\). \[\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 30}\]
💡 Interprétation : la concentration converge vers une concentration d'équilibre de \(\mathbf{30}\) mg/L.
Question 1.d — Première prise dépassant 25 mg/L
On cherche le plus petit \(n\) tel que \(u_n > 25\) : \[30 - 25 \times 0{,}6^n > 25 \Leftrightarrow 25 \times 0{,}6^n < 5 \Leftrightarrow 0{,}6^n < 0{,}2\]
En prenant le logarithme (et en se rappelant que \(\ln(0{,}6) < 0\), ce qui inverse l'inégalité) : \[n \ln(0{,}6) < \ln(0{,}2) \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}6)} \approx \dfrac{-1{,}609}{-0{,}511} \approx 3{,}15\]
Donc à partir de la 4ème prise (\(n = 4\)) la concentration dépasse 25 mg/L.
🔍 Vérification : \(u_4 = 30 - 25 \times 0{,}6^4 = 30 - 25 \times 0{,}1296 = 30 - 3{,}24 = 26{,}76 > 25\) ✓ (et \(u_3 = 24{,}6 < 25\), donc \(n=4\) est bien la première prise).
\(\ln(0{,}6) < 0\) — diviser les deux membres par ce nombre inverse le sens de l'inégalité (\(<\) devient \(>\)). Oublier ce changement de sens est l'erreur la plus fréquente sur ce type de question.
Partie B
Question 2.a — Encadrement \(0 \leq w_n \leq 1\) (par récurrence)
▸ Initialisation (\(n = 0\))
\(w_0 = 0\). On a bien \(0 \leq 0 \leq 1\) ✓.
▸ Hérédité
Supposons que pour un certain \(n \geq 0\), \(0 \leq w_n \leq 1\). Montrons \(0 \leq w_{n+1} \leq 1\).
On a \(w_{n+1} = \dfrac{w_n + 1}{2}\). Comme \(0 \leq w_n \leq 1\), on a \(1 \leq w_n + 1 \leq 2\), donc \(\dfrac{1}{2} \leq w_{n+1} \leq 1\).
En particulier \(0 \leq w_{n+1} \leq 1\) ✓.
✅ Conclusion : par récurrence, \(0 \leq w_n \leq 1\) pour tout \(n \geq 0\).
Question 2.b — Monotonie (croissance)
\[w_{n+1} - w_n = \dfrac{w_n + 1}{2} - w_n = \dfrac{w_n + 1 - 2 w_n}{2} = \dfrac{1 - w_n}{2}\]
Comme \(w_n \leq 1\), on a \(1 - w_n \geq 0\), donc \(w_{n+1} - w_n \geq 0\). La suite \((w_n)\) est croissante.
Question 2.c — Convergence et limite
\((w_n)\) est croissante et majorée par \(1\) → elle converge vers une limite \(\ell \in [0\,;\,1]\).
En passant à la limite dans la relation de récurrence : \(\ell = \dfrac{\ell + 1}{2} \Leftrightarrow 2\ell = \ell + 1 \Leftrightarrow \ell = 1\).
\[\boxed{\lim_{n \to +\infty} w_n = 1}\]
Question 2.d — Premiers termes et frise
\(w_0 = 0\), \(w_1 = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\), \(w_2 = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\), \(w_3 = \dfrac{7}{8} = 0{,}875\), \(w_4 = \dfrac{15}{16} = 0{,}9375\).
On observe que \(w_n = 1 - \dfrac{1}{2^n}\) (suite confirmée par récurrence).
Corrigé Exercice 2
étude de fonction complète (limites par croissance comparée, dérivée d'un produit, tableau de variations, convexité via \(f''\)), puis intégration par parties \(\int u\,v' = [uv] - \int u'v\), et enfin résolution d'une équation différentielle linéaire du 1er ordre : solution générale = solution particulière + solutions de l'équation homogène.
