Les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont définies sur \(\mathbb{R}\) tout entier.
Image : \(\cos(\mathbb{R}) = [-1\,;\,1]\) et \(\sin(\mathbb{R}) = [-1\,;\,1]\).
Périodicité fondamentale : ces fonctions sont \(2\pi\)-périodiques : \[\cos(x + 2\pi) = \cos x \quad ; \quad \sin(x + 2\pi) = \sin x\]
Théorème (admis ou démontré à partir de la limite de référence) :
\[\boxed{(\cos x)' = -\sin x \quad ; \quad (\sin x)' = \cos x}\]
Limites fondamentales en \(0\) (utilisées pour démontrer ces dérivées) : \[\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\] (c'est le nombre dérivé de \(\sin\) en \(0\), qui vaut \(\cos 0 = 1\)).
Pour toute fonction \(u\) dérivable sur un intervalle \(I\) : \[\boxed{(\cos(u(x)))' = -u'(x) \sin(u(x))}\] \[\boxed{(\sin(u(x)))' = u'(x) \cos(u(x))}\]
Exemples :
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) |
| \(\sin x\) | \(0\) | ↗︎ | \(1\) | ↘︎ | \(0\) | ↘︎ | \(-1\) | ↗︎ | \(0\) |
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(-\sin x\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) |
| \(\cos x\) | \(1\) | ↘︎ | \(0\) | ↘︎ | \(-1\) | ↗︎ | \(0\) | ↗︎ | \(1\) |
Les fonctions \(\sin\) et \(\cos\) étant bornées entre \(-1\) et \(1\), elles n'ont pas de limite en \(\pm\infty\) (elles oscillent sans converger).
Conséquence importante : pas d'asymptote horizontale.
Exemple : Étudier \(f(x) = x + 2\sin x\) sur \([0\,;\,2\pi]\).
Dérivée : \(f'(x) = 1 + 2\cos x\).
Signe de \(f'\) : \(f'(x) > 0 \Leftrightarrow \cos x > -\dfrac{1}{2}\).
Sur \([0\,;\,2\pi]\), \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) pour \(x = \dfrac{2\pi}{3}\) et \(x = \dfrac{4\pi}{3}\).
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(\dfrac{4\pi}{3}\) | \(2\pi\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(0\) | ↗︎ | max | ↘︎ | min | ↗︎ | \(2\pi\) |
Si \(\alpha\) est un réel tel que \(\cos \alpha = a\), les solutions sont \(x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = -\alpha + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Si \(\sin \alpha = a\), les solutions sont \(x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \alpha + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Exemple : Résoudre \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) sur \(\mathbb{R}\).
\(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\). Solutions : \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Contenu facultatif, non exigible.
Les formules d'addition \(\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\) et \(\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\), d'où \(\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1\) et \(\sin(2a) = 2\sin a\cos a\).
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Dérivée | \((\cos x)' = -\sin x\), \((\sin x)' = \cos x\) |
| Dérivée composée | \((\cos u)' = -u' \sin u\), \((\sin u)' = u' \cos u\) |
| Période | \(2\pi\) pour \(\sin\) et \(\cos\) |
| Parité | \(\cos\) paire, \(\sin\) impaire |
| Limites | \(\dfrac{\sin x}{x} \to 1\) en 0 |
| Image | \([-1\,;\,1]\) pour les deux |
| Identité | \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) |
Calcule la dérivée de :
a) \(f(x) = \cos(3x + 1)\) \(\quad\)
b) \(g(x) = \sin(2x)\) \(\quad\)
c) \(h(x) = x\sin x\) \(\quad\)
d) \(k(x) = \cos^2 x\)
a) \(f'(x) = \mathbf{-3\sin(3x + 1)}\) \(\quad\) b) \(g'(x) = \mathbf{2\cos(2x)}\) \(\quad\) c) \(h'(x) = \mathbf{\sin x + x\cos x}\) \(\quad\) d) \(k'(x) = 2\cos x \times (-\sin x) = \mathbf{-2\sin x\cos x}\)
Soit \(f(x) = \sin(2x)\) sur \(\mathbb{R}\).
a) Montre que \(f(x + \pi) = f(x)\) pour tout \(x\). Interprète.
b) Montre que \(f\) est impaire.
a) \(f(x + \pi) = \sin(2x + 2\pi) = \sin(2x) = f(x)\) : \(f\) est \(\pi\)-périodique (sa courbe se répète tous les \(\pi\)).
b) \(f(-x) = \sin(-2x) = -\sin(2x) = -f(x)\) : \(f\) est impaire.
Donne la valeur exacte de : \(\cos\dfrac{\pi}{3}\), \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\), \(\cos\dfrac{7\pi}{6}\), \(\sin\dfrac{3\pi}{4}\).
