2nde · Chapitre 1 · Nombres et calculs

Nombres, intervalles et valeur absolue

30 exercices corrigés

1 Les ensembles de nombres

Les ensembles de nombres sont emboîtés : chaque ensemble est contenu dans le suivant.

Les cinq ensembles

$\mathbb{N}$ : les entiers naturels $0, 1, 2, 3, \ldots$ ;
$\mathbb{Z}$ : les entiers relatifs $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ ;
$\mathbb{D}$ : les nombres décimaux, qui s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule (comme $0{,}25$ ou $-1{,}7$) ;
$\mathbb{Q}$ : les nombres rationnels, qui s'écrivent comme un quotient $\dfrac{p}{q}$ de deux entiers ($q \ne 0$), par exemple $\dfrac{1}{3}$ ;
$\mathbb{R}$ : les nombres réels, qui correspondent à tous les points d'une droite graduée.

À retenir

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ (le symbole $\subset$ se lit « est inclus dans »). On écrit $x \in \mathbb{Q}$ pour dire « $x$ appartient à $\mathbb{Q}$ ».

Attention

$\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ n'est pas décimal (son écriture décimale est infinie). Les nombres comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ ne sont même pas rationnels : on dit qu'ils sont irrationnels.

2 Multiples, diviseurs, parité

Définition

$a$ et $b$ sont deux entiers. $a$ est un multiple de $b$ (ou $b$ est un diviseur de $a$) s'il existe un entier $k$ tel que $a = k \times b$.

Un entier pair s'écrit $2k$ ; un entier impair s'écrit $2k + 1$ (avec $k$ entier).

Méthode — démontrer une propriété sur les entiers

On écrit les nombres avec une lettre. Le carré d'un nombre impair est impair : si $n = 2k + 1$, alors $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, qui est de la forme $2k' + 1$.

3 Les intervalles

Un intervalle est l'ensemble des réels compris entre deux bornes.

Intervalle	Inégalité	Remarque
$[a ; b]$	$a \leqslant x \leqslant b$	bornes comprises (crochets « tournés vers l'intérieur »)
$]a ; b[$	$a < x < b$	bornes exclues
$[a ; b[$	$a \leqslant x < b$	$a$ compris, $b$ exclu
$[a ; +\infty[$	$x \geqslant a$	du côté de $+\infty$, le crochet est toujours ouvert
$]-\infty ; b[$	$x < b$

Intersection et réunion

$I \cap J$ (« $I$ inter $J$ ») contient les nombres qui sont dans les deux intervalles ; $I \cup J$ (« $I$ union $J$ ») contient ceux qui sont dans l'un au moins. Exemple : $[-1 ; 4] \cap [2 ; 7] = [2 ; 4]$ et $[-1 ; 4] \cup [2 ; 7] = [-1 ; 7]$.

4 La valeur absolue

Définition

La valeur absolue de $x$, notée $|x|$, est la distance entre $x$ et $0$ sur la droite graduée. Ainsi $|5| = 5$ et $|-5| = 5$. Plus généralement, $|x - a|$ est la distance entre les nombres $x$ et $a$.

À retenir

$|x - a| \leqslant r$ signifie que $x$ est à une distance au plus $r$ de $a$, c'est-à-dire $x \in [a - r ; a + r]$.

Les nombres x tels que |x − 2| ≤ 3 sont ceux qui sont à une distance au plus 3 de 2 : ils forment l'intervalle [−1 ; 5].

5 Racines carrées et puissances

Définition

Pour $a \geqslant 0$, $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$.

Propriétés

Pour $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$, $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \;(b > 0) \qquad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ Exemple : $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$.

Attention

$\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ! Par exemple $\sqrt{9 + 16} = 5$ alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.

Puissances

Pour $a \ne 0$ et $m$, $n$ entiers relatifs, $a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad a^m \times a^n = a^{m + n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \qquad (a^m)^n = a^{m \times n}$ La notation scientifique d'un nombre s'écrit $a \times 10^n$ avec $1 \leqslant a < 10$ (au signe près).