Partie A
Question 1.a — Limites
En \(+\infty\) : \(2x - 1 \to +\infty\) et \(e^{-x} \to 0\). Par croissance comparée, \(e^{-x}\) l'emporte : \[\lim_{x \to +\infty} (2x - 1) e^{-x} = 0\]
En \(-\infty\) : \(2x - 1 \to -\infty\) et \(e^{-x} \to +\infty\) → produit \(\to -\infty\) : \[\lim_{x \to -\infty} (2x - 1) e^{-x} = -\infty\]
Question 1.b — Dérivée et variations
\(f\) est un produit. \(u(x) = 2x - 1\), \(v(x) = e^{-x}\), donc \(u' = 2\), \(v' = -e^{-x}\) : \[f'(x) = 2 e^{-x} + (2x - 1)(-e^{-x}) = e^{-x}\,(2 - 2x + 1) = (3 - 2x)\,e^{-x}\]
Signe de \(f'(x)\) : \(e^{-x} > 0\), donc \(f'(x)\) a le signe de \(3 - 2x\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\dfrac{3}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | \(f(\frac{3}{2}) = 2 e^{-3/2}\) | ↘ | \(0\) |
Maximum : \(f\left(\dfrac{3}{2}\right) = 2 \times e^{-3/2} \approx 0{,}446\).
Question 1.c — Point d'inflexion
\[f''(x) = (3 - 2x)'\,e^{-x} + (3 - 2x)\,(e^{-x})' = -2 e^{-x} + (3 - 2x)(-e^{-x})\] \[= e^{-x}(-2 - 3 + 2x) = (2x - 5)\,e^{-x}\]
\(f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\).
\(f''\) change de signe en \(\dfrac{5}{2}\) (négative avant, positive après), donc la courbe admet un point d'inflexion en \(x = \dfrac{5}{2}\).
Ordonnée : \(f\left(\dfrac{5}{2}\right) = 4 \times e^{-5/2} \approx 0{,}328\).
Question 1.d — Tangente en \(x = 0\)
\(f(0) = (0 - 1)\,e^0 = -1\) et \(f'(0) = 3 \times e^0 = 3\).
Équation de la tangente : \(y = f'(0)(x - 0) + f(0) = \mathbf{3x - 1}\).
Partie B
Question 2.a — Calcul de \(I\) par intégration par parties
▸ Mise en place de l'IPP
On pose \(u(x) = 2x - 1\) (donc \(u'(x) = 2\)) et \(v'(x) = e^{-x}\) (donc \(v(x) = -e^{-x}\)).
\[I = \big[(2x - 1)(-e^{-x})\big]_0^2 - \int_0^2 2 \times (-e^{-x})\,\mathrm{d}x\] \[= \big[-(2x-1)e^{-x}\big]_0^2 + 2 \int_0^2 e^{-x}\,\mathrm{d}x\]
▸ Calcul des termes
Crochet : \(-(2 \times 2 - 1) e^{-2} - (-(2 \times 0 - 1) e^0) = -3 e^{-2} - 1\).
Intégrale restante : \(2 \int_0^2 e^{-x}\,\mathrm{d}x = 2 [-e^{-x}]_0^2 = 2(-e^{-2} + 1) = 2 - 2 e^{-2}\).
▸ Somme
\[I = -3 e^{-2} - 1 + 2 - 2 e^{-2} = 1 - 5 e^{-2}\]
Valeur numérique : \(I \approx 1 - 5 \times 0{,}1353 \approx \mathbf{0{,}323}\).
Question 2.b — Interprétation géométrique
\(f\) s'annule en \(x = \dfrac{1}{2}\) : elle est négative sur \(\left[0\,;\,\dfrac{1}{2}\right]\) et positive sur \(\left[\dfrac{1}{2}\,;\,2\right]\). L'intégrale \(I\) n'est donc pas une aire : c'est une aire algébrique. \[I = \mathcal{A}_2 - \mathcal{A}_1\] où \(\mathcal{A}_2\) est l'aire du domaine situé au-dessus de l'axe (sur \(\left[\frac{1}{2}\,;\,2\right]\)) et \(\mathcal{A}_1\) celle du domaine situé en dessous (sur \(\left[0\,;\,\frac{1}{2}\right]\)). Comme \(I > 0\), la partie au-dessus de l'axe l'emporte.
Pour obtenir l'aire totale entre la courbe et l'axe, il faudrait calculer séparément les deux intégrales et ajouter leurs valeurs absolues.
Partie C
Question 3.a — Équation homogène
\(y' + y = 0 \Leftrightarrow y' = -y\) → solution : \(y_h = C e^{-x}\), \(C \in \mathbb{R}\).
