2nde · Chapitre 4 · Fonctions

Fonctions affines et droites

30 exercices corrigés

1 Fonctions affines

Définition

Une fonction affine est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = mx + p$, où $m$ et $p$ sont deux réels.

$m$ est le coefficient directeur (ou pente) ;
$p$ est l'ordonnée à l'origine : $f(0) = p$.

Cas particuliers : si $p = 0$, $f$ est linéaire ; si $m = 0$, $f$ est constante.

À retenir

La courbe d'une fonction affine est une droite. Elle coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; p)$.

Une fonction linéaire (en bleu) et une fonction affine de coefficient directeur −1 et d'ordonnée à l'origine 3 (en rouge).

Coefficient directeur

Quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $m$. Pour deux points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ de la droite (avec $x_A \ne x_B$) : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

2 Variations et signe

Variations

Si $m > 0$, $f$ est croissante ; si $m < 0$, $f$ est décroissante ; si $m = 0$, elle est constante.

Signe de $mx + p$

($m \ne 0$) : $mx + p$ s'annule en $x_0 = -\dfrac{p}{m}$. Il est du signe de $m$ à droite de $x_0$, et du signe contraire à gauche.

$x$	$-\infty$		$-\dfrac{p}{m}$		$+\infty$
$mx + p$		signe de $-m$	$0$	signe de $m$

3 Équation réduite d'une droite

À retenir

Dans un repère, toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation réduite de la forme $y = mx + p$. Une droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme $x = c$.

Méthode — trouver l'équation de la droite $(AB)$

Avec $A(1 ; 3)$ et $B(3 ; 7)$.

Coefficient directeur : $m = \dfrac{7 - 3}{3 - 1} = 2$.
On écrit $y = 2x + p$ et on utilise $A$ : $3 = 2 \times 1 + p$, donc $p = 1$.
Équation : $y = 2x + 1$. On vérifie avec $B$ : $2 \times 3 + 1 = 7$ ✓

4 Positions relatives de deux droites

À retenir

Soit $d_1 : y = m_1 x + p_1$ et $d_2 : y = m_2 x + p_2$.

Si $m_1 = m_2$, les droites sont parallèles (confondues si de plus $p_1 = p_2$).
Si $m_1 \ne m_2$, elles sont sécantes : on trouve l'abscisse de leur point d'intersection en résolvant $m_1 x + p_1 = m_2 x + p_2$.

Trois points alignés

$A$, $B$, $C$ sont alignés si les droites $(AB)$ et $(AC)$ ont le même coefficient directeur.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

En 1re, tu apprendras à reconnaître deux droites perpendiculaires grâce au produit scalaire.

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Fonction affine	$f(x) = mx + p$ ; courbe : droite
Coefficient directeur	$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$
Ordonnée à l'origine	$p = f(0)$
Variations	$m > 0$ : croissante ; $m < 0$ : décroissante
Signe de $mx + p$	Signe de $m$ à droite de $-\dfrac{p}{m}$
Droites parallèles	Même coefficient directeur
Intersection	Résoudre $m_1 x + p_1 = m_2 x + p_2$

Pièges à éviter

Dans $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, garder le même ordre en haut et en bas.
Une droite verticale ($x = c$) ne représente pas une fonction.
Toujours vérifier l'équation trouvée avec le second point.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Calcul de $a$ et $b$Niveau 1

Pour chaque droite, donne le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine :
a) $y = 3x - 5$
b) $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$
c) $y = 7$
d) $2x + y = 6$

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Règle : dans $y = ax + b$, $a$ = coefficient directeur, $b$ = ordonnée à l'origine.

a) $y = 3x - 5$

$\mathbf{a = 3}$, $\mathbf{b = -5}$.

b) $y = -\frac{1}{2}x + 4$

$\mathbf{a = -\dfrac{1}{2}}$, $\mathbf{b = 4}$.

c) $y = 7$

Pas de terme en $x$ → $\mathbf{a = 0}$ (fonction constante), $\mathbf{b = 7}$.

d) $2x + y = 6$

On isole $y$ : $y = -2x + 6$ → $\mathbf{a = -2}$, $\mathbf{b = 6}$.