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Ensembles	$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
Irrationnels	$\sqrt{2}$, $\pi$ : ne s'écrivent pas sous forme de fraction
Pair / impair	$2k$ / $2k + 1$
Intervalles	Crochet fermé : borne comprise ; toujours ouvert en $\pm\infty$
Valeur absolue	$\|x - a\|$ = distance entre $x$ et $a$
$\|x - a\| \leqslant r$	$x \in [a - r ; a + r]$
Racines	$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, mais $\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$

Pièges à éviter

$\dfrac{1}{3}$ est rationnel mais pas décimal.
$\sqrt{a^2} = |a|$ : par exemple $\sqrt{(-3)^2} = 3$.
$-3^2 = -9$ mais $(-3)^2 = 9$.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—ClassificationNiveau 1

Classe chaque nombre dans le(s) ensemble(s) approprié(s) ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$) : $-3$ ; $\dfrac{7}{2}$ ; $\sqrt{4}$ ; $\sqrt{3}$ ; $0$ ; $-\dfrac{1}{3}$ ; $\pi$ ; $2{,}5$

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Règle : un nombre appartient à tous les ensembles "plus grands" que le plus petit qui le contient. Hiérarchie : $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q \subset \mathbb R$.

Étape 1 — Identifier la nature de chaque nombre

Nombre	Forme	Plus petit ensemble	Appartient à
$-3$	entier négatif	$\mathbb Z$	$\mathbb Z, \mathbb D, \mathbb Q, \mathbb R$
$\frac{7}{2} = 3{,}5$	décimal	$\mathbb D$	$\mathbb D, \mathbb Q, \mathbb R$
$\sqrt 4 = 2$	entier naturel	$\mathbb N$	$\mathbb N, \mathbb Z, \mathbb D, \mathbb Q, \mathbb R$
$\sqrt 3$	irrationnel	$\mathbb R$	$\mathbb R$ seulement
$0$	entier naturel	$\mathbb N$	tous
$-\frac{1}{3}$	rationnel non décimal	$\mathbb Q$	$\mathbb Q, \mathbb R$
$\pi$	irrationnel	$\mathbb R$	$\mathbb R$ seulement
$2{,}5$	décimal	$\mathbb D$	$\mathbb D, \mathbb Q, \mathbb R$

Pièges

$\sqrt 4 = 2$ est entier (ne pas le laisser dans $\mathbb R$ seulement) ; $-\frac{1}{3} = -0{,}333\ldots$ n'est pas décimal (écriture infinie) donc pas dans $\mathbb D$.

Exercice 2—IntervallesNiveau 1

Représente sur une droite numérique et traduis en inégalité :
a) $[-2; 3]$
b) $]0; +\infty[$
c) $]-\infty; 5[$

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Règle : crochet fermé $[\,]$ = borne incluse (●) ; crochet ouvert $]\,[$ = borne exclue (○).

a) $[-2\,;\,3]$

$-2 \leq x \leq 3 \quad\text{(les deux bornes incluses)}$ Droite : ● en $-2$, ● en $3$, segment plein entre.

b) $]0\,;\,+\infty[$

$x > 0 \quad\text{(0 exclu, pas de borne supérieure)}$ Droite : ○ en $0$, flèche vers la droite.

c) $]-\infty\,;\,5[$

$\[x < 5\]$ Droite : flèche vers la gauche, ○ en $5$.

Mémo

Devant $+\infty$ ou $-\infty$, on met toujours un crochet ouvert (l'infini n'est pas un nombre atteignable).

Exercice 3—Valeur absolue simpleNiveau 1

Calcule :
a) $|-5|$
b) $|3 - 7|$
c) $|2 - (-4)|$
d) $\left|\dfrac{1}{2} - 1\right|$

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Règle : $|x|$ = distance à zéro, toujours positive.

a) $|-5|$

$|-5| = \mathbf{5}$

b) $|3 - 7|$

$|3 - 7| = |-4| = \mathbf{4}$

c) $|2 - (-4)|$

$|2 + 4| = |6| = \mathbf{6}$

d) $\left|\frac{1}{2} - 1\right|$

$\left|-\dfrac{1}{2}\right| = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$

Astuce

On calcule d'abord l'intérieur, ensuite on prend la valeur absolue.

