La fonction carré est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2\). Sa courbe est une parabole de sommet \(O\).
Elle est décroissante sur \(]-\infty ; 0]\) et croissante sur \([0 ; +\infty[\). Son minimum est \(0\), atteint en \(0\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2\) | ↘︎ | \(0\) | ↗︎ |
\((-x)^2 = x^2\), donc la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
(avec \(a > 0\)) :
\(x \mapsto \sqrt{x}\) est définie sur \([0 ; +\infty[\) et croissante sur cet intervalle.
\(x \mapsto |x|\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(|x| = x\) si \(x \geqslant 0\) et \(|x| = -x\) si \(x < 0\). Elle est décroissante sur \(]-\infty ; 0]\) et croissante sur \([0 ; +\infty[\) ; sa courbe est formée de deux demi-droites.
Pour \(0 \leqslant x \leqslant 1\), on a \(x^2 \leqslant x \leqslant \sqrt{x}\) ; pour \(x \geqslant 1\), on a \(\sqrt{x} \leqslant x \leqslant x^2\).
\(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) est définie sur \(\mathbb{R}^* = \;]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[\). Elle est décroissante sur \(]-\infty ; 0[\) et décroissante sur \(]0 ; +\infty[\). Sa courbe est une hyperbole.
On ne peut pas dire que la fonction inverse est décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) : \(-1 < 1\) et pourtant \(\dfrac{1}{-1} < \dfrac{1}{1}\).
\(x \mapsto x^3\) est définie et croissante sur \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(a\), l'équation \(x^3 = a\) a une seule solution.
Pour comparer \(f(a)\) et \(f(b)\), on vérifie que \(a\) et \(b\) sont dans un intervalle où \(f\) est monotone.
Exemple : \(0{,}3 < 0{,}5\) et la fonction inverse est décroissante sur \(]0 ; +\infty[\), donc \(\dfrac{1}{0{,}3} > \dfrac{1}{0{,}5}\).
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Fonction | Définie sur | Variations | Courbe |
|---|---|---|---|
| \(x^2\) | \(\mathbb{R}\) | ↘︎ puis ↗︎ (min \(0\) en \(0\)) | parabole |
| \(\sqrt{x}\) | \([0 ; +\infty[\) | ↗︎ | demi-parabole « couchée » |
| \(|x|\) | \(\mathbb{R}\) | ↘︎ puis ↗︎ (min \(0\) en \(0\)) | deux demi-droites |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}^*\) | ↘︎ sur \(]-\infty ; 0[\) et sur \(]0 ; +\infty[\) | hyperbole |
| \(x^3\) | \(\mathbb{R}\) | ↗︎ | courbe « en S » |
Calcule sans calculatrice :
a) \((-5)^2\) \(\quad\)
b) \(\dfrac{1}{-4}\) \(\quad\)
c) \(\sqrt{49}\) \(\quad\)
d) \((-2)^3\) \(\quad\)
e) \(|-3{,}5|\)
a) \((-5)^2 = \mathbf{25}\) \(\quad\) b) \(\dfrac{1}{-4} = \mathbf{-0{,}25}\) \(\quad\) c) \(\sqrt{49} = \mathbf{7}\) \(\quad\) d) \((-2)^3 = \mathbf{-8}\) \(\quad\) e) \(|-3{,}5| = \mathbf{3{,}5}\)
Un carré est toujours positif, un cube a le signe du nombre de départ.
Donne l'ensemble de définition de chaque fonction :
a) \(f(x) = \dfrac{1}{x - 3}\) \(\quad\)
b) \(g(x) = \sqrt{x + 5}\) \(\quad\)
c) \(h(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x - 2}\)
a) Dénominateur non nul : \(x \ne 3\). \(D = \mathbb{R} \setminus \{3\}\).
b) \(x + 5 \geqslant 0\), soit \(x \geqslant -5\) : \(D = [-5 ; +\infty[\).
c) \(x \geqslant 0\) (racine) et \(x \ne 2\) (dénominateur) : \(D = [0 ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[\).