Forme générale

Il faut d'abord mettre sous la forme $y = ax + b$ pour lire les coefficients.

Exercice 2—Équation d'une droiteNiveau 1

Trouve l'équation de la droite passant par :
a) $(0; 3)$ avec pente $2$
b) $(2; 5)$ et $(4; 9)$
c) $(-1; 4)$ et $(3; 0)$

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Méthode : pente avec deux points $a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$, puis $b$ via un point.

a) Point $(0;3)$, pente 2

L'ordonnée à l'origine est directement $b = 3$ (le point est sur l'axe des $y$) : $\boxed{y = 2x + 3}$

b) Points $(2;5)$ et $(4;9)$

$a = \dfrac{9 - 5}{4 - 2} = \dfrac{4}{2} = 2$ $b$ : $5 = 2 \times 2 + b \Rightarrow b = 1$. $\boxed{y = 2x + 1}$

c) Points $(-1;4)$ et $(3;0)$

$a = \dfrac{0 - 4}{3 - (-1)} = \dfrac{-4}{4} = -1$ $b$ : $4 = -1 \times (-1) + b \Rightarrow b = 3$. $\boxed{y = -x + 3}$

🔍 Vérification (c) : $f(3) = -3 + 3 = 0$ ✓

Exercice 3—Point sur une droiteNiveau 1

Le point $A(3; k)$ est-il sur la droite $y = 2x - 1$ ? (Trouver $k$)

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Stratégie : un point est sur la droite si ses coordonnées vérifient l'équation.

Étape 1 — Calculer $k = f(3)$

$k = 2 \times 3 - 1 = 5$

Étape 2 — Conclusion

$A(3\,;\,k)$ est sur la droite $y = 2x - 1$ si et seulement si $\mathbf{k = 5}$.

Exercice 4—Signe d'une expression affineNiveau 1

Étudie le signe de $f(x) = 3x - 6$. Pour quelles valeurs de $x$ est-il positif ?

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Stratégie : trouver le zéro, puis appliquer la règle du signe (signe de $a$ après le zéro).

Étape 1 — Zéro de $f$

$3x - 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2$

Étape 2 — Signe

$a = 3 > 0$ → $f$ négatif avant 2, positif après.

$\boxed{f(x) > 0 \;\Leftrightarrow\; x > 2}$

Règle du signe affine

« signe de $a$ après le zéro, signe de $-a$ avant ».

Exercice 5—Intersection avec les axesNiveau 1

La droite $y = -2x + 8$ coupe l'axe des $x$ en quel point ? l'axe des $y$ ?

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Étape 1 — Intersection avec l'axe des $x$ ($y = 0$)

$-2x + 8 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 4 \quad\Rightarrow\quad \boxed{(4\,;\,0)}$

Étape 2 — Intersection avec l'axe des $y$ ($x = 0$)

$y = -2 \times 0 + 8 = 8 \quad\Rightarrow\quad \boxed{(0\,;\,8)}$

Mémo

Axe des $y$ → $x = 0$ → $y = b$ (ordonnée à l'origine) ; axe des $x$ → $y = 0$ → résoudre.

Exercice 6—Droites parallèlesNiveau 1

Les droites $y = 3x + 1$ et $y = 3x - 2$ sont-elles parallèles ? Perpendiculaires ? Sécantes ?

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Stratégie : comparer les coefficients directeurs.

Étape 1 — Comparer les pentes

$y = 3x + 1$ : $a_1 = 3$. $y = 3x - 2$ : $a_2 = 3$.

Étape 2 — Conclusion

$a_1 = a_2 = 3$ mais $b_1 = 1 \neq b_2 = -2$ → les droites sont parallèles (distinctes).

Elles ne sont pas sécantes (mêmes pentes).

Critères

Même pente + ordonnées différentes → parallèles ; même pente + même ordonnée → confondues ; pentes différentes → sécantes.

Exercice 7—Retrouver $a$ et $b$Niveau 1

$f$ est affine, avec $f(0) = -1$ et $f(2) = 5$. Détermine $f(x)$.