\(\cos\dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\) ; \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}}\) ; \(\cos\dfrac{7\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\) ; \(\sin\dfrac{3\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\).
Résous dans \(\mathbb{R}\) :
a) \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) \(\quad\)
b) \(\sin x = -1\)
a) \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
b) \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Détermine l'équation de la tangente à la courbe de \(\sin\) au point d'abscisse \(0\), puis au point d'abscisse \(\dfrac{\pi}{2}\).
En \(0\) : \(\sin 0 = 0\), \(\cos 0 = 1\) : \(\mathbf{y = x}\). En \(\dfrac{\pi}{2}\) : \(\sin\dfrac{\pi}{2} = 1\), \(\cos\dfrac{\pi}{2} = 0\) : \(\mathbf{y = 1}\) (tangente horizontale).
En posant \(u = 2x\), calcule \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{x}\) (on rappelle que \(\lim\limits_{u \to 0} \dfrac{\sin u}{u} = 1\)).
\(\dfrac{\sin(2x)}{x} = 2 \times \dfrac{\sin(2x)}{2x}\). Quand \(x \to 0\), \(u = 2x \to 0\) et \(\dfrac{\sin u}{u} \to 1\). Donc la limite vaut \(\boxed{2}\).
Dérive :
a) \(\sin(3x)\) \(\quad\)
b) \(\cos^2 x\) \(\quad\)
c) \(x \sin x\)
a) \(\mathbf{3\cos(3x)}\) ; b) \(\mathbf{-2\sin x \cos x}\) ; c) \(\mathbf{\sin x + x\cos x}\).
Donne une période de :
a) \(\sin(2x)\) \(\quad\)
b) \(\cos(3x)\)
🎯 \(\sin(ax)\) et \(\cos(ax)\) sont périodiques de période \(\dfrac{2\pi}{a}\) (\(a > 0\)).
a) \(\mathbf{\pi}\) ; b) \(\mathbf{\dfrac{2\pi}{3}}\).
Résous dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
\(x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Résous dans \(\mathbb{R}\) : \(\sin x = 0\).
\(\mathbf{x = k\pi}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Donne l'équation de la tangente en \(0\) à la courbe de \(\sin\).
\(\sin 0 = 0\) et \(\sin'(0) = \cos 0 = 1\) : \(\mathbf{y = x}\).
Soit \(f(x) = x + 2\sin x\) sur \([0 ; 2\pi]\).
a) Calcule \(f'(x)\) et résous \(f'(x) = 0\) sur \([0 ; 2\pi]\).
b) Dresse le tableau de variations de \(f\) (valeurs exactes et approchées).
a) \(f'(x) = 1 + 2\cos x = 0 \iff \cos x = -\dfrac{1}{2} \iff x = \dfrac{2\pi}{3}\) ou \(x = \dfrac{4\pi}{3}\).
b) \(f'(x) > 0\) quand \(\cos x > -\dfrac{1}{2}\), c'est-à-dire sur \(\left[0 ; \dfrac{2\pi}{3}\right[\) et \(\left]\dfrac{4\pi}{3} ; 2\pi\right]\).
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(\dfrac{4\pi}{3}\) | \(2\pi\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(0\) | ↗︎ | \(\dfrac{2\pi}{3} + \sqrt{3} \approx 3{,}83\) | ↘︎ | \(\dfrac{4\pi}{3} - \sqrt{3} \approx 2{,}46\) | ↗︎ | \(2\pi\) |
Soit \(f(x) = \cos x - x\) sur \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\).
a) Montre que \(f\) est strictement décroissante.
b) Montre que l'équation \(\cos x = x\) a une unique solution \(\alpha\) dans \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\).
c) Donne un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(10^{-2}\).
a) \(f'(x) = -\sin x - 1 < 0\) sur \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\) (car \(\sin x \geqslant 0\) sur cet intervalle) : strictement décroissante.
b) \(f\) est continue, strictement décroissante, \(f(0) = 1 > 0\) et \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{2} < 0\). Par le corollaire du TVI, \(f(x) = 0\) (c'est-à-dire \(\cos x = x\)) a une unique solution \(\alpha\).
c) \(f(0{,}73) \approx 0{,}015 > 0\) et \(f(0{,}74) \approx -0{,}002 < 0\) : \(\mathbf{0{,}73 < \alpha < 0{,}74}\).
Résous \(\sin x \geqslant \dfrac{1}{2}\) sur \([0 ; 2\pi]\).
\(\sin x = \dfrac{1}{2}\) pour \(x = \dfrac{\pi}{6}\) et \(x = \dfrac{5\pi}{6}\) ; sur le cercle, les points d'ordonnée au moins \(\dfrac{1}{2}\) forment l'arc entre ces deux points. \(S = \mathbf{\left[\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{5\pi}{6}\right]}\).