Résous dans \(\mathbb{R}\) :
a) \(x^2 = 16\) \(\quad\)
b) \(x^2 = 7\) \(\quad\)
c) \(x^2 = -4\) \(\quad\)
d) \(x^3 = -8\)
a) \(x = 4\) ou \(x = -4\).
b) \(x = \sqrt{7}\) ou \(x = -\sqrt{7}\).
c) Un carré n'est jamais négatif : aucune solution.
d) \((-2)^3 = -8\) et la fonction cube est croissante sur \(\mathbb{R}\), donc il n'y a qu'une solution : \(x = \mathbf{-2}\).
Compare en justifiant :
a) \(\sqrt{50}\) et \(7\) \(\quad\)
b) \(\dfrac{1}{0{,}3}\) et \(\dfrac{1}{0{,}5}\) \(\quad\)
c) \((-3)^2\) et \((-3)^3\)
a) \(7 = \sqrt{49}\). Comme \(50 > 49\) et que la fonction racine carrée est croissante, \(\mathbf{\sqrt{50} > 7}\).
b) \(0{,}3 < 0{,}5\), deux nombres de \(]0 ; +\infty[\) où la fonction inverse est décroissante : \(\mathbf{\dfrac{1}{0{,}3} > \dfrac{1}{0{,}5}}\) (en effet \(3{,}33\ldots > 2\)).
c) \((-3)^2 = 9\) et \((-3)^3 = -27\) : \(\mathbf{(-3)^2 > (-3)^3}\).
a) Calcule \(|-7|\) et \(|2 - 5|\).
b) Résous \(|x| = 4\), puis \(|x| = -1\).
a) \(|-7| = \mathbf{7}\) ; \(|2 - 5| = |-3| = \mathbf{3}\).
b) \(|x| = 4\) : \(x = 4\) ou \(x = -4\). \(|x| = -1\) : une valeur absolue est toujours positive, aucune solution.
a) Le point \(A(-3 ; 9)\) est-il sur la courbe de la fonction carré ?
b) Le point \(B(4 ; 2)\) est-il sur la courbe de la fonction racine carrée ?
c) Le point \(C(-2 ; 0{,}5)\) est-il sur la courbe de la fonction inverse ?
a) \((-3)^2 = 9\) : oui.
b) \(\sqrt{4} = 2\) : oui.
c) \(\dfrac{1}{-2} = -0{,}5 \ne 0{,}5\) : non.
Calcule :
a) le carré de \(-3\) \(\quad\)
b) l'inverse de \(4\) \(\quad\)
c) \(\sqrt{49}\) \(\quad\)
d) le cube de \(-2\)
a) \(\mathbf{9}\) ; b) \(\mathbf{0{,}25}\) ; c) \(\mathbf{7}\) ; d) \(\mathbf{-8}\).
Donne l'ensemble de définition de la fonction inverse et de la fonction racine carrée.
Inverse : \(\mathbf{\mathbb{R}^* = \,]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[}\). Racine carrée : \(\mathbf{[0 ; +\infty[}\).
Résous :
a) \(x^2 = 25\) \(\quad\)
b) \(\dfrac{1}{x} = 4\) \(\quad\)
c) \(\sqrt{x} = 3\)
a) \(\mathcal{S} = \mathbf{\{-5 ; 5\}}\) ; b) \(x = \mathbf{\dfrac{1}{4}}\) ; c) \(x = \mathbf{9}\).
Compare, en justifiant par les variations :
a) \(2{,}1^2\) et \(2{,}3^2\) \(\quad\)
b) \((-3)^2\) et \((-2)^2\) \(\quad\)
c) \(\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{1}{5}\)
a) Carré croissant sur \([0 ; +\infty[\) et \(2{,}1 < 2{,}3\) : \(\mathbf{2{,}1^2 < 2{,}3^2}\).
b) Carré décroissant sur \(]-\infty ; 0]\) et \(-3 < -2\) : \(\mathbf{(-3)^2 > (-2)^2}\).
c) Inverse décroissante sur \(]0 ; +\infty[\) et \(3 < 5\) : \(\mathbf{\dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{5}}\).