Exercice 4—Simplification de racinesNiveau 1

Simplifie :
a) $\sqrt{18}$
b) $\sqrt{50}$
c) $\sqrt{75}$
d) $\sqrt{8}$

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Méthode : extraire le plus grand facteur carré parfait sous la racine.

a) $\sqrt{18}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt 9 \times \sqrt 2 = \mathbf{3\sqrt 2}$

b) $\sqrt{50}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \mathbf{5\sqrt 2}$

c) $\sqrt{75}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \mathbf{5\sqrt 3}$

d) $\sqrt{8}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \mathbf{2\sqrt 2}$

Carrés parfaits utiles

4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Repérer le plus grand qui divise le nombre.

Exercice 5—PuissancesNiveau 1

Calcule sans calculatrice :
a) $2^{-3}$
b) $10^{-2}$
c) $3^4$
d) $(2^3)^2$

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Règles : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ ; $(a^m)^n = a^{mn}$.

a) $2^{-3}$

$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \mathbf{\dfrac{1}{8}}$

b) $10^{-2}$

$10^{-2} = \dfrac{1}{100} = \mathbf{0{,}01}$

c) $3^4$

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = \mathbf{81}$

d) $(2^3)^2$

$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = \mathbf{64}$

Piège (d)

$(2^3)^2 = 2^6 = 64$ (on multiplie les exposants), pas $2^3 \times 2^2$.

Exercice 6—Intersection et réunionNiveau 1

Donne $A \cap B$ et $A \cup B$ pour : $A = [-1; 4]$ et $B = [2; 7]$

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Règle : $A \cap B$ = partie commune ; $A \cup B$ = tout ce qui est dans l'un ou l'autre.

Étape 1 — Visualiser

$A = [-1\,;\,4]$ et $B = [2\,;\,7]$ se chevauchent sur $[2\,;\,4]$.

Étape 2 — Intersection

$A \cap B = [2\,;\,4] \quad\text{(borne basse = max des deux, borne haute = min des deux)}$

Étape 3 — Réunion

$A \cup B = [-1\,;\,7] \quad\text{(de la plus petite à la plus grande borne, car les intervalles se touchent)}$

Méthode graphique

Tracer les deux intervalles l'un au-dessus de l'autre sur une droite — la zone double = intersection, la zone totale = réunion.

Exercice 7—Le plus petit ensembleNiveau 1

Donne le plus petit ensemble ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$) auquel appartient chaque nombre : $-3$ ; $\dfrac{2}{5}$ ; $\sqrt{9}$ ; $\pi$ ; $\dfrac{1}{3}$.

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$-3 \in \mathbf{\mathbb{Z}}$ ; $\dfrac{2}{5} = 0{,}4 \in \mathbf{\mathbb{D}}$ ; $\sqrt{9} = 3 \in \mathbf{\mathbb{N}}$ ; $\pi \in \mathbf{\mathbb{R}}$ (irrationnel) ; $\dfrac{1}{3} \in \mathbf{\mathbb{Q}}$ (son écriture décimale est illimitée).

Exercice 8—IntervallesNiveau 1

a) Traduis $x \in [-2 ; 5[$ par des inégalités.
b) Écris « $x > 3$ » sous forme d'intervalle.

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a) $\mathbf{-2 \leqslant x < 5}$. b) $\mathbf{x \in \,]3 ; +\infty[}$.

Exercice 9—Valeurs absoluesNiveau 1

Calcule :
a) $|-7|$ $\quad$
b) $|3 - 8|$ $\quad$
c) $|\pi - 4|$

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a) $\mathbf{7}$ ; b) $|-5| = \mathbf{5}$ ; c) $\pi - 4 < 0$, donc $|\pi - 4| = \mathbf{4 - \pi}$.