Question 3.b — Vérification que \(f\) est solution particulière
Calcul de \(f'(x) + f(x)\) avec \(f'(x) = (3 - 2x) e^{-x}\) et \(f(x) = (2x - 1) e^{-x}\) : \[f'(x) + f(x) = \big[(3 - 2x) + (2x - 1)\big] e^{-x} = 2 e^{-x}\]
C'est exactement le second membre de \((E)\) → \(f\) est bien solution particulière de \((E)\) ✓.
Question 3.c — Solution générale + condition initiale
Solution générale = solution particulière + solutions homogènes : \[y(x) = (2x - 1) e^{-x} + C e^{-x} = (2x - 1 + C) e^{-x}\]
Condition \(y(0) = 2\) : \((0 - 1 + C) \times 1 = 2 \Leftrightarrow C - 1 = 2 \Leftrightarrow C = 3\).
\[\boxed{y(x) = (2x + 2)\,e^{-x}}\]
Corrigé Exercice 3
un arbre pondéré et la formule des probabilités totales donnent \(P(D)\) ; on « remonte » l'arbre avec \(P_D(A) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)}\). Ensuite, \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes donnent une loi binomiale. Enfin, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité de s'écarter de l'espérance.
Question 1 — Arbre et \(P(D)\)
L'arbre a deux branches au premier niveau (\(A\) : \(0{,}6\) ; \(B\) : \(0{,}4\)), puis deux branches sur chaque nœud (\(D\) / \(\overline{D}\)) : \(P_A(D) = 0{,}03\) et \(P_B(D) = 0{,}05\).
\(A\) et \(B\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales : \[P(D) = P(A) \times P_A(D) + P(B) \times P_B(D) = 0{,}6 \times 0{,}03 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}02 = \mathbf{0{,}038}\]
Question 2 — \(P_D(A)\)
\[P_D(A) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}018}{0{,}038} = \dfrac{9}{19} \approx \mathbf{0{,}474}\]
💡 La machine A produit plus de boulons, mais moins de la moitié des boulons défectueux viennent d'elle : son taux de défaut est plus faible.
Question 3.a — Loi de \(X\)
On répète \(50\) fois, de façon identique et indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une épreuve à deux issues : « défectueux » (succès, probabilité \(p = 0{,}038\)) ou non. \(X\) compte les succès : \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(50\,;\,0{,}038)\).
Question 3.b — Calculs
\[P(X = 0) = 0{,}962^{50} \approx \mathbf{0{,}144}\]
\[P(X = 1) = \binom{50}{1} \times 0{,}038 \times 0{,}962^{49} \approx 0{,}285\]
\[P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 1 - 0{,}144 - 0{,}285 = \mathbf{0{,}571}\]
« au moins 2 » se calcule par l'événement contraire « au plus 1 », c'est-à-dire \(X = 0\) ou \(X = 1\).
Question 4 — Espérance, variance, majoration
\[E(X) = np = 50 \times 0{,}038 = \mathbf{1{,}9} \qquad V(X) = np(1 - p) = 1{,}9 \times 0{,}962 = \mathbf{1{,}8278}\]
\(X\) ne prend que des valeurs entières. Pour un entier \(k\) : \(|k - 1{,}9| \geq 4 \iff k \geq 5{,}9\) ou \(k \leq -2{,}1\), soit \(k \geq 6\) (puisque \(k \geq 0\)). Donc \(P(X \geq 6) = P(|X - 1{,}9| \geq 4)\) et, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : \[P(X \geq 6) \leq \dfrac{V(X)}{4^2} = \dfrac{1{,}8278}{16} \approx \mathbf{0{,}114}\]
💡 Cette majoration est grossière : la valeur exacte, calculée à la calculatrice, est bien plus petite. Mais elle ne demande que l'espérance et la variance.
Corrigé Exercice 4
vecteurs par « arrivée − départ » ; un vecteur est normal au plan s'il est orthogonal (produit scalaire nul) à deux vecteurs non colinéaires du plan ; équation cartésienne \(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\) ; la distance d'un point à un plan est la distance à son projeté orthogonal, obtenu avec la droite orthogonale au plan ; volume du tétraèdre \(= \frac{1}{3}\,\mathcal{A}_{\text{base}} \times h\), l'aire de la base s'obtenant grâce au produit scalaire (angle entre deux côtés).