Calcule \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx\) et \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx\). Interprète la seconde.
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = \big[\sin x\big]_0^{\pi/2} = \mathbf{1}\) ; \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^{\pi} = 1 + 1 = \mathbf{2}\). La seconde est l'aire (en unités d'aire) sous une arche de sinusoïde.
Soit \(f(x) = \cos(2x)\).
a) Montre que \(f\) est \(\pi\)-périodique et paire.
b) Justifie qu'il suffit de l'étudier sur \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\), et étudie ses variations sur cet intervalle.
a) \(f(x + \pi) = \cos(2x + 2\pi) = f(x)\) et \(f(-x) = \cos(-2x) = f(x)\).
b) Par périodicité, il suffit d'étudier \(f\) sur un intervalle de longueur \(\pi\), par exemple \(\left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right]\) ; par parité, sur \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\) (puis symétrie par rapport à \((Oy)\)). \(f'(x) = -2\sin(2x) \leqslant 0\) sur \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\) (car \(2x \in [0 ; \pi]\)) : \(f\) décroît de \(f(0) = 1\) à \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -1\).
La position d'un objet est \(x(t) = 3\cos(2t)\) (en cm, \(t\) en s).
a) Calcule la vitesse \(v(t) = x'(t)\).
b) Quelle est la vitesse maximale (en valeur absolue) ?
c) À quels instants \(t \geqslant 0\) l'objet passe-t-il par la position \(0\) ?
a) \(v(t) = \mathbf{-6\sin(2t)}\).
b) \(|\sin(2t)| \leqslant 1\), avec égalité possible : vitesse maximale \(\mathbf{6}\) cm/s.
c) \(\cos(2t) = 0 \iff 2t = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \iff t = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}\), \(k \in \mathbb{N}\).
Soit \(g(x) = x - \sin x\) sur \([0 ; +\infty[\).
a) Étudie les variations de \(g\).
b) Déduis-en que \(\sin x \leqslant x\) pour tout \(x \geqslant 0\).
a) \(g'(x) = 1 - \cos x \geqslant 0\) : \(g\) est croissante sur \([0 ; +\infty[\).
b) \(g(0) = 0\) et \(g\) croissante : \(g(x) \geqslant 0\), soit \(\sin x \leqslant x\) pour \(x \geqslant 0\). \(\square\)
a) Justifie que \(-\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\sin x}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}\) pour \(x > 0\), puis calcule \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x}\).
b) Calcule \(\lim\limits_{x \to +\infty} (x + \cos x)\).
a) \(-1 \leqslant \sin x \leqslant 1\) ; en divisant par \(x > 0\) : \(-\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\sin x}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}\). Les deux bornes tendent vers \(0\) : par le théorème des gendarmes, \(\lim \dfrac{\sin x}{x} = \boxed{0}\).
b) \(x + \cos x \geqslant x - 1\) et \(x - 1 \to +\infty\) : par comparaison, \(\lim (x + \cos x) = \boxed{+\infty}\).
Sachant que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\), détermine \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x}\).
\(\dfrac{\sin(3x)}{x} = 3 \times \dfrac{\sin(3x)}{3x}\) et \(3x \to 0\) : la limite vaut \(\mathbf{3}\).
Calcule \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x \, dx\).
\(\left[-\cos x\right]_0^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = \mathbf{2}\).
Calcule \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x \, dx\).
\(\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = \mathbf{1}\).
Étudie \(f(x) = x - \sin x\) sur \([0 ; +\infty[\) et déduis-en que \(\sin x \leqslant x\) pour \(x \geqslant 0\).
\(f'(x) = 1 - \cos x \geqslant 0\) : \(f\) est croissante sur \([0 ; +\infty[\), et \(f(0) = 0\). Donc \(f(x) \geqslant 0\), soit \(\sin x \leqslant x\). \(\square\)
La position d'un ressort est \(x(t) = 2\cos(\pi t)\) (\(t\) en s, \(x\) en cm).
a) Donne l'amplitude et la période.
b) Calcule la vitesse \(x'(t)\) à \(t = 0{,}5\) s.
a) Amplitude \(\mathbf{2}\) cm ; période \(\dfrac{2\pi}{\pi} = \mathbf{2}\) s.
b) \(x'(t) = -2\pi\sin(\pi t)\) ; \(x'(0{,}5) = -2\pi \approx \mathbf{-6{,}28}\) cm/s (le ressort passe par sa position d'équilibre à vitesse maximale).