Exercice 10—Simplifier des racinesNiveau 1

Écris sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ entier le plus petit possible :
a) $\sqrt{50}$ $\quad$
b) $\sqrt{12}$ $\quad$
c) $\sqrt{75}$

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🎯 On fait apparaître le plus grand carré parfait possible.

a) $\sqrt{25 \times 2} = \mathbf{5\sqrt{2}}$ ; b) $\sqrt{4 \times 3} = \mathbf{2\sqrt{3}}$ ; c) $\sqrt{25 \times 3} = \mathbf{5\sqrt{3}}$.

Exercice 11—PuissancesNiveau 1

Écris sous la forme d'une seule puissance :
a) $2^3 \times 2^5$ $\quad$
b) $(3^2)^3$ $\quad$
c) $\dfrac{5^7}{5^4}$

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a) $\mathbf{2^8}$ ; b) $\mathbf{3^6}$ ; c) $\mathbf{5^3}$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Opérations sur les racinesNiveau 2

Calcule et simplifie :
a) $\sqrt{3} \times \sqrt{12}$
b) $\sqrt{50} - \sqrt{8}$
c) $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$

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Stratégie : utiliser $\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}$, simplifier les racines, regrouper.

a) $\sqrt 3 \times \sqrt{12}$

$\sqrt 3 \times \sqrt{12} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$

b) $\sqrt{50} - \sqrt 8$

On simplifie chaque racine : $\sqrt{50} = 5\sqrt 2$, $\sqrt 8 = 2\sqrt 2$. $5\sqrt 2 - 2\sqrt 2 = \mathbf{3\sqrt 2}$

c) $(2 + \sqrt 3)(2 - \sqrt 3)$

Identité $a^2 - b^2$ avec $a = 2$, $b = \sqrt 3$ : $2^2 - (\sqrt 3)^2 = 4 - 3 = \mathbf{1}$

Quantité conjuguée

$(a + \sqrt b)(a - \sqrt b) = a^2 - b$ — sert à éliminer les racines (rationalisation, ex. 15).

Exercice 13—Valeur absolue : équationNiveau 2

Résous :
a) $|x - 3| = 5$
b) $|2x + 1| = 7$
c) $|x| = -2$

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Règle : $|X| = a$ (avec $a \geq 0$) ⟺ $X = a$ ou $X = -a$. Si $a < 0$ : aucune solution.

a) $|x - 3| = 5$

$x - 3 = 5 \Rightarrow x = 8 \quad\text{ou}\quad x - 3 = -5 \Rightarrow x = -2$ $\boxed{S = \{-2\,;\,8\}}$

b) $|2x + 1| = 7$

$2x + 1 = 7 \Rightarrow x = 3 \quad\text{ou}\quad 2x + 1 = -7 \Rightarrow x = -4$ $\boxed{S = \{-4\,;\,3\}}$

c) $|x| = -2$

Une valeur absolue est toujours $\geq 0$ → impossible d'être égale à $-2$. $\boxed{S = \varnothing}$

Réflexe

Si une valeur absolue est égalée à un nombre négatif, conclure immédiatement « pas de solution ».

Exercice 14—Valeur absolue : inéquationNiveau 2

Résous et donne le résultat en notation d'intervalle :
a) $|x - 2| < 3$
b) $|x + 1| \geq 4$

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Règles :

$|X| < r$ ⟺ $-r < X < r$ (encadrement)
$|X| \geq r$ ⟺ $X \leq -r$ ou $X \geq r$ (deux morceaux)

a) $|x - 2| < 3$

$-3 < x - 2 < 3 \quad\Rightarrow\quad -1 < x < 5$ $\boxed{S = ]-1\,;\,5[}$

b) $|x + 1| \geq 4$

$x + 1 \leq -4 \;\text{ou}\; x + 1 \geq 4 \quad\Rightarrow\quad x \leq -5 \;\text{ou}\; x \geq 3$ $\boxed{S = ]-\infty\,;\,-5] \cup [3\,;\,+\infty[}$

Interprétation

$|x-2| < 3$ = « $x$ à distance < 3 de 2 » ; $|x+1| \geq 4$ = « $x$ à distance ≥ 4 de $-1$ ».