Question 1 — Coordonnées des vecteurs
\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0-2 \\ 4-0 \\ 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\,;\,\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\,;\,\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\]
Question 2 — Non-colinéarité
S'ils étaient colinéaires, il existerait \(k\) tel que \(\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{AC}\). La première composante donnerait \(-2 = k \times 0 = 0\) → impossible.
→ non colinéaires, donc ils engendrent un plan unique \((ABC)\).
Question 3 — Vérification du vecteur normal
\[\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 2 \times (-2) + 1 \times 4 + (-2) \times 0 = -4 + 4 + 0 = 0 \text{ ✓}\] \[\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 0 + 1 \times 4 + (-2) \times 2 = 0 + 4 - 4 = 0 \text{ ✓}\]
\(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan → \(\vec{n}\) normal au plan \((ABC)\).
Question 4 — Équation cartésienne
Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) passant par \(A(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)\) a pour équation : \[a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\]
Avec \(A(2\,;\,0\,;\,1)\) et \(\vec{n}(2\,;\,1\,;\,-2)\) : \[2(x - 2) + 1(y - 0) + (-2)(z - 1) = 0\] \[2x - 4 + y - 2z + 2 = 0\] \[\boxed{2x + y - 2z - 2 = 0}\]
Question 5 — Le point \(D\) appartient-il au plan ?
\(D(2\,;\,0\,;\,5)\) → \(2 \times 2 + 0 - 2 \times 5 - 2 = 4 - 10 - 2 = -8 \neq 0\).
→ \(D \notin (ABC)\).
Question 6 — Projeté orthogonal et distance
▸ Représentation paramétrique de \(\Delta\)
\(\Delta\) est orthogonale au plan : elle est dirigée par le vecteur normal \(\vec{n}(2\,;\,1\,;\,-2)\) et passe par \(D(2\,;\,0\,;\,5)\) : \[\Delta : \begin{cases} x = 2 + 2t \ y = t \ z = 5 - 2t \end{cases}\,,\quad t \in \mathbb{R}\]
▸ Point \(H\)
\(H\) est le point de \(\Delta\) qui appartient au plan : \[2(2 + 2t) + t - 2(5 - 2t) - 2 = 0 \iff 9t - 8 = 0 \iff t = \dfrac{8}{9}\] \[H\left(\dfrac{34}{9}\,;\,\dfrac{8}{9}\,;\,\dfrac{29}{9}\right)\]
🔍 Vérification : \(2 \times \dfrac{34}{9} + \dfrac{8}{9} - 2 \times \dfrac{29}{9} - 2 = \dfrac{68 + 8 - 58 - 18}{9} = 0\) ✓
▸ Distance
\(\overrightarrow{DH} = \dfrac{8}{9}\,\vec{n}\), donc \(DH = \dfrac{8}{9} \times \|\vec{n}\| = \dfrac{8}{9} \times \sqrt{4 + 1 + 4} = \dfrac{8}{9} \times 3 = \mathbf{\dfrac{8}{3}} \approx 2{,}67\).
Question 7 — Aire de \(ABC\) et volume du tétraèdre
▸ Angle \(\widehat{BAC}\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \times 0 + 4 \times 4 + 0 \times 2 = 16\) ; \(AB = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}\) ; \(AC = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}\). \[\cos\widehat{BAC} = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \times AC} = \dfrac{16}{20} = 0{,}8\]
▸ Aire
\(\sin\widehat{BAC} = \sqrt{1 - 0{,}8^2} = 0{,}6\) (l'angle est compris entre \(0\) et \(\pi\), donc son sinus est positif). La hauteur issue de \(C\) vaut \(AC \times \sin\widehat{BAC}\), d'où : \[\mathcal{A}(ABC) = \dfrac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin\widehat{BAC} = \dfrac{1}{2} \times 20 \times 0{,}6 = 6\]
▸ Volume
La hauteur du tétraèdre issue de \(D\) est \(DH = \dfrac{8}{3}\) : \[V = \dfrac{1}{3} \times 6 \times \dfrac{8}{3} = \mathbf{\dfrac{16}{3} \approx 5{,}33 \text{ unités}^3}\]