Résous :
a) \(x^2 \leqslant 9\) \(\quad\)
b) \(x^2 > 4\)
a) \(\mathbf{[-3 ; 3]}\). b) \(\mathbf{]-\infty ; -2[ \cup ]2 ; +\infty[}\).
\(x^2 \leqslant 9\) ne donne pas seulement \(x \leqslant 3\) : il faut aussi \(x \geqslant -3\).
Résous et donne les solutions sous forme d'intervalle :
a) \(x^2 \leqslant 9\) \(\quad\)
b) \(x^2 > 4\) \(\quad\)
c) \(x^2 < -1\)
a) \(-3 \leqslant x \leqslant 3\) : \(S = \mathbf{[-3 ; 3]}\).
b) \(x < -2\) ou \(x > 2\) : \(S = \;\mathbf{]-\infty ; -2[ \cup ]2 ; +\infty[}\).
c) Un carré n'est jamais strictement négatif : \(S = \varnothing\).
a) On sait que \(-3 \leqslant x \leqslant -1\). Encadre \(x^2\).
b) On sait que \(-2 \leqslant x \leqslant 3\). Encadre \(x^2\).
a) Sur \([-3 ; -1]\), la fonction carré est décroissante : l'ordre est inversé. \(-3 \leqslant x \leqslant -1\) donne \((-1)^2 \leqslant x^2 \leqslant (-3)^2\), soit \(\mathbf{1 \leqslant x^2 \leqslant 9}\).
b) La fonction carré n'est pas monotone sur \([-2 ; 3]\) : elle décroît sur \([-2 ; 0]\) puis croît sur \([0 ; 3]\). Son minimum est \(0\) (en \(0\)) et son maximum est le plus grand de \((-2)^2 = 4\) et \(3^2 = 9\). Donc \(\mathbf{0 \leqslant x^2 \leqslant 9}\).
Écrire « \(4 \leqslant x^2 \leqslant 9\) » serait faux : pour \(x = 0\), \(x^2 = 0\).
a) On sait que \(2 \leqslant x \leqslant 5\). Encadre \(\dfrac{1}{x}\).
b) Résous \(\dfrac{1}{x} = 4\).
c) Résous \(\dfrac{1}{x} > 2\) pour \(x > 0\).
a) Sur \(]0 ; +\infty[\), l'inverse est décroissante : \(\mathbf{\dfrac{1}{5} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{2}}\).
b) \(x = \mathbf{\dfrac{1}{4}}\).
c) Pour \(x > 0\) : \(\dfrac{1}{x} > 2 = \dfrac{1}{0{,}5}\). Comme l'inverse est décroissante sur \(]0 ; +\infty[\), cela équivaut à \(x < 0{,}5\). \(S = \;\mathbf{]0 ; 0{,}5[}\).
a) Compare \(\sqrt{x}\) et \(x\) pour \(x = 0{,}25\), puis pour \(x = 9\).
b) Résous \(\sqrt{x} = 3\) et \(\sqrt{x} \leqslant 2\).
a) \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 > 0{,}25\) ; \(\sqrt{9} = 3 < 9\). Entre \(0\) et \(1\), la racine est plus grande que le nombre ; au-delà de \(1\), plus petite.
b) \(\sqrt{x} = 3\) donne \(x = \mathbf{9}\). \(\sqrt{x} \leqslant 2 = \sqrt{4}\) équivaut (fonction croissante, \(x \geqslant 0\)) à \(\mathbf{0 \leqslant x \leqslant 4}\).
a) Écris \(|x|\) sans valeur absolue selon que \(x \geqslant 0\) ou \(x < 0\).
b) Résous \(|x| \leqslant 3\).
c) En interprétant comme une distance, résous \(|x - 1| = 2\).
a) \(|x| = x\) si \(x \geqslant 0\) ; \(|x| = -x\) si \(x < 0\).
b) Distance à \(0\) au plus \(3\) : \(S = \mathbf{[-3 ; 3]}\).