Exercice 15—RationalisationNiveau 2

Rationalise (élimine $\sqrt{}$ au dénominateur) :
a) $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$
b) $\dfrac{1}{\sqrt{7}-2}$
c) $\dfrac{4}{3-\sqrt{2}}$

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Méthode : multiplier par la quantité conjuguée (ou par $\sqrt{}$) pour rendre le dénominateur rationnel.

a) $\dfrac{3}{\sqrt 5}$

Multiplier haut et bas par $\sqrt 5$ : $\dfrac{3}{\sqrt 5} = \dfrac{3\sqrt 5}{(\sqrt 5)^2} = \mathbf{\dfrac{3\sqrt 5}{5}}$

b) $\dfrac{1}{\sqrt 7 - 2}$

Multiplier par la conjuguée $\sqrt 7 + 2$ : $\dfrac{1}{\sqrt 7 - 2} \times \dfrac{\sqrt 7 + 2}{\sqrt 7 + 2} = \dfrac{\sqrt 7 + 2}{(\sqrt 7)^2 - 2^2} = \dfrac{\sqrt 7 + 2}{7 - 4} = \mathbf{\dfrac{\sqrt 7 + 2}{3}}$

c) $\dfrac{4}{3 - \sqrt 2}$

Multiplier par la conjuguée $3 + \sqrt 2$ : $\dfrac{4(3 + \sqrt 2)}{9 - 2} = \mathbf{\dfrac{12 + 4\sqrt 2}{7}}$

Quantité conjuguée

Pour $a - \sqrt b$, c'est $a + \sqrt b$. Le produit donne $a^2 - b$ (sans racine).

Exercice 16—Puissances : simplificationNiveau 2

Simplifie en ne conservant que des puissances positives : $\frac{a^3 \times b^{-2}}{a^{-1} \times b^4}$

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Règles : $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ; $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.

Étape 1 — Regrouper les puissances de $a$ et $b$

$\dfrac{a^3 \times b^{-2}}{a^{-1} \times b^4} = a^{3 - (-1)} \times b^{-2 - 4}$

Étape 2 — Calculer les exposants

$= a^{4} \times b^{-6}$

Étape 3 — Écrire avec exposants positifs

$= \mathbf{\dfrac{a^4}{b^6}}$

Piège des signes

$3 - (-1) = 4$ (pas 2). Bien gérer la soustraction d'un exposant négatif.

Exercice 17—Notation scientifiqueNiveau 2

Donne en notation scientifique :
a) $0{,}000045$
b) $3\,500\,000$
c) $(2 \times 10^3)^3$

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Règle : notation scientifique = $a \times 10^n$ avec $1 \leq |a| < 10$.

a) $0{,}000045$

Déplacer la virgule de 5 rangs vers la droite : $4{,}5$. $0{,}000045 = \mathbf{4{,}5 \times 10^{-5}}$

b) $3\,500\,000$

Déplacer de 6 rangs vers la gauche : $3\,500\,000 = \mathbf{3{,}5 \times 10^6}$

c) $(2 \times 10^3)^3$

$(2 \times 10^3)^3 = 2^3 \times (10^3)^3 = 8 \times 10^9 = \mathbf{8 \times 10^9}$

🔍 Vérification (c) : $8$ vérifie $1 \leq 8 < 10$ → déjà en notation scientifique. ✓

Exercice 18—Quel ensemble ?Niveau 2

Montre que $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel. (Raisonnement par l'absurde)

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Stratégie (raisonnement par l'absurde) : supposer le contraire, aboutir à une contradiction.

Étape 1 — Hypothèse de l'absurde

Supposons $\sqrt 2 = \dfrac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers, $q \neq 0$, et la fraction irréductible (pas de facteur commun).