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$b = f(0) = -1$ ; $a = \dfrac{5 - (-1)}{2 - 0} = 3$. $\mathbf{f(x) = 3x - 1}$.

Exercice 8—Équation d'une droiteNiveau 1

Détermine l'équation réduite de la droite passant par $A(-1 ; 4)$ et $B(3 ; -4)$.

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$a = \dfrac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2$. Avec $A$ : $4 = 2 + b$, $b = 2$. $\mathbf{y = -2x + 2}$. 🔍 Avec $B$ : $-6 + 2 = -4$ ✓

Exercice 9—SigneNiveau 1

Étudie le signe de $-3x + 12$ selon les valeurs de $x$.

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$-3x + 12 = 0$ pour $x = 4$ ; $a = -3 < 0$ : positif pour $x < 4$, nul en $4$, négatif pour $x > 4$.

Exercice 10—Intersections avec les axesNiveau 1

Détermine les points d'intersection de la droite $y = 2x - 6$ avec les deux axes.

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Axe des ordonnées ($x = 0$) : $\mathbf{(0 ; -6)}$. Axe des abscisses ($y = 0$) : $2x = 6$, $\mathbf{(3 ; 0)}$.

Exercice 11—Parallèles ?Niveau 1

Parmi les droites $d_1 : y = 3x + 1$, $d_2 : y = 3x - 5$ et $d_3 : y = -2x + 1$, lesquelles sont parallèles ?

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Même coefficient directeur : $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Point d'intersectionNiveau 2

Trouve les coordonnées du point d'intersection de : $d_1 : y = 2x + 1 \quad \text{et} \quad d_2 : y = -x + 7$

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Stratégie : égaler les deux expressions de $y$.

Étape 1 — Égaler

$2x + 1 = -x + 7 \quad\Rightarrow\quad 3x = 6 \quad\Rightarrow\quad x = 2$

Étape 2 — Calculer $y$

$y = 2 \times 2 + 1 = 5$

$\boxed{\text{Intersection} : (2\,;\,5)}$

🔍 Vérification ($d_2$) : $-2 + 7 = 5$ ✓

Exercice 13—Droite parallèleNiveau 2

Trouve l'équation réduite de la droite parallèle à $d : y = 3x - 2$ passant par $A(6 ; 1)$.

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Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur : la droite cherchée a une équation $y = 3x + p$. Elle passe par $A(6 ; 1)$ : $1 = 3 \times 6 + p$, donc $p = 1 - 18 = -17$.

Équation : $\mathbf{y = 3x - 17}$.

🔍 Vérification : $3 \times 6 - 17 = 1$ ✓

Exercice 14—Droite et axe des abscissesNiveau 2

Une droite passe par $A(-2 ; 5)$ et $B(4 ; 2)$.
a) Détermine son équation réduite.
b) En quel point coupe-t-elle l'axe des abscisses ?

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a) $m = \dfrac{2 - 5}{4 - (-2)} = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac{1}{2}$. Avec $A$ : $5 = -\dfrac{1}{2} \times (-2) + p = 1 + p$, donc $p = 4$. Équation : $\mathbf{y = -\dfrac{1}{2}x + 4}$. Vérification avec $B$ : $-2 + 4 = 2$ ✓

b) On cherche $y = 0$ : $-\dfrac{1}{2}x + 4 = 0$, soit $x = 8$. Le point est $\mathbf{(8 ; 0)}$.

Exercice 15—Tableau de signesNiveau 2

Dresse le tableau de signes de $f(x) = -2x + 6$ et résous $f(x) \geq 0$.

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Stratégie : zéro + tableau de signes.

Étape 1 — Zéro

$-2x + 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 3$

Étape 2 — Tableau de signes

$x$	$-\infty$	$3$	$+\infty$
$-2x + 6$	$+$	$0$	$-$

($a = -2 < 0$ → positif avant le zéro, négatif après.)

Étape 3 — Résoudre $f(x) \geq 0$

$\boxed{S = ]-\infty\,;\,3]}$

Exercice 16—Problème : entrepriseNiveau 2

Une entreprise a des coûts fixes de $500€$ et un coût variable de $8€$ par article produit.
a) Exprime le coût total $C$ en fonction du nombre $n$ d'articles.
b) Exprime le chiffre d'affaires $R$ si chaque article est vendu $15€$.
c) À partir de combien d'articles, l'entreprise est-elle bénéficiaire ?