c) Distance entre \(x\) et \(1\) égale à \(2\) : \(x = 1 + 2 = \mathbf{3}\) ou \(x = 1 - 2 = \mathbf{-1}\).
a) Résous \(x^3 = 27\) et \(x^3 = -64\).
b) Compare \(1{,}1^3\) et \(1{,}2^3\) sans les calculer.
a) \(x^3 = 27\) : \(x = \mathbf{3}\). \(x^3 = -64\) : \(x = \mathbf{-4}\).
b) \(1{,}1 < 1{,}2\) et la fonction cube est croissante sur \(\mathbb{R}\) : \(\mathbf{1{,}1^3 < 1{,}2^3}\).
a) Résous l'équation \(x^2 = x\).
b) Déduis-en les abscisses des points d'intersection de la parabole \(y = x^2\) et de la droite \(y = x\).
a) \(x^2 - x = 0\), soit \(x(x - 1) = 0\) : \(x = \mathbf{0}\) ou \(x = \mathbf{1}\).
b) Les courbes se coupent aux points d'abscisses \(0\) et \(1\), c'est-à-dire en \((0 ; 0)\) et \((1 ; 1)\).
Montre que pour tout \(x \geqslant 1\), on a \(x^2 \geqslant x\). (Étudie le signe de \(x^2 - x\).)
\(x^2 - x = x(x - 1)\). Pour \(x \geqslant 1\) : \(x \geqslant 1 > 0\) et \(x - 1 \geqslant 0\), donc le produit est positif ou nul. Ainsi \(x^2 - x \geqslant 0\), c'est-à-dire \(\mathbf{x^2 \geqslant x}\). \(\square\)
On sait que \(2 \leqslant x \leqslant 5\). Encadre \(x^2\) et \(\dfrac{1}{x}\).
Carré croissant sur \([0 ; +\infty[\) : \(\mathbf{4 \leqslant x^2 \leqslant 25}\). Inverse décroissante (l'ordre change) : \(\mathbf{\dfrac{1}{5} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{2}}\).
On sait que \(-3 \leqslant x \leqslant 1\). Encadre \(x^2\).
L'intervalle contient \(0\) : le carré y vaut \(0\) (minimum). Le maximum est atteint en \(-3\) : \(9\). Donc \(\mathbf{0 \leqslant x^2 \leqslant 9}\) (et non \(1 \leqslant x^2 \leqslant 9\)).
Compare \(x\) et \(x^2\) pour \(x \in [0 ; 1]\), puis pour \(x > 1\).
\(x^2 - x = x(x - 1)\). Sur \([0 ; 1]\) : \(x \geqslant 0\) et \(x - 1 \leqslant 0\), donc \(\mathbf{x^2 \leqslant x}\). Pour \(x > 1\) : \(\mathbf{x^2 > x}\).
Résous : \(\sqrt{x} < 3\).
\(\sqrt{x}\) est définie pour \(x \geqslant 0\) et croissante : \(\sqrt{x} < 3 \iff x < 9\). \(\mathcal{S} = \mathbf{[0 ; 9[}\).
Résous :
a) \(x^3 = -27\) \(\quad\)
b) \(x^3 \leqslant 8\)
a) \((-3)^3 = -27\) : \(x = \mathbf{-3}\) (seule solution, la fonction cube est strictement croissante).
b) \(2^3 = 8\) et la fonction cube est croissante : \(\mathcal{S} = \mathbf{]-\infty ; 2]}\).
Démontre que la fonction inverse est décroissante sur \(]0 ; +\infty[\). (Prends \(0 < a < b\) et étudie le signe de \(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}\).)