Étape 2 — Élever au carré

$2 = \dfrac{p^2}{q^2} \quad\Rightarrow\quad p^2 = 2q^2$

Donc $p^2$ est pair → $p$ est pair (car le carré d'un impair est impair). Posons $p = 2k$.

Étape 3 — Substituer

$(2k)^2 = 2q^2 \quad\Rightarrow\quad 4k^2 = 2q^2 \quad\Rightarrow\quad q^2 = 2k^2$

Donc $q^2$ est pair → $q$ est pair.

Étape 4 — Contradiction

$p$ et $q$ sont tous deux pairs → ils ont 2 comme facteur commun. Cela contredit l'hypothèse « fraction irréductible ».

Conclusion : $\sqrt 2$ ne peut pas s'écrire $\frac{p}{q}$ → $\sqrt 2$ est irrationnel. $\;\square$

Démonstration historique

Attribuée aux Pythagoriciens, elle a révélé l'existence des nombres irrationnels — une crise mathématique majeure dans l'Antiquité.

Exercice 19—Distance et intervalleNiveau 2

Décris l'ensemble $E = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 1| \leq 3\}$ comme un intervalle. Puis décris $F = \{x \in \mathbb{R} \mid |x + 2| > 5\}$.

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Stratégie : traduire la condition de valeur absolue en intervalle.

Étape 1 — Ensemble $E$ : $|x - 1| \leq 3$

$-3 \leq x - 1 \leq 3 \quad\Rightarrow\quad -2 \leq x \leq 4$ $\boxed{E = [-2\,;\,4]}$

Étape 2 — Ensemble $F$ : $|x + 2| > 5$

$x + 2 < -5 \;\text{ou}\; x + 2 > 5 \quad\Rightarrow\quad x < -7 \;\text{ou}\; x > 3$ $\boxed{F = ]-\infty\,;\,-7[ \cup ]3\,;\,+\infty[}$

Géométrie

$E$ = points à distance ≤ 3 de 1 ; $F$ = points à distance > 5 de $-2$.

Exercice 20—Intersection et réunionNiveau 2

Détermine $[-1 ; 4] \cap [2 ; 6]$ et $[-1 ; 4] \cup [2 ; 6]$.

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Intersection (les deux à la fois) : $\mathbf{[2 ; 4]}$. Réunion (l'un ou l'autre) : $\mathbf{[-1 ; 6]}$.

Exercice 21—Calculs avec des racinesNiveau 2

Calcule :
a) $\sqrt{12} + \sqrt{27}$ $\quad$
b) $\sqrt{2} \times \sqrt{8}$

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a) $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = \mathbf{5\sqrt{3}}$. b) $\sqrt{16} = \mathbf{4}$.

Attention

$\sqrt{12} + \sqrt{27} \ne \sqrt{39}$ : la racine d'une somme n'est pas la somme des racines.

Exercice 22—Valeur absolue et distanceNiveau 2

a) Résous $|x - 3| = 2$. $\quad$
b) Résous $|x - 1| \leqslant 4$ et donne la réponse sous forme d'intervalle.

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🎯 $|x - a|$ est la distance entre $x$ et $a$.

a) Les nombres à distance $2$ de $3$ : $\mathbf{1}$ et $\mathbf{5}$.

b) Les nombres à distance au plus $4$ de $1$ : $\mathbf{[-3 ; 5]}$.

Exercice 23—RationaliserNiveau 2

Écris sans racine au dénominateur :
a) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $\quad$
b) $\dfrac{2}{\sqrt{3} - 1}$

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a) $\dfrac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$.

b) On multiplie par la quantité conjuguée : $\dfrac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \dfrac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \mathbf{\sqrt{3} + 1}$.