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Stratégie : modèle affine coût/recette, bénéfice quand recette > coût.

a) Coût total

$\[C(n) = 8n + 500\]$

b) Chiffre d'affaires

$\[R(n) = 15n\]$

c) Seuil de rentabilité

Bénéficiaire si $R(n) > C(n)$ : $15n > 8n + 500 \quad\Rightarrow\quad 7n > 500 \quad\Rightarrow\quad n > 71{,}43$

Comme $n$ est entier : à partir de $\mathbf{72 \text{ articles}}$.

🔍 Vérification : $R(72) = 1080$ et $C(72) = 576 + 500 = 1076$ → bénéfice de 4 € ✓ ; $R(71) = 1065 < C(71) = 1068$ (perte). ✓

Exercice 17—Comparaison de tarifsNiveau 2

Taxi A : 3€ de prise en charge + 2€/km. Taxi B : 1€ de prise en charge + 2,5€/km.
a) Exprime le coût de chaque taxi en fonction de la distance $d$.
b) Pour quelle distance les deux taxis coûtent-ils le même prix ?
c) Pour quel trajet le taxi A est-il moins cher ?

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a) Coûts en fonction de $d$

$A(d) = 2d + 3 \quad ; \quad B(d) = 2{,}5d + 1$

b) Égalité des tarifs

$2d + 3 = 2{,}5d + 1 \quad\Rightarrow\quad 2 = 0{,}5d \quad\Rightarrow\quad d = 4 \text{ km}$

c) Quand A est-il moins cher ?

$A < B$ : $2d + 3 < 2{,}5d + 1 \Rightarrow 2 < 0{,}5d \Rightarrow d > 4$.

➡️ Le taxi A est moins cher pour les trajets de plus de 4 km.

Interprétation

A a une prise en charge plus chère mais un coût/km plus faible → avantageux sur les longs trajets.

Exercice 18—Droites remarquablesNiveau 2

Soit le triangle $ABC$ avec $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(2;4)$.
a) Trouve la médiane issue de $A$.
b) Trouve l'équation de la hauteur issue de $C$.

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a) Médiane issue de $A$

Milieu de $[BC]$ : $M\left(\dfrac{6+2}{2}\,;\,\dfrac{0+4}{2}\right) = M(4\,;\,2)$.

La médiane $(AM)$ passe par $A(0;0)$ et $M(4;2)$ : $a = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \boxed{y = \dfrac{1}{2}x}$

b) Hauteur issue de $C$

La hauteur depuis $C$ est perpendiculaire à $[AB]$. Or $(AB)$ est l'axe des $x$ (de $(0;0)$ à $(6;0)$, pente 0).

La perpendiculaire à une droite horizontale est verticale, passant par $C(2;4)$ : $\boxed{x = 2}$

Cas particulier

La perpendiculaire à une horizontale est une verticale $x = k$ (qui n'est pas une fonction affine).

Exercice 19—Forme générale → pente-ordonnéeNiveau 2

Transforme $3x - 4y + 12 = 0$ en forme $y = ax + b$. Donne la pente et l'ordonnée à l'origine.

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Stratégie : isoler $y$.

Étape 1 — Isoler $y$

$3x - 4y + 12 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4y = 3x + 12 \quad\Rightarrow\quad y = \dfrac{3}{4}x + 3$

Étape 2 — Lire les coefficients

$\boxed{\text{Pente} = \dfrac{3}{4}, \quad \text{ordonnée à l'origine} = 3}$

Exercice 20—Droite parallèleNiveau 2

Détermine l'équation de la droite parallèle à $y = -x + 5$ passant par $C(2 ; 7)$.

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Même pente $-1$ : $y = -x + b$ ; $7 = -2 + b$, $b = 9$. $\mathbf{y = -x + 9}$.

Exercice 21—Point d'intersectionNiveau 2

Détermine le point d'intersection des droites $y = x + 2$ et $y = -2x + 11$.