Soit \(0 < a < b\). \[\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}\]
Donc \(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} > 0\), soit \(\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}\) : l'ordre est inversé, la fonction inverse est décroissante sur \(]0 ; +\infty[\). \(\square\)
a) Montre que pour tous réels \(a\) et \(b\) tels que \(0 \leqslant a \leqslant b\), on a \(a^2 \leqslant b^2\).
b) Donne un exemple de réels \(a < b\) tels que \(a^2 > b^2\).
c) Pourquoi cela ne contredit-il pas
a) ?
a) \(b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)\). Avec \(0 \leqslant a \leqslant b\) : \(b - a \geqslant 0\) et \(b + a \geqslant 0\). Le produit est positif ou nul, donc \(a^2 \leqslant b^2\). \(\square\)
b) \(a = -3\) et \(b = 1\) : \(-3 < 1\) mais \((-3)^2 = 9 > 1 = 1^2\).
c) La propriété a) ne concerne que des nombres positifs. La fonction carré n'est croissante que sur \([0 ; +\infty[\) ; sur \(\mathbb{R}\) tout entier, elle n'est pas monotone.
L'aire d'un carré est comprise entre \(50\) et \(60\) cm².
a) Exprime le côté \(c\) en fonction de l'aire \(A\).
b) Encadre le côté (à \(0{,}01\) cm près). Justifie avec les variations d'une fonction de référence.
a) \(A = c^2\) avec \(c > 0\), donc \(\mathbf{c = \sqrt{A}}\).
b) \(50 \leqslant A \leqslant 60\) et la fonction racine carrée est croissante sur \([0 ; +\infty[\) : \[\sqrt{50} \leqslant c \leqslant \sqrt{60}\] Avec \(\sqrt{50} \approx 7{,}071\) et \(\sqrt{60} \approx 7{,}746\), on obtient à \(0{,}01\) près (par défaut et par excès) : \(\mathbf{7{,}07 \leqslant c \leqslant 7{,}75}\) cm.
On considère \(f(x) = |x - 2|\).
a) Calcule \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(5)\).
b) Décris la courbe de \(f\). Quel est le minimum de \(f\) ?
c) Résous \(f(x) < 3\).
a) \(f(0) = |-2| = \mathbf{2}\) ; \(f(2) = \mathbf{0}\) ; \(f(5) = \mathbf{3}\).
b) C'est la courbe de la valeur absolue décalée de \(2\) vers la droite : un « V » de sommet \((2 ; 0)\). Le minimum de \(f\) est \(0\), atteint en \(x = 2\).
c) \(|x - 2| < 3\) : \(x\) est à une distance de \(2\) strictement inférieure à \(3\), donc \(S = \;\mathbf{]-1 ; 5[}\).
a) Factorise \(x^3 - x^2\).
b) Déduis-en, selon les valeurs de \(x \geqslant 0\), la position de la courbe de \(x \mapsto x^3\) par rapport à celle de \(x \mapsto x^2\).
a) \(x^3 - x^2 = \mathbf{x^2(x - 1)}\).
b) \(x^2 \geqslant 0\), donc \(x^3 - x^2\) a le signe de \(x - 1\) (ou est nul si \(x = 0\)) :
Les courbes se coupent en \((0 ; 0)\) et \((1 ; 1)\).
Un objet lâché sans vitesse parcourt \(d(t) = 5t^2\) mètres en \(t\) secondes (\(t \geqslant 0\)).
a) Quelle distance parcourt-il en \(2\) s ? en \(3\) s ?
b) Combien de temps met-il pour tomber de \(45\) m ?
c) Pendant combien de temps la distance parcourue reste-t-elle inférieure ou égale à \(20\) m ?
d) Quelle distance parcourt-il pendant la troisième seconde ?
a) \(d(2) = 5 \times 4 = \mathbf{20}\) m ; \(d(3) = 5 \times 9 = \mathbf{45}\) m.
b) \(5t^2 = 45\) donne \(t^2 = 9\), et \(t \geqslant 0\), donc \(t = \mathbf{3}\) s.
c) \(5t^2 \leqslant 20\) équivaut à \(t^2 \leqslant 4\), soit \(0 \leqslant t \leqslant 2\) (car \(t \geqslant 0\)) : pendant les \(2\) premières secondes.
d) Entre \(t = 2\) et \(t = 3\) : \(45 - 20 = \mathbf{25}\) m.