Exercice 24—Identités et racinesNiveau 2

Calcule :
a) $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$ $\quad$
b) $(1 + \sqrt{2})^2$

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a) $4 - 3 = \mathbf{1}$. b) $1 + 2\sqrt{2} + 2 = \mathbf{3 + 2\sqrt{2}}$.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Développement avec racinesNiveau 3

Développe et simplifie : $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$

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Stratégie : développer les deux carrés (avec double produit), puis soustraire.

Étape 1 — Développer $(\sqrt 5 + \sqrt 3)^2$

$(\sqrt 5)^2 + 2\sqrt 5 \sqrt 3 + (\sqrt 3)^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$

Étape 2 — Développer $(\sqrt 5 - \sqrt 3)^2$

$5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$

Étape 3 — Soustraire

$(8 + 2\sqrt{15}) - (8 - 2\sqrt{15}) = 4\sqrt{15}$

$\boxed{(\sqrt 5 + \sqrt 3)^2 - (\sqrt 5 - \sqrt 3)^2 = 4\sqrt{15}}$

Identité

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$. Ici $a = \sqrt 5$, $b = \sqrt 3$ → $4\sqrt 5 \sqrt 3 = 4\sqrt{15}$ ✓ (méthode directe).

Exercice 26—Inégalité triangulaireNiveau 3

Montre que pour tous réels $a, b$ : $|a| - |b| \leq |a - b|$ (Utilise l'inégalité triangulaire avec $a = (a-b) + b$)

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Stratégie : appliquer l'inégalité triangulaire $|u + v| \leq |u| + |v|$ à une décomposition astucieuse.

Étape 1 — Décomposer $a$

$\[a = (a - b) + b\]$

Étape 2 — Appliquer l'inégalité triangulaire

Avec $u = a - b$ et $v = b$ : $|a| = |(a - b) + b| \leq |a - b| + |b|$

Étape 3 — Isoler

$|a| - |b| \leq |a - b| \;\square$

Inégalité triangulaire inverse

On a en fait $\big||a| - |b|\big| \leq |a - b|$ (version symétrique, en échangeant les rôles de $a$ et $b$).

Exercice 27—Démontrer avec la paritéNiveau 3

a) Démontre que le carré d'un nombre impair est impair.
b) Démontre que la somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de $4$.
c) Vérifie
b) avec $13$ et $15$.

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a) Soit $n$ impair : $n = 2k + 1$ avec $k$ entier. $\[n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\]$ $2k^2 + 2k$ est un entier : $n^2$ est de la forme $2k' + 1$, il est impair. $\square$

b) Deux impairs consécutifs s'écrivent $2k + 1$ et $2k + 3$. $\[(2k + 1) + (2k + 3) = 4k + 4 = 4(k + 1)\]$ C'est $4$ fois un entier : un multiple de $4$. $\square$

c) $13 + 15 = 28 = 4 \times 7$ ✓ (ici $k = 6$ et $k + 1 = 7$).

Exercice 28—Encadrements de $\sqrt{2}$Niveau 3

a) Montre que $1{,}41^2 < 2 < 1{,}42^2$.

b) Déduis un encadrement de $\sqrt{2}$ à $0{,}01$ près.

c) Sans calculatrice, encadre $\sqrt{2}$ à $0{,}1$ près.

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Stratégie : encadrer $2$ par des carrés, puis "passer à la racine".

a) Vérifier l'encadrement

$1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2 \quad ✓$ $1{,}42^2 = 2{,}0164 > 2 \quad ✓$

b) Déduire l'encadrement de $\sqrt 2$

Comme la fonction racine est croissante, de $1{,}41^2 < 2 < 1{,}42^2$ on tire : $\boxed{1{,}41 < \sqrt 2 < 1{,}42}$ (encadrement à $0{,}01$ près)

c) Encadrement à $0{,}1$ près (sans calculatrice)

$1{,}4^2 = 1{,}96 < 2 \quad\text{et}\quad 1{,}5^2 = 2{,}25 > 2$ $\boxed{1{,}4 < \sqrt 2 < 1{,}5}$

Principe

Pour encadrer $\sqrt a$, on encadre $a$ entre deux carrés de nombres décimaux successifs.