Soit \(h(x) = \cos x - 1 + \dfrac{x^2}{2}\) sur \([0 ; +\infty[\).
a) Calcule \(h'(x)\) et, à l'aide de l'exercice 13, montre que \(h'(x) \geqslant 0\).
b) Déduis-en que \(\cos x \geqslant 1 - \dfrac{x^2}{2}\) pour tout \(x \geqslant 0\).
a) \(h'(x) = -\sin x + x = x - \sin x \geqslant 0\) d'après l'exercice 18.
b) \(h\) est croissante sur \([0 ; +\infty[\) et \(h(0) = 1 - 1 + 0 = 0\) : \(h(x) \geqslant 0\), soit \(\cos x \geqslant 1 - \dfrac{x^2}{2}\). \(\square\)
Résous sur \([0 ; 2\pi[\) l'équation \(2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0\).
On pose \(X = \cos x\) : \(2X^2 - 3X + 1 = 0\), \(\Delta = 1\), \(X = 1\) ou \(X = \dfrac{1}{2}\). \(\cos x = 1\) : \(x = 0\). \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) : \(x = \dfrac{\pi}{3}\) ou \(x = \dfrac{5\pi}{3}\). \(S = \left\{\mathbf{0 ; \dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{5\pi}{3}}\right\}\).
Soit \(f(x) = \sin x + \cos x\) sur \([0 ; 2\pi]\).
a) Calcule \(f'(x)\) et détermine où elle s'annule.
b) Dresse le tableau de variations de \(f\). Quels sont son maximum et son minimum ?
a) \(f'(x) = \cos x - \sin x\), nulle quand \(\cos x = \sin x\), c'est-à-dire \(x = \dfrac{\pi}{4}\) ou \(x = \dfrac{5\pi}{4}\) sur \([0 ; 2\pi]\).
b) \(f'(0) = 1 > 0\), \(f'(\pi) = -1 < 0\), \(f'(2\pi) = 1 > 0\) : \(f\) croît, décroît puis croît.
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{5\pi}{4}\) | \(2\pi\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(1\) | ↗︎ | \(\sqrt{2}\) | ↘︎ | \(-\sqrt{2}\) | ↗︎ | \(1\) |
Maximum \(\mathbf{\sqrt{2}}\), minimum \(\mathbf{-\sqrt{2}}\).
À l'aide d'une intégration par parties, calcule \(\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,dx\).
On pose \(u(x) = x\), \(v'(x) = \sin x\) ; donc \(u'(x) = 1\), \(v(x) = -\cos x\). \[\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \big[-x\cos x\big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\,dx = \pi + \big[\sin x\big]_0^{\pi} = \boxed{\pi}\]
Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + nx}\,dx\).
a) Justifie que \(I_n \geqslant 0\).
b) Montre que \(I_n \leqslant \displaystyle\int_0^{\pi} \frac{1}{1 + nx}\,dx = \frac{\ln(1 + n\pi)}{n}\) pour \(n \geqslant 1\).
c) Déduis-en la limite de \((I_n)\).
a) Sur \([0 ; \pi]\), \(\sin x \geqslant 0\) et \(1 + nx > 0\) : l'intégrande est positive, donc \(I_n \geqslant 0\).
b) \(\sin x \leqslant 1\), donc \(\dfrac{\sin x}{1 + nx} \leqslant \dfrac{1}{1 + nx}\), et par croissance de l'intégrale \(I_n \leqslant \displaystyle\int_0^{\pi} \frac{dx}{1 + nx} = \left[\frac{\ln(1 + nx)}{n}\right]_0^{\pi} = \frac{\ln(1 + n\pi)}{n}\).
c) \(\dfrac{\ln(1 + n\pi)}{n} \to 0\) (croissances comparées), donc par les gendarmes \(\lim I_n = \boxed{0}\).
Soit \(f(x) = e^{-x}\sin x\) sur \([0 ; 2\pi]\).
a) Montre que \(f'(x) = e^{-x}(\cos x - \sin x)\).
b) Résous \(\cos x = \sin x\) sur \([0 ; 2\pi]\) et étudie le signe de \(f'(x)\).
c) Dresse le tableau de variations de \(f\) et donne son maximum (valeur exacte et approchée).
a) \(f'(x) = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x)\) ✓
b) \(\cos x = \sin x\) pour \(x = \dfrac{\pi}{4}\) ou \(\dfrac{5\pi}{4}\). Comme \(e^{-x} > 0\), \(f'(x)\) a le signe de \(\cos x - \sin x\) : positif sur \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{4}\right[\) et \(\left]\dfrac{5\pi}{4} ; 2\pi\right]\), négatif entre.
c)
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{5\pi}{4}\) | \(2\pi\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(0\) | ↗︎ | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-\pi/4}\) | ↘︎ | \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-5\pi/4}\) | ↗︎ | \(0\) |
Maximum : \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-\pi/4} \approx \mathbf{0{,}322}\) (le minimum vaut environ \(-0{,}014\) : les oscillations sont très vite amorties).