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$x + 2 = -2x + 11$, $3x = 9$, $x = 3$, $y = 5$. Point $\mathbf{(3 ; 5)}$.

Exercice 22—Signe d'un produitNiveau 2

Dresse le tableau de signes de $(x - 2)(-x + 5)$.

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$x - 2$ s'annule en $2$ (croissant) ; $-x + 5$ s'annule en $5$ (décroissant).

$x$		$2$		$5$
$x - 2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$-x + 5$	$+$		$+$	$0$	$-$
produit	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Le produit est positif sur $]2 ; 5[$ et négatif à l'extérieur.

Exercice 23—AlignementNiveau 2

Les points $A(0 ; 1)$, $B(2 ; 5)$ et $C(5 ; 11)$ sont-ils alignés ?

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Pente de $(AB)$ : $\dfrac{5 - 1}{2} = 2$ ; pente de $(AC)$ : $\dfrac{11 - 1}{5} = 2$. Mêmes pentes et point commun $A$ : alignés.

Exercice 24—Location de salleNiveau 2

Formule A : $300$ € plus $10$ € par invité. Formule B : $18$ € par invité.
a) Exprime les coûts $A(x)$ et $B(x)$ pour $x$ invités.
b) À partir de combien d'invités la formule A est-elle plus avantageuse ?

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a) $\mathbf{A(x) = 10x + 300}$ ; $\mathbf{B(x) = 18x}$.

b) $10x + 300 < 18x \iff 300 < 8x \iff x > 37{,}5$. La formule A est plus avantageuse à partir de $38$ invités.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Triangle et droitesNiveau 3

Les droites $d_1 : y = 2x$, $d_2 : y = -x + 6$ et $d_3 : y = \dfrac{1}{2}x - 1$ forment un triangle. Trouve les coordonnées des 3 sommets.

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Stratégie : chaque sommet du triangle = intersection de deux droites.

Étape 1 — $d_1 \cap d_2$ (sommet $A$)

$2x = -x + 6 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2, \; y = 4 \quad\Rightarrow\quad A(2\,;\,4)$

Étape 2 — $d_1 \cap d_3$ (sommet $B$)

$2x = \dfrac{1}{2}x - 1 \Rightarrow \dfrac{3}{2}x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{2}{3}, \; y = -\dfrac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad B\left(-\dfrac{2}{3}\,;\,-\dfrac{4}{3}\right)$

Étape 3 — $d_2 \cap d_3$ (sommet $C$)

$-x + 6 = \dfrac{1}{2}x - 1 \Rightarrow -\dfrac{3}{2}x = -7 \Rightarrow x = \dfrac{14}{3}, \; y = \dfrac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad C\left(\dfrac{14}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}\right)$

$\boxed{A(2;4), \; B\left(-\tfrac{2}{3};-\tfrac{4}{3}\right), \; C\left(\tfrac{14}{3};\tfrac{4}{3}\right)}$

Exercice 26—Trois points alignésNiveau 3

Montre que les points $A(1;2)$, $B(3;6)$, $C(5;10)$ sont alignés.

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Stratégie : alignement ⟺ pentes égales entre points consécutifs.

Étape 1 — Pente de $(AB)$

$a_{AB} = \dfrac{6 - 2}{3 - 1} = \dfrac{4}{2} = 2$

Étape 2 — Pente de $(BC)$

$a_{BC} = \dfrac{10 - 6}{5 - 3} = \dfrac{4}{2} = 2$

Étape 3 — Conclusion

$a_{AB} = a_{BC} = 2$ et les droites partagent le point $B$ → $A$, $B$, $C$ sont alignés. $\square$

🔍 Vérification : les trois points sont sur $y = 2x$ : $f(1)=2$, $f(3)=6$, $f(5)=10$ ✓

Exercice 27—Un point sur une droiteNiveau 3

On donne $A(1 ; 1)$ et $B(3 ; 5)$.
a) Détermine l'équation réduite de $(AB)$.
b) Pour quelle valeur de $k$ le point $C(k ; 7)$ est-il sur la droite $(AB)$ ?
c) Le point $D(-2 ; -6)$ est-il aligné avec $A$ et $B$ ?