Exercice 29—Multiples et puissancesNiveau 3

a) Démontre que si $a$ et $b$ sont deux multiples de $7$, alors $a + b$ est aussi un multiple de $7$.
b) Montre que $3^{20} + 3^{21}$ est un multiple de $4$.
c) Le nombre $2^{10} + 2^{11} + 2^{12}$ est-il un multiple de $7$ ?

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a) $a = 7k$ et $b = 7k'$ avec $k$, $k'$ entiers. Alors $a + b = 7k + 7k' = 7(k + k')$ : c'est un multiple de $7$. $\square$

b) On factorise par $3^{20}$ : $3^{20} + 3^{21} = 3^{20} \times (1 + 3) = 4 \times 3^{20}$ C'est un multiple de $4$.

c) On factorise par $2^{10}$ : $2^{10} + 2^{11} + 2^{12} = 2^{10}(1 + 2 + 4) = 7 \times 2^{10}$ Oui, c'est un multiple de $7$.

Exercice 30—SynthèseNiveau 3

On définit $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}}{x^2 - 4}$.

a) Quelles sont les valeurs interdites de $x$ ?

b) Quelles contraintes impose $\sqrt{x+1}$ sur $x$ ?

c) Donne l'ensemble de définition de $f$.

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Stratégie : combiner deux contraintes — dénominateur non nul ET expression sous racine positive.

a) Valeurs interdites (dénominateur ≠ 0)

$x^2 - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2 \;\text{ou}\; x = -2$

Ces valeurs sont interdites.

b) Contrainte de la racine (radicande ≥ 0)

$x + 1 \geq 0 \quad\Rightarrow\quad x \geq -1$

c) Ensemble de définition (combiner)

On garde $x \geq -1$, en excluant $x = 2$ (la valeur $-2$ est déjà exclue par $x \geq -1$) : $\boxed{D_f = [-1\,;\,2[ \cup ]2\,;\,+\infty[}$

🔍 Vérification : $x = -2$ ? Non ($-2 < -1$, déjà exclu). $x = 2$ ? Exclu (annule dénominateur). $x = -1$ ? OK ($\sqrt 0 = 0$, dénominateur $= -3 \neq 0$). ✓

Méthode systématique

Pour un ensemble de définition : lister TOUTES les contraintes (dénominateurs, racines, logarithmes...), puis prendre leur intersection.

Intervalle	Inégalité	Remarque
\([a ; b]\)	\(a \leqslant x \leqslant b\)	bornes comprises (crochets « tournés vers l'intérieur »)
\(]a ; b[\)	\(a < x < b\)	bornes exclues
\([a ; b[\)	\(a \leqslant x < b\)	\(a\) compris, \(b\) exclu
\([a ; +\infty[\)	\(x \geqslant a\)	du côté de \(+\infty\), le crochet est toujours ouvert
\(]-\infty ; b[\)	\(x < b\)

Nombre	Forme	Plus petit ensemble	Appartient à
\(-3\)	entier négatif	\(\mathbb Z\)	\(\mathbb Z, \mathbb D, \mathbb Q, \mathbb R\)
\(\frac{7}{2} = 3{,}5\)	décimal	\(\mathbb D\)	\(\mathbb D, \mathbb Q, \mathbb R\)
\(\sqrt 4 = 2\)	entier naturel	\(\mathbb N\)	\(\mathbb N, \mathbb Z, \mathbb D, \mathbb Q, \mathbb R\)
\(\sqrt 3\)	irrationnel	\(\mathbb R\)	\(\mathbb R\) seulement
\(0\)	entier naturel	\(\mathbb N\)	tous
\(-\frac{1}{3}\)	rationnel non décimal	\(\mathbb Q\)	\(\mathbb Q, \mathbb R\)
\(\pi\)	irrationnel	\(\mathbb R\)	\(\mathbb R\) seulement
\(2{,}5\)	décimal	\(\mathbb D\)	\(\mathbb D, \mathbb Q, \mathbb R\)