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a) $m = \dfrac{5 - 1}{3 - 1} = 2$ ; $1 = 2 + p$ donne $p = -1$ : $\mathbf{y = 2x - 1}$.

b) $C$ est sur $(AB)$ si $7 = 2k - 1$, c'est-à-dire $k = \mathbf{4}$.

c) $2 \times (-2) - 1 = -5 \ne -6$ : $D$ n'est pas sur $(AB)$, donc $A$, $B$, $D$ ne sont pas alignés.

Exercice 28—Paramètre : droites parallèlesNiveau 3

Pour quelle valeur de $m$, les droites $mx + 2y = 4$ et $(m-1)x + y = 3$ sont-elles parallèles ?

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Stratégie : deux droites sont parallèles si leurs pentes sont égales (après mise sous forme $y = ax + b$).

Étape 1 — Pentes des deux droites

$mx + 2y = 4 \Rightarrow y = -\dfrac{m}{2}x + 2$ → pente $-\dfrac{m}{2}$.
$(m-1)x + y = 3 \Rightarrow y = -(m-1)x + 3$ → pente $-(m-1)$.

Étape 2 — Égaler les pentes

$-\dfrac{m}{2} = -(m - 1) \quad\Rightarrow\quad \dfrac{m}{2} = m - 1$ $m = 2m - 2 \quad\Rightarrow\quad m = 2$

$\boxed{m = 2}$

🔍 Vérification : pour $m = 2$ : pentes $-1$ et $-1$ → parallèles ✓ (ordonnées 2 et 3 différentes → distinctes).

Exercice 29—La bougieNiveau 3

Une bougie mesure $20$ cm. On suppose que sa hauteur diminue de façon affine : au bout de $2$ heures, elle mesure $15$ cm.
a) Exprime la hauteur $h(t)$ (en cm) en fonction du temps $t$ (en h).
b) Quelle sera sa hauteur au bout de $5$ heures ?
c) Au bout de combien de temps la bougie sera-t-elle entièrement consumée ?
d) Au bout de $3$ heures, on mesure $12$ cm. Le modèle affine est-il parfait ?

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a) $h(0) = 20$ et la hauteur baisse de $5$ cm en $2$ h, soit $2{,}5$ cm par heure : $\mathbf{h(t) = 20 - 2{,}5t}$.

b) $h(5) = 20 - 12{,}5 = \mathbf{7{,}5}$ cm.

c) $20 - 2{,}5t = 0$ donne $t = \mathbf{8}$ heures.

d) Le modèle prévoit $h(3) = 12{,}5$ cm, on mesure $12$ cm : il y a un petit écart, le modèle n'est qu'une approximation de la réalité.

Exercice 30—Synthèse : la salle de sportNiveau 3

Une salle de sport propose trois formules mensuelles :

formule A : $30$ € par mois, séances illimitées ;
formule B : $10$ € par mois plus $2$ € par séance ;
formule C : $4$ € par séance.

On note $n$ le nombre de séances dans le mois.
a) Exprime le prix de chaque formule en fonction de $n$.
b) Pour quelles valeurs de $n$ les formules B et C coûtent-elles le même prix ? Et A et B ?
c) Selon le nombre de séances, quelle formule est la plus avantageuse ?

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a) $A(n) = 30$ ; $B(n) = 10 + 2n$ ; $C(n) = 4n$.

$B(n) = C(n)$ : $10 + 2n = 4n$, donc $\mathbf{n = 5}$ (prix $20$ €).
$A(n) = B(n)$ : $30 = 10 + 2n$, donc $\mathbf{n = 10}$ (prix $30$ €).

Moins de $5$ séances : C est la moins chère (par exemple $n = 3$ : C $12$ €, B $16$ €, A $30$ €).
Entre $5$ et $10$ séances : B est la moins chère (à $n = 5$, B et C sont égales).
Plus de $10$ séances : A est la moins chère (à $n = 10$, A et B sont égales).

Astuce

Graphiquement : on trace les trois droites et on cherche, pour chaque $n$, celle qui est la plus basse.

\(x\)		\(2\)		\(5\)
\(x - 2\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)
\(-x + 5\)	\(+\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
produit	